【复变函数与积分变换】【第一章 复数与复变函数】

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2021-1-3

第一章 复数与复变函数

代数基本定理:

任何多项式在复数域里必有根,而且 n 次多项式恰好有 n 个根

§1.1 复数

一、复数及其运算

定义:

(1) 设 x 和 y 是任意两个实数, z = x + i y z=x+iy z=x+iy ( 或者 z = x + y i z=x+yi z=x+yi ) 的数称为复数。其中 i i i 称为虚数单位,即 i = − 1 i = \sqrt{-1} i=1

(2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部虚部,并分别表示为: x = R e ( z ) x = Re(z) x=Re(z) , y = I m ( z ) y = Im(z) y=Im(z)

(3) 当 x = 0 时,z = 0 + iy = iy 称为纯虚数
当 y = 0 时,z = x + i0 = x 就是实数。因此,实数可以看作是复数的特殊情形。

复数的基本概念
相等

z 1 = x 1 + i y 1 z_1 = x_1 + i y_1 z1=x1+iy1 z 2 = x 2 + i y 2 z_2 = x_2 + i y_2 z2=x2+iy2 是两个复数

如果 x 1 = x 2 x_1 = x_2 x1=x2 y 1 = y 2 y_1 = y_2 y1=y2 相等, 则称 z 1 z_1 z1 z 2 z_2 z2 相等
它们之间只有相等与不相等的关系。

特别地, z = x + i y = 0 z = x + i y = 0 z=x+iy=0 当且仅当 x = y = 0 x = y = 0 x=y=0.

注:复数与实数不同,两个复数(虚部不为零)不能比较大小,它们之间只有相等与不相等的关系。

四则运算

加法: z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i ( y 1 + y 2 ) z_1 + z_2 = x_1 + x_2 + i( y_1 + y_2 ) z1+z2=x1+x2+i(y1+y2);

减法: z 1 − z 2 = x 1 − x 2 + i ( y 1 − y 2 ) z_1 − z_2 = x_1 − x_2 + i( y_1 − y_2 ) z1z2=x1x2+i(y1y2)

乘法: z 1 ⋅ z 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z_1· z_2 = (x_1 x_2 − y_1 y_2 ) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1 ) z1z2=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1);

除法 :如果存在复数 z z z,使得 z 1 = z 2 ⋅ z z_1 = z_2 ·z z1=z2z,则 z = z 1 z 2 z=\frac{z_1}{z_2} z=z2z1

加法、乘法满足交换律与结合律,乘法对加法满足分配律.由此可知,在实数域里由这些规律推得的恒等式在复数里仍然有效.另外,还可以验证:复数集关于四则运算是封闭的,其代数结构是域。

交换律、结合律、分配率

二、共轭复数

定义

z = x + i y z = x + i y z=x+iy 是一个复数,
z = x − i y z = x - i y z=xiy z z z 的共轭复数,记作 z ‾ \overline{z} z

x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2 (算术根)为复数 z z z 的模,记作 ∣ z ∣ |z| z = x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2
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性质

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§1.2 复数的几种表示

复平面

用建立了笛卡儿直角坐标系的平面来表示复数的平面称为复平面.复平面赋予了复数以直观的几何意义,复数的数对表示式也可以看作是直角坐标系中的坐标.它建立了“数”与“点”之间的一一对应关系.此时,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴

把复数 1 + 2 i 1+ 2i 1+2i 称为点 1 + 2 i 1+ 2i 1+2i ,把点 4 + i 4+ i 4+i 称为复数 4 + i 4+ i 4+i
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在复平面上,从原点到点 z = x + i y z = x + i y z=x+iy 所引的向量与该复数 z 也构成一一对应关系(复数零对应零向量)。
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引进复平面后,复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。

一、复数的模与辐角

x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2 (算术根)为复数 z z z 的模,记作 ∣ z ∣ |z| z = x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2

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(1) 辐角是多值的,相互之间可相差 2kπ ,其中 k 为整数。

(2) 辐角的符号约定为:逆时针取正号,顺时针取负号。

复数 0 的模为 0,辐角无意义。

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主辐角

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Arg z = arg z + 2kπ , k = 0, ± 1, ± 2,……

相互转换关系

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三减二加,一四不变

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二、复数的三角表示和指数表示

三角表示式

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指数表示式

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利用指数表示进行复数的乘除法运算

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简单复数的指数表示形式

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三、复数的乘幂与方根

复数的乘幂

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利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则
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棣莫弗(De Moivre)公式

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复数的方根
定义:

复数求方根是复数乘幂的逆运算

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复数的 n 次方根一般是多值

利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则

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方根公式

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在复平面上, 这 n 个根均匀地分布在一个以原点为中心、以 r n \sqrt[n]{r} nr 为半径的圆周上。其中一个根的辐角是 ( θ / n ) (θ/n) (θ/n).

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【复变函数与积分变换】【第一章 复数与复变函数】

几个关系

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知识拓展——欧拉公式

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§1.3 平面点集的一般概念

【复变函数与积分变换】【平面点集的一般概念】文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-400010.html

§1.4 无穷大与复球面

【复变函数与积分变换】【平面点集的一般概念】

§1.5 复变函数

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