偏序
偏序：定义在一个集合S上的关系R，满足自反、反对称、传递，R就是偏序。
偏序集：集合S和S上的关系R一起成为偏序集，记作（S，R）
- 比如整数集合上的≥关系、正整数集合Z+上的整除关系…见离散数学及其应用P543
- ≼表示任意一个偏序集中的序关系（抽象意义上的“小于等于”）。使用这个符号是因为“≤”关系是一种典型的偏序。
- a≺b表示a≼b但a≠b
全序集/线序集：（S，≼）满足偏序集；S上的每对元素都是可比的。S称为全序集或线序集，≼成为全序或线序。一个全序集也成为链
可比：如果偏序集中两个元素a和b有a≼b或b≼a，则a和b是可比的。否则a和b是不可比的
良序：对于（S，≼），≼是全序；且S的每一个非空子集都有一个最小元素
根据偏序集构造哈塞图步骤：
- 移除表示自反关系的环
- 移走表示传递性的边
- 排列每条边，使得起点在终点的下方
- 移除有向边上的所有箭头
覆盖：（S，≼）是一个偏序集。x≺y且不存在z∈S使得x≺z≺y，则称元素y∈S覆盖元素x∈S
覆盖关系：y覆盖x的有序对（x，y）的集合
极大元：不存在b∈S使得a≺b，a就是偏序集（S，≼）中的极大元
极小元：不存在b∈S使得b≺a，a就是偏序集（S，≼）中的极小元
极大元、极小元分别对应哈塞图的“顶”元素、“底”元素
最大元：偏序集（S，≼），对于所有的b∈S都有b≼a，a是最大元
最小元：偏序集（S，≼），对于所有的b∈S都有a≼b，a是最小元
根据定义可知，最大元、最小元是唯一的
上界：偏序集（S，≼），u∈S，A是偏序集的子集。对于所有的a∈A，都有a≼u，称u是A的一个上界
下界：同理，对于l∈S，对于所有的a∈A，l≼a，称l是A的一个下界
最小上界：任意a∈A有a≼x，并且对于A的任意上界z有x≼z，x就是A的最小上界
元素a是子集A的最小上界，如果a是A的上界，且a小于其他上界。
最大下界：任意a∈A有y≼a，并且对于A的任意下界z有z≼y，y就是A的最小上界
元素a是子集A的最小上界，如果a是A的上界，且a小于其他上界。
关于最小上界x、最大下界y是否属于子集A：不一定。但是x、y一定要属于S
最小上界、最大下界也是唯一的文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-401518.htmlA的最小上界least upper bound：简记为lub(A)；最大下界greatest lower bound：glb(A)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-401518.html
到了这里，关于有关偏序的概念的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
