在工程技术问题中，常常需要求解系数矩阵是对称正定矩阵的线性代数方程组。对于这类方程组，若利用矩阵三角分解法求解，就可得到一个有效法平方根法，其设计原理。
定理3 若A为对称正定矩阵，则存在唯一分解
A=~L~L^(T) (3.28)
其中~L是对角元为正的下三角形矩阵(对称正定矩阵的这种分解称为楚列斯基(Cholesky)分解)。
证明 由矩阵三角分解基本原理，存在唯一杜利特尔分解A=LU.若以Ak，Lk，Uk，依次表示矩阵A,L,U的k阶顺序主子阵，则
det A = det (Lk,Uk) = det Lk • det Uk,
u11u2……ukk (k =1,2,--. , n).
因A 对称正定,det A, >0（4=1,2,•，几)，从而飛u >0(i=1,2,..,n).手是A 又可进一步分解为 A=LDU。，其中
因为A 是对称矩阵，又有
A=A'=(LDUO'=UE(DL')显然，U。是单位下三角形矩阵，DL”是上三角形矩阵． 由杜利特尔分解的唯一性知U。二L，故A=LDL"I另一方面,由山i>0知D又可分解成D=D'D'2,其中VuID12Vuzz53如令之=1D',则之 是对角元为正的下三角形短阵，且由(3.29）式可得分解式（3.28）• 由从上述分解过程可以看出，这种分解是唯一的。下面导出实现分解A=记元°的递推算式.设美油
𤠒𡒗𢝵 𥮳食爺
八
心
采用自左向右逐列计算待定数l，的计算过程．由矩阵乘法规则与相等条件，依次
可得到确定立 的第一列元的算式
4n
=Nan ,ln =as/ lni
(¡=2.3..
,几)
青Y=送（3.30)
以及在算出亡的第—列至第;-1列元后确定第i列元的算式 ！
號武手,依湖
16-(0-82)%
2
節路食(3.31）
帮式
因此,用楚列斯基分解解对称正定矩阵方程组 AX=6的过程可归纳为
1°实现楚列斯基分解，即
（a）按算式（3.30）计算立的第一列元；
（b）对j=2,3，•，几，按算式（3.31）计算之的第j列元.
甘本2°求解三角形方程组 云Y=6,相应的递推算式是
1:=(6-246o1014 Ci=2.3..0)。含
3°求解三角形方程组 亡-区=了,相应的递推算式是
(3.32)
不路其目丽-楼p
14=101-24.5）/2
(¡=n-1,...,2,1).
上述求解对称正定矩阵方程组的方法称为平方根法：
例5 用平方根法解方程组
改进的平方
根法
2
-27
12,
1-2
-3
14J 83.
解该方程组的系数矩阵是对称正定矩阵，可用平方根法求解．按算
式（3.30）计算亡的第一列元得
41=2，
21=1，
2，=-1.
按算式（3.31）依次计算亡的第二列与第三列元得
故
2=1, 12=-2， 153=3.
2
0
=2
"
解讠Y=6得y1=5,92=0,93=3.
解立"X=飞得x=1,52=2,81=2.
用平方根法解系数矩阵是几阶对称正定矩阵的线性方程组，当几较大时约
需作口。次乘除法运算(是高斯消元法或杜利特尔分解法的一半）．此外，平方根
法还具有数值稳定、存储量小(利用对称性只需用一维数组存放矩阵4对角线文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-732531.html
及对角线以下元，并将算得的 工 元存放在A 对应元的位置上)等优点•但平方根法在计算亡的对角线上元时需要用到开方运算文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-732531.html
改进的平方根算法：
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