矩阵特征值分解

Python中的矩阵对角化与特征值、特征向量 在数学和物理学中，矩阵对角化是一种重要的矩阵变换方法。Python提供了许多工具和库来实现矩阵对角化操作，并能够计算矩阵的特征值和特征向量。本文将针对Python中的矩阵对角化、特征值和特征向量的相关概念进行详细的介绍。

定理 1 设 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ m lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_m λ 1 ​ , λ 2 ​ , ⋯ , λ m ​ 是方阵 A boldsymbol{A} A 的 m m m 个特征值， p 1 , p 2 , ⋯   , p m boldsymbol{p}_1,boldsymbol{p}_2,cdots,boldsymbol{p}_m p 1 ​ , p 2 ​ , ⋯ , p m ​ 依次是与之对应的特征向量，如果 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ

本文讨论 3阶矩阵 的特征值的快速求法。 分为速写特征多项式和速解方程两部分。 速写特征多项式 不妨令： A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] boldsymbol{A}=left[begin{array}{lll} a_{11} a_{12} a_{13} \\\\ a_{21} a_{22} a_{23} \\\\ a_{31} a_{32} a_{33} end{array}right] A = ​ a 11 ​ a 21 ​ a 31 ​

该方法是求解 对称矩阵 全部特征值和特征向量的一种方法，它基于以下结论： ① 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型 ，即存在正交矩阵Q,使得 Q T A Q = d i a g ( λ 1 , λ 2 , … , λ n ) Q^TAQ=diag(λ1,λ2,…,λn) Q T A Q = d ia g ( λ 1 , λ 2 , … , λn ) 其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的问题，这些问题通常可以用数学模型来描述。在数学中，矩阵是一个非常重要的概念，它可以用来描述各种各样的问题。在本文中，我们将讨论矩阵的对称性与非对称性，以及如何通过计算特征值和特征向量来解决这些问题。 矩阵是

设n阶矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , . . , λ n lambda_1, lambda_2,..,lambda_n λ 1 ​ , λ 2 ​ , .. , λ n ​ ，则 λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ 。 lambda_1lambda_2cdotslambda_n = |A|。 λ 1 ​ λ 2 ​ ⋯ λ n ​ = ∣ A ∣ 。 证明： 矩阵 A A A 的特征多项式为： f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 11 −

性质 1 设 n n n 阶矩阵 A = ( a i j ) boldsymbol{A} = (a_{ij}) A = ( a ij ​ ) 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n λ 1 ​ , λ 2 ​ , ⋯ , λ n ​ ，则 λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n lambda_1 + lambda_2 + cdots + lambda_n = a_{11} + a_{22} + cdots + a_{nn} λ 1 ​ + λ 2 ​

性质 1 设 n n n 阶矩阵 A = ( a i j ) boldsymbol{A} = (a_{ij}) A = ( a ij ​ ) 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n λ 1 ​ , λ 2 ​ , ⋯ , λ n ​ ，则 λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ lambda_1 lambda_2 cdots lambda_n = |boldsymbol{A}| λ 1 ​ λ 2 ​ ⋯ λ n ​ = ∣ A ∣ 。 证明 不妨设

性质 1 设 n n n 阶矩阵 A = ( a i j ) boldsymbol{A} = (a_{ij}) A = ( a ij ​ ) 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n λ 1 ​ , λ 2 ​ , ⋯ , λ n ​ ，则 λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n lambda_1 + lambda_2 + cdots + lambda_n = a_{11} + a_{22} + cdots + a_{nn} λ 1 ​ + λ 2 ​