微积分——求导数的链式法则

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链式法则(Chain Rule)是微积分最强大的法则之一。这个法则处理的是复合函数(Composite Functions)的导数问题。

复合函数: 以另一种方式将两个函数组合起来的函数。正式定义:

分别为两个函数,函数(fg)(x) = (g(x))称为的复合函数。复合函数 f的定义域为所有的定义域中使得g(x) 在的定义域中的所有的集合。即,复合函数的定义域中的自变量,首先必须满足是位于的定义域中,同时,这个自变量也必须满足使其函数的值位于的定义域中,满足这两个限制的所有的值,构成复合函数的定义域。

当然,复合函数还可以继续复合,组成更复杂的函数。也就是说,复合函数是两套以上的映射法则。一般来讲,f的复合函数,与的复合函数,是不一样的复合函数。

例如,求(x) = 2x– 3 和 微积分——求导数的链式法则 求复合函数  fg gf

(1) fg (读作“与 的复合函数”)

微积分——求导数的链式法则

(2) gf (读作“与 的复合函数”)

微积分——求导数的链式法则

链式法则定理:假如 y = (u)是一个的可微函数,u = (x)是一个的可微函数,则 y = (g(x)) 是一个的可微函数,并且

 (即的导数,等于的导数,乘以的导数。) 

或者,写成等价形式

 

(即,先对第一个函数规则求导数,再对第二个函数规则求导数;链式法则的核心在于识别出复合函数的复合规则,找出复合前的两个函数规则;这种复合可能有多层,从最外层开始,从外向内层层解剖。)

例如,求函数   的导数。

从函数定义可以看出,这是一个复合函数,有两套函数规则。 这是一个函数规则,令其为  ;外层又有一个函数规则,立方规则,因此写成  。

因此,

例如,求   的导数。

这个复合函数有3层复合,即,立方这一层映射,三角函数这一层映射,最里层直线函数映射。

 (先求最外层的导数,立方映射这一层)

 (求次外层的导数,三角函数映射这一层)

 (求最里层的导数,直线函数映射这一层)

参考资料:

<<calculus>> Ron Larson,The Pennsylvania State University The Behrend College
Bruce Edwards, University of Florida文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-401379.html

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