定积分与不定积分的差别
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
不定积分的定义与计算
不定积分的定义
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f_{(x)}dx = F_{(x)} + C ∫f(x)dx=F(x)+C设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数 f ( x ) f(x) f(x)的所有原函数 F ( x ) + C F(x)+ C F(x)+C(其中，C为任意常数）叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)的不定积分，又叫做函数 f ( x ) f(x) f(x)的反导数，记作 ∫ f ( x ) d x 或者 ∫ f ( x ) ∫f(x)dx或者∫f(x) ∫f(x)dx或者∫f(x)（高等微积分中常省去dx），即 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C ∫f(x)dx=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C。其中 ∫ ∫ ∫叫做积分号， f ( x ) f(x) f(x)叫做被积函数， x x x叫做积分变量， f ( x ) d x f(x)dx f(x)dx叫做被积式， C C C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
不定积分的计算
函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数 f ( x ) f(x) f(x)及 g ( x ) g(x) g(x)的原函数存在，则
求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数 f ( x ) f(x) f(x)的原函数存在， k k k非零常数，则
定积分的定义
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续，将区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]分成n个子区间
[
x
0
,
x
1
]
,
(
x
1
,
x
2
]
,
(
x
2
,
x
3
]
,
…
,
(
x
n
−
1
,
x
n
]
[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]
[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn−1,xn]，其中
x
0
=
a
，
x
n
=
b
x0=a，xn=b
x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：
△
x
1
=
x
1
−
x
0
△x1=x1-x0
△x1=x1−x0，在每个子区间
(
x
i
−
1
,
x
i
]
(xi-1,xi]
(xi−1,xi]中任取一点
ξ
i
（
1
,
2
,
.
.
.
,
n
）
ξi（1,2,...,n）
ξi（1,2,...,n），作和式。该和式叫做积分和，设
λ
=
m
a
x
△
x
1
,
△
x
2
,
…
,
△
x
n
λ=max{△x1, △x2, …, △xn}
λ=max△x1,△x2,…,△xn（即λ是最大的区间长度），如果当
λ
→
0
λ→0
λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]的定积分，记为，并称函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上可积。 其中：
a
a
a叫做积分下限，
b
b
b叫做积分上限，区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b]叫做积分区间，函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)叫做被积函数，
x
x
x叫做积分变量，
f
(
x
)
d
x
f(x)dx
f(x)dx 叫做被积表达式，$∫ $叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。
定积分的计算
-
当a=b时， ∫ a b f ( x ) d x = 0 \int_a^b f(x)dx = 0 ∫abf(x)dx=0
-
当a>b时， ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx = -\int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx=−∫abf(x)dx
-
常数可以提到积分号前。
-
代数和的积分等于积分的代数和。
-
定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
-
若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。
如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
-
积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在[a,b]内使
常见的积分公式如下：
以下的C都是指任意积分常数：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-400328.html
∫
a
d
x
=
a
x
+
C
\int adx=ax+C
∫adx=ax+C，a是常数
∫
x
a
d
x
=
x
a
+
1
a
+
1
+
C
\int x^adx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C
∫xadx=a+1xa+1+C，其中a为常数，且a
≠
\neq
=-1
∫
1
x
d
x
=
l
n
∣
x
∣
+
C
\int \frac{1}{x}dx = ln|x| +C
∫x1dx=ln∣x∣+C
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
\int e^xdx = e^x+C
∫exdx=ex+C
∫
a
x
d
x
=
1
l
n
a
a
x
+
C
\int a^xdx=\frac{1}{lna}a^x+C
∫axdx=lna1ax+C，其中a>0，且a
≠
\neq
= 1
∫
s
i
n
x
d
x
=
−
c
o
s
x
+
C
\int sinxdx = -cosx+C
∫sinxdx=−cosx+C
∫
c
o
s
x
d
x
=
s
i
n
x
+
C
\int cosxdx = sinx+C
∫cosxdx=sinx+C
∫
s
e
c
2
x
d
x
−
t
a
n
x
+
C
\int sec^2xdx - tanx+C
∫sec2xdx−tanx+C
∫
c
s
c
2
x
d
x
=
−
c
o
t
x
+
C
\int csc^2xdx = -cotx+C
∫csc2xdx=−cotx+C
∫
t
a
n
x
d
x
=
−
l
n
∣
c
o
s
x
∣
+
C
\int tanxdx = -ln|cosx|+C
∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C
∫
c
o
t
x
d
x
=
l
n
∣
s
i
n
x
∣
+
C
\int cotxdx = ln|sinx|+C
∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
∫
s
e
c
x
d
x
=
l
n
∣
s
e
c
x
+
t
a
n
x
∣
+
C
\int secxdx = ln|secx+tanx|+C
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
∫
c
s
c
x
d
x
=
l
n
∣
c
s
c
x
−
c
o
t
x
∣
+
C
\int cscxdx = ln|cscx-cotx|+C
∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-400328.html
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