【蓝桥杯】质数问题、灌溉、最大数字、全排列的价值-Toy模板网

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蓝桥杯倒计时 14天

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

🍎1、质数问题

🔥1.1题目链接🔥质数问题

🔥1.2题目描述🔥
给定两个整数 n 和 k，请你判断在 [2,n] 的范围内是否存在不少于 k 个质数，满足可以表示为两个相邻质数与 1 的和。

例如，19 满足条件，因为 19=7+11+1。
输入格式
第一行包含整数 T，表示共有 T 组测试数据。

每组数据占一行，包含两个整数 n 和 k。

输出格式
每组数据输出占一行，如果存在不少于 k 个质数满足条件则输出 YES，否则输出 NO。

数据范围
1≤T≤30,
2≤n≤1000,
0≤k≤1000

输入样例:

输出样例：

YES
NO
YES
YES
YES

🔥1.3分析题意🔥
根据题意，有T次询问，每次询问输入n, k，分别表示[2 - n]区间的质数是否满足两个质数与1的和不少于k个，很显然，我们需要利用到线性筛这个算法以及枚举区间的值是否满足primes[j - 1] + primes[j] + 1 == i，满足则ans++，最后判断一下ans是不是大于等于k就行了。

🔥1.4C++代码示例🔥

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
//默写筛质数模板
int primes[N], cnt;//primes[]数组是存每一个质数，cnt是存质数的个数
bool st[N];//判断是是不是质数
int t;
void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt ++] = i; //如果i是质数就加进数表里
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) //质数值小于n /i
        {
            st[primes[j] * i] = true;//把prinmes[j] 的合数筛掉
            if(i % primes[j] == 0) break; 
        }
    }
}
int main ()
{
    cin >> t;
    get_primes(N - 1);
    while(t --)
    {
        int n, k;
        int ans = 0;
        cin >> n >> k;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if(st[i]) continue; //如果i不是质数继续循环
            for(int j = 0; primes[j] <= n; j++)
            {
                if(primes[j - 1] + primes[j] + 1 == i) ans++;
            }
        }
        if(ans >= k) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}

🍎2、灌溉

🔥2.1题目链接🔥灌溉

🔥2.2题目描述🔥
小蓝负责花园的灌溉工作。
花园可以看成一个 n 行 m 列的方格图形。中间有一部分位置上安装有出水管。
小蓝可以控制一个按钮同时打开所有的出水管，打开时，有出水管的位置可以被认为已经灌溉好。
每经过一分钟，水就会向四面扩展一个方格，被扩展到的方格可以被认为已经灌溉好。即如果前一分钟某一个方格被灌溉好，则下一分钟它上下左右的四个方格也被灌溉好。
给定花园水管的位置，请问 k 分钟后，有多少个方格被灌溉好？

输入描述:
输入的第一行包含两个整数 n，m。

第二行包含一个整数 t，表示出水管的数量。

接下来 t 行描述出水管的位置，其中第 i 行包含两个数 r，c 表示第 r 行第 c 列有一个排水管。

接下来一行包含一个整数 k。

其中，1≤n,m≤100,1≤t≤10,1≤k≤100。

输入输出样例：

输入

输出

🔥2.3分析题意🔥
根据题意，我们有一个n行m列的图，然后读入t次水管的位置，有水管的地方第0分钟就是被灌溉到了，接下来就是每过一分钟，水就会向四面扩展一个方格，我们需要设置一个方向数组，我们设置一个bool数组，被灌溉到的标记为true，注意，第一次被灌溉到，由于我们还在遍历，我们需要先判断这个位置是不是刚刚被灌溉到，被灌溉到我们就置1.

🔥2.4C++代码示例🔥

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int st[102][102] = {0};//状态数组
int a[102][102] = {0};
int n, m;
int t, k;
int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};
void turn(int x, int y)
{
  for(int i = 0; i < 4; i++)
  {
    int ax = x + dx[i];
    int ay = y + dy[i];
    if(ax >= 1 && ax <= n && ay >= 1 && ay <= m && st[ax][ay] == 0)
    {
      st[ax][ay] = 1;
      a[ax][ay] = 1;//被覆盖的点标为1
    }
  }
}
int main()
{
  int res = 0;
  cin >> n >> m;
  cin >> t;
  while(t --)
  {
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    st[x][y] = 1;
  }
  cin >> k;
  while(k --)//K分钟
  {
    for(int i = 1; i <= 100; i++)
      for(int j = 1; j <= 100; j++)
      {
        if(st[i][j] == 1 && a[i][j] != 1)//如果这个位置有水，并且保证这次不turn刚刚覆盖过的地方
        {
          turn(i, j);
        }
      }
  }
  for(int i = 1; i <= 100; i++)
      for(int j = 1; j <= 100; j++)
      {
        if(st[i][j])
        {
          res++;
        }
      }
  cout << res << endl;
  return 0;
}

🍎3、最大数字

🔥3.1题目链接🔥最大数字

🔥3.2题目描述🔥
给定一个正整数 N 。你可以对 N 的任意一位数字执行任意次以下 2 种操作：

将该位数字加 1 。如果该位数字已经是 9 , 加 1 之后变成 0 。
将该位数字减 1 。如果该位数字已经是 0 , 减 1 之后变成 9 。

你现在总共可以执行 1 号操作不超过 A 次, 2 号操作不超过 B 次。请问你最大可以将 N 变成多少?

