- 全国大学生数学竞赛
竞赛进程分为两个阶段，第一阶段为全国大学生数学竞赛初赛(也称为预赛、赛区赛) 第二阶段为全国大学生数学竞赛决赛
非数学类：竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学 (只有高等数学一门课程)课程的教学内容，高等数学教材中出现的，包括选修的、打了*号的内容都会覆盖（可以参考同济大学第七版教材内容，也可以参考一般的工科数学分析教材）！
时间： 两个半小时
题目：5道填空，6道大题，满分100分，一般七十多可以拿一等奖
极限
两个重要极限公式
-
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1 (x->0)，
-
第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e (x→∞)
常用极限公式
1、ex-1～x (x→0)
2、 e(x2)-1～x2 (x→0)
3、1-cosx～1/2x2 (x→0)
4、1-cos(x2)～1/2x4 (x→0)
5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
7、arcsinx~x (x→0)
8、arctanx~x (x→0)
9、ax-1~xlna (x→0)
10、ln(1+x)~x (x→0)
11、(1+Bx)a-1~aBx (x→0)
12、[(1+x)1/n]-1~1/n x (x→0)
13、loga(1+x)~x/lna(x→0)
14、n1/n~1 (n→+∞)
导数、微分与积分
牛顿-莱布尼茨公式
莱布尼兹公式
微分中值定理
罗马中值定理
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f’(ξ)=0
拉格朗日中值定理
如果函数 f(x) 满足：
1)在闭区间[a,b]上连续；
2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
柯西定理
如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)，F’(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)
成立
泰勒公式
Taylor’s theorem — Let k ≥ 1 be an integer and let the function f : R → R be k times differentiable at the point a ∈ R. Then there exists a function hk : R → R such that
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
h
k
(
x
)
(
x
−
a
)
k
,
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
h
k
(
x
)
(
x
−
a
)
k
,
{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+k!f(k)(a)(x−a)k+hk(x)(x−a)k,f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯+k!f(k)(a)(x−a)k+hk(x)(x−a)k,
and
lim
x
→
a
h
k
(
x
)
=
0.
lim
x
→
a
h
k
(
x
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}{\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}
x→alimhk(x)=0.x→alimhk(x)=0.
This is called the Peano form of the remainder 皮亚诺余项
若a=0， 公式就称为n阶麦克劳林公式
几个常见的麦克劳林公式
洛必达
- 0/0
- ∞/∞
曲率
曲率圆
R = 1/K
牛顿迭代法
积分中值定理
分部积分法
∫
u
v
′
d
x
=
u
v
−
∫
u
′
v
d
x
\int{uv'dx=uv-\int{u'vdx}}
∫uv′dx=uv−∫u′vdx
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
\int{udv=uv-\int{vdu}}
∫udv=uv−∫vdu
级数
级数（英語：Series）是数学中一个有穷或无穷的序列例如 u 1 , u 2 , u 3 , u 4 … {\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\ldots } u1,u2,u3,u4…之和，即 s = u 1 + u 2 + u 3 + … {\displaystyle s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots } s=u1+u2+u3+…，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。
正项级数审敛法
正项级数就是每一项都大于等于0
-
比较审敛
若满足 u n < = v n u_n <= v_n un<=vn 对所有n成立。
若 ∑ n = 1 ∞ v n 收敛，则 ∑ n = 1 ∞ u n 收敛 若 ∑ n = 1 ∞ u n 发散，则 ∑ n = 1 ∞ v n 发散 \text{若}\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收敛，则}\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛} \\ \text{若}\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{发散，则}\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{发散} 若n=1∑∞vn收敛，则n=1∑∞un收敛若n=1∑∞un发散，则n=1∑∞vn发散
若 lim n → ∞ u n v n = λ ( 0 − ∞ ) ，则 ∑ n = 1 ∞ u n 与 ∑ n = 1 ∞ v n 有相同收敛性 若 lim n → ∞ u n v n = 0 ，若 ∑ n = 1 ∞ v n 收敛，则 ∑ n = 1 ∞ u n 收敛 若 lim n → ∞ u n v n = ∞ ，若 ∑ n = 1 ∞ v n 发散，则 ∑ n = 1 ∞ u n 发散 \text{若}\lim _{n→\infty}\frac{u_n}{v_n}=\lambda \left( 0-\infty \right) \text{，则}\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{与}\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{有相同收敛性} \\ \text{若}\lim _{n→\infty}\frac{u_n}{v_n}=0\text{，若}\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收敛，则}\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛} \\ \text{若}\lim _{n→\infty}\frac{u_n}{v_n}=\infty \text{，若}\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{发散，则}\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{发散} 若n→∞limvnun=λ(0−∞)，则n=1∑∞un与n=1∑∞vn有相同收敛性若n→∞limvnun=0，若n=1∑∞vn收敛，则n=1∑∞un收敛若n→∞limvnun=∞，若n=1∑∞vn发散，则n=1∑∞un发散 -
比值审敛
lim n → ∞ u n + 1 u n = ρ \lim _{n→\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho n→∞limunun+1=ρ
当 ρ \rho ρ <1,级数收敛
当 ρ \rho ρ >1,级数发散
当 ρ \rho ρ =1,级数可能收敛可能发散。 -
根值审敛
lim n → ∞ u n n = ρ \lim _{n→\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho n→∞limnun=ρ
当 ρ \rho ρ <1,级数收敛
当 ρ \rho ρ >1,级数发散
当 ρ \rho ρ =1,级数可能收敛可能发散。 -
积分审敛
若 u n = f ( n ) ，则 ∑ n = 1 ∞ u n 与 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x 有相同收敛性 \text{若}u_n=f\left( n \right) \text{，则}\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{与}\int_1^{+\infty}{f\left( x \right)}dx\text{有相同收敛性} 若un=f(n)，则n=1∑∞un与∫1+∞f(x)dx有相同收敛性
绝对收敛和条件收敛
-
绝对收敛
∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 收敛 \sum_{n=1}^{\infty}{|u_n|}\text{收敛} n=1∑∞∣un∣收敛 -
条件收敛
∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 发散，但 ∑ n = 1 ∞ u n 收敛 \sum_{n=1}^{\infty}{|u_n|}\text{发散，但}\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛} n=1∑∞∣un∣发散，但n=1∑∞un收敛
交错级数
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 u n \sum_{n=1}^{\infty}{\left( -1 \right) ^{n+1}u_n} n=1∑∞(−1)n+1un
莱布尼茨定理
对于上式
- {un}单调递减。
- lim n → ∞ u n = 0 \lim _{n→\infty}u_n=0 limn→∞un=0
则交错级数收敛。
幂级数
泰勒级数
欧拉公式
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta
eiθ=cosθ+isinθ
e
i
π
+
1
=
0
e^{i\pi}+1=0
eiπ+1=0文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-400085.html
傅里叶级数
f
(
x
)
∼
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
)
f\left( x \right) \,\,\sim \,\,\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)}
f(x)∼2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
傅里叶系数：
a
0
=
1
π
∫
−
π
+
π
f
(
x
)
d
x
a
n
=
1
π
∫
−
π
+
π
f
(
x
)
cos
n
x
d
x
b
n
=
1
π
∫
−
π
+
π
f
(
x
)
sin
n
x
d
x
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}{f\left( x \right)}dx \\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}{f\left( x \right) \cos nx}dx \\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}{f\left( x \right) \sin nx}dx
a0=π1∫−π+πf(x)dxan=π1∫−π+πf(x)cosnxdxbn=π1∫−π+πf(x)sinnxdx文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-400085.html
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