【证明】矩阵可以对角化的充要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量-Toy模板网

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定理 1　 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与对角矩阵相似（即 $\boldsymbol{A}$ 能对角化）的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

证明　不妨设有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}$ 为对角矩阵。把 $\boldsymbol{P}$ 用其列向量表示为
$\boldsymbol{p} = (\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_n)$

由 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}$ ，得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda}$ ，即
$\begin{align*} \boldsymbol{A} (\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_n) & = (\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix} \\ & = (\lambda_1 \boldsymbol{p}_1, \lambda_2 \boldsymbol{p}_2, \cdots, \lambda_n \boldsymbol{p}_n) \end{align*}$
于是有
$\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_i = \lambda_i \boldsymbol{p}_i \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,n)$
可见 $\lambda_i$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，而 $\boldsymbol{P}$ 的列向量 $\boldsymbol{p}_i$ 就是 $\boldsymbol{A}$ 的对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。

首先证明充分性。因为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与对角矩阵相似，所以可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 存在，从而矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的秩等于矩阵的阶数 $n$ ，进而向量组 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_n$ 线性无关，即 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

再次证明充分性。因为 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，所以向量组向量组 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_n$ 线性无关，从而矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的秩等于矩阵的阶数 $n$ ，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 可逆且存在，于是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与对角矩阵相似。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-401843.html