输入格式
第一行包含 3 个整数: N, A, B。

输出格式
一个整数代表答案。

样例输入

123 1 2

样例输出

样例说明：
对百位数字执行 2 次 2 号操作, 对十位数字执行 1 次 1 号操作。

评测用例规模与约定
对于30% 的数据, 1≤N≤100;0≤A,B≤10。

对于100% 的数据, 1≤N≤10^17 ;0≤A,B≤100

🔥3.3分析题意🔥
根据题目样例，AB都在100以内， N用字符串表示长度也小于20，所以我们这题可以用dfs深搜来做，我们可以来分析一下1和2操作对应的操作数变化，我们的目的是让每一个当前的数x尽量大，到9最好，对于操作数1，针对当前的数来说，他的使用次数最少是a次，如果a比较小，最多是9 - x次，所以我们int t= min(a, 9 - x); 对于操作数2,因为是让数字减小的，如果不能从0 - 9，我们尽量不用，所以在使用时先判断一下操作数b是不是> x。我们在使用完一次操作往下递归时，递归完要注意恢复现场。

🔥3.4代码示例🔥

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL ans;
int n, m;
char s[20];
void dfs(int i, LL res)
{
  int x = s[i] - '0';
  if(s[i])
  {
    int t = min(n, 9 - x); //对当前位置使用的操作1的次数
    n -= t;
    dfs(i + 1, res * 10 + t + x);
    //回溯
    n += t;
    if(m > x)//说明能够进行操作2
    {
      m -= x + 1;
      dfs(i + 1, res* 10 + 9);
      //恢复现场
      m += x + 1;
    }
  }
  else {
    ans = max(ans, res);
  }
}
int main ()
{
  scanf("%s%d%d", s, &n, &m);
  dfs(0, 0);
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

🍎4、全排列的价值

🔥4.1题目链接🔥全排列的价值

🔥4.2题目描述🔥
【蓝桥杯】质数问题、灌溉、最大数字、全排列的价值
输入格式
输入一行包含一个整数 n 。

输出格式
输出一行包含一个整数表示答案, 由于所有排列的价值之和可能很大, 请输出这个数除以 998244353 的余数。

样例输入

样例输出

样例说明
1 至 3 构成的所有排列的价值如下:
0+1+2=3
0+1+1=2
0+0+2=2
0+1+0=1
0+0+1=1
0+0+0=0

故总和为 3+2+2+1+1=9.

评测用例规模与约定
对于40% 的评测用例,n≤20;

对于70% 的评测用例, n≤5000;

对于所有评测用例,2≤n≤10^6

🔥4.3分析题意🔥
*分析题意，就是求出一个数的全排列，求每一个全排列中第i个数前面有多少个数<i的总和，暴力做法：dfs求全排列，然后再两层循环去枚举符合的情况，由于数据量太大，会超时，6 /20。方法2：dp。方法3：找题目的规律，正序排列C最大+逆序排列C=0：这样的对有n!/2，每对的和等于n(n-1)/2。

🔥4.4题目描述🔥
暴力的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
typedef long long LL;
LL ans;
const int N = 1e6 +10;
int a[N];
bool st[N];
void dfs(int u)
{
  if(u > n)
  {
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
    {
      for(int j = i - 1; j > 0; j--)
      {
        if(a[j] < a[i]) ans++;
      }
    }
    return;
  }
  for(int i = 1; i <= n; i++)
    if(!st[i]) //没被用过，是false，就进来
    {
      a[u] = i;//没用过的填进去
      st[i] = true;
      dfs(u + 1);
      a[u] = 0; //恢复现场
      st[i] = false;
    }
}
int main()
{
  cin >> n;
  dfs(1);
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

找规律的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const ll mod = 998244353;
ll n,res = 1;
int main()
{
  scanf("%ld", &n);
  res = (n * (n - 1) / 2) % mod;
  for(int i = 3; i <= n; i ++)
  {
    res = (res * i) % mod;
  }
  // res = (res * ((n * (n - 1) / 2) % mod)) % mod;
  printf("%ld", res);
  return 0;
}