线代——求逆矩阵的快捷方法-Toy模板网

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通常，求逆矩阵有两种方法：
方法一：
线代——求逆矩阵的快捷方法
方法二：

线代——求逆矩阵的快捷方法
但是，对于特殊矩阵，如:

1、二阶矩阵

$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$

分块矩阵在主对角位置，直接对分块矩阵取逆矩阵：

$\begin{bmatrix} X & \\ & Y \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=\begin{bmatrix} X^{-1} & \\ & Y^{-1} \end{bmatrix}$

分块矩阵在副对角位置，副对调，再取逆：

$\begin{bmatrix} & X \\ Y & \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=\begin{bmatrix} & Y^{-1}\\ X^{-1} & \end{bmatrix}$

分块矩阵为右上三角形状，首先主对角直接取逆，然后再对右上角子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

$\begin{bmatrix} X & W\\ & Y \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=\begin{bmatrix} X^{-1} & -X^{-1}WY^{-1}\\ & Y^{-1} \end{bmatrix}$

同理，对于左下三角形状，首先主对角直接取逆，然后再对左下角子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

$\begin{bmatrix} X & \\ W & Y \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=\begin{bmatrix} X^{-1} & \\ -Y^{-1}WX^{-1} & Y^{-1} \end{bmatrix}$

它们相同之处，都是分块三角矩阵占据主对角位置。

分块矩阵为左上三角形状，首先副对调，再取逆，然后将左上角子矩阵换到右下角，最后再对该子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

$\begin{bmatrix} W & X \\ Y & \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=\begin{bmatrix} & Y^{-1}\\ X^{-1} & -X^{-1}WY^{-1} \end{bmatrix}$

同理，对于右下三角形状，首先副对调，再取逆，然后将右下角子矩阵换到左上角，最后再对该子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

$\begin{bmatrix} & X \\ Y & W \end{bmatrix}$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=\begin{bmatrix} -Y^{-1}WX^{-1} & Y^{-1}\\ X^{-1} & \end{bmatrix}$

它们相同之处，都是分块三角矩阵占据副对角位置。

综上，对于形状是上、下三角的分块矩阵求逆，如果分块子矩阵占据主对角位置，不需要对调位置；如果分块子矩阵占据副对角位置，都需要对调位置。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-400557.html

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