链式法则(Chain Rule)是微积分最强大的法则之一。这个法则处理的是复合函数(Composite Functions)的导数问题。
复合函数: 以另一种方式将两个函数组合起来的函数。正式定义:
令f 和g 分别为两个函数,函数(f。g)(x) = f (g(x))称为f 与g 的复合函数。复合函数 f。g 的定义域为所有g 的定义域中使得g(x) 在f 的定义域中的所有x 的集合。即,复合函数的定义域中的自变量,首先必须满足是位于g 的定义域中,同时,这个自变量也必须满足使其函数g 的值位于f 的定义域中,满足这两个限制的所有x 的值,构成复合函数的定义域。
当然,复合函数还可以继续复合,组成更复杂的函数。也就是说,复合函数是两套以上的映射法则。一般来讲,f与g 的复合函数,与g 与f 的复合函数,是不一样的复合函数。
例如,求f (x) = 2x– 3 和 求复合函数 f。g 和 g。f 。
(1) f。g (读作“f 与 g 的复合函数”)
(2) g。f (读作“g 与 f 的复合函数”)
链式法则定理:假如 y = f (u)是一个u 的可微函数,u = g (x)是一个x 的可微函数,则 y = f (g(x)) 是一个x 的可微函数,并且
(即y 对x 的导数,等于y 对u 的导数,乘以u 对x 的导数。)
或者,写成等价形式
(即,先对第一个函数规则求导数,再对第二个函数规则求导数;链式法则的核心在于识别出复合函数的复合规则,找出复合前的两个函数规则;这种复合可能有多层,从最外层开始,从外向内层层解剖。)
例如,求函数 的导数。
从函数定义可以看出,这是一个复合函数,有两套函数规则。 这是一个函数规则,令其为 ;外层又有一个函数规则,立方规则,因此写成 。
因此,
例如,求 的导数。
这个复合函数有3层复合,即,立方这一层映射,三角函数这一层映射,最里层直线函数映射。
(先求最外层的导数,立方映射这一层)
(求次外层的导数,三角函数映射这一层)
(求最里层的导数,直线函数映射这一层)
参考资料:文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-401379.html
<<calculus>> Ron Larson,The Pennsylvania State University The Behrend College
Bruce Edwards, University of Florida文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-401379.html
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