单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）-Toy模板网

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建模

牛顿法

有空再写

拉格朗日方程法

首先我们先确定广义坐标，并同时计算出来摆杆的转动惯量

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

接着列拉格朗日方程

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

计算动能（转动动能）

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

计算势能（取铰链处为零势能高度）：

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

计算L

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

计算拉格朗日方程中的中间量

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

将上述的中间量带入拉格朗日方程，得到动力学模型：

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

变换一下形式：

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

当角度较小时

我们可以假设角度比较小，因为控制一般都是在平衡点附近。

这时，单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）然后得出下面的状态空间方程。

当角度较大时

经常情况下角度没有那么小，这个时候我们就不能假设单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法），所以就得到非线性的控制系统。

所以这个时候我们这样操作，将这个二阶微分方程转化成一阶微分方程组，这样就可以用matlab的ode45微分方程求解器求取数值解，求得的数值解即为系统状态 y。然后得到系统状态之后，控制器基于当前状态计算输入，再施加给执行器进行控制。

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

matlab仿真

我们先把微分方程求解器做出来：

直接把g=9.8，l=1和u=0带入式子；

[t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[1;0]);
plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o');

function dy = odeBai(t,y)
    dy = zeros(2,1);
    dy(1) = y(2);
    dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1))+0;
end

从图片也可能看出规律：

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

这下，我们就求出来了位置（角度）时间曲线和速度（角速度）时间曲线。

然后，我们做一个控制器，把输入加上去。

控制器代码：

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

总程序代码：

clear all;
clc;

[t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[1;0]);
plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o');

function dy = odeBai(t,y)
    dy = zeros(2,1);
    tau = PIDController(t,y);
    dy(1) = y(2);
    dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1)) + 3 * tau /(1*1*1);
end

function tau=PIDController(t,y)
% 目标状态
y1_desire = pi/4;
y2_desire = 0;
% 控制增益
Kp = 1000;
Kd = 500;
% 控制力矩
tau = Kp*(y1_desire-y(1))+Kd*(y2_desire-y(2));
end

仿真图像如下：可以弹道蓝线逐渐逼近pi/4即45度的位置，而橙线从较大的值趋于0，即速度最终为0.

单摆的动力学建模以及matlab仿真（牛顿法和拉格朗日方程法）

代码：

clear all;
clc;

global m l g
m = 1;
l = 1;
g = 9.8;

[t,y] = ode45(@odeBai,[0 10],[-1;0]);
figure(1);
plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o');

figure(2);
x0=0;
y0=0;

v = VideoWriter('Pen.avi');
open(v);

for k=1:200:size(t)
    x1=l*cos(y(k,1));
    y1=l*sin(y(k,1));
    
    link1_x=[0,x1];
    link1_y=[0,y1];
    line(link1_x,link1_y,'linewidth',2,'color','b')
    axis equal
    axis([-1.55 1.55 -1.55 0.55])
    
    grid on;
    hold on;
    plot(x0,y0,'o','linewidth',2,'color','r');

    frame = getframe(gcf);
    writeVideo(v,frame);
    clf;
end
close(v);

function dy = odeBai(t,y)
    dy = zeros(2,1);
    tau = PIDController(t,y);
    dy(1) = y(2);
    dy(2) = -3 * 9.8 / ( 2 * 1 )*sin(y(1)) + 3 * tau /(1*1*1);
end

function tau=PIDController(t,y)
% 目标状态
y1_desire = -pi/4;
y2_desire = 0;
% 控制增益
Kp = 1000;
Kd = 500;
% 控制力矩
tau = Kp*(y1_desire-y(1))+Kd*(y2_desire-y(2));
end