多面体编译（polyhedral compilation）会使用到仿射变换（affine transformation）的知识，这里介绍下仿射变换的数学原理。
线性变换：
对于变换 f f f 是一个线性变换，则对于任意向量 w ⃗ \vec{w} w 和 v ⃗ \vec{v} v 满足：
- f ( w ⃗ + v ⃗ ) = f ( w ⃗ ) + f ( v ⃗ ) f(\vec{w}+\vec{v})=f(\vec{w})+f(\vec{v}) f(w+v)=f(w)+f(v)
- f ( k v ⃗ ) = k f ( v ⃗ ) f(k\vec{v})=kf(\vec{v}) f(kv)=kf(v)
其中 k k k 为标量。
例如， f ( v ⃗ ) = < 3 v 1 − 2 v 2 , 4 v 2 > f(\vec{v})=<3v_1-2v_2, 4v_2> f(v)=<3v1−2v2,4v2> 是一个线性变换，而 f ( v ⃗ ) = < 3 v 1 − 2 v 2 , 4 v 1 v 2 > f(\vec{v})=<3v_1-2v_2, 4v_1v_2> f(v)=<3v1−2v2,4v1v2> 则不是线性变换。
线性变换还可以写成一个矩阵乘以输入向量的形式。例如：
f
(
v
⃗
)
=
<
3
v
1
−
2
v
2
,
4
v
2
>
f(\vec{v})=<3v_1-2v_2, 4v_2>
f(v)=<3v1−2v2,4v2> 可以写成：
f
(
v
⃗
)
=
(
3
−
2
0
4
)
(
v
1
v
2
)
f(\vec{v})= ( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 0 & 4 \end{matrix} ) (\begin{matrix} v_1 \\ v_2 \end{matrix} )
f(v)=(30−24)(v1v2)
仿射变换：
非正式地，一个仿射变换就是一个线性变换加一个常量。
正式地，一个仿射变换 f f f 可以表示为： f ( v ⃗ ) = M v ⃗ + c ⃗ f(\vec{v})=M\vec{v}+\vec{c} f(v)=Mv+c。其中， M M M 是一个线性变换的矩阵， c ⃗ \vec{c} c 是一个常量向量。
例如，下面这是一个仿射变换:
f
(
v
⃗
)
=
(
3
−
2
0
4
)
(
v
1
v
2
)
+
(
1
2
)
f(\vec{v})= ( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 0 & 4 \end{matrix} ) (\begin{matrix} v_1 \\ v_2 \end{matrix} ) + (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} )
f(v)=(30−24)(v1v2)+(12)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-401069.html
可见，线性变换肯定是一个仿射变换，而仿射变换只在其常量向量阵为零时才为线性变换。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-401069.html
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