五分钟了解三门问题是什么？贝叶斯公式和蒙提霍尔问题有什么关联？-Toy模板网

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1. 导读

经典三门问题相信大家都了解过，如果没了解过，那刚好，本文带大家5分钟了解三门问题是什么。

2. 题目描述

热心市民小明被选中参加一个抽奖游戏，游戏规则是这样的：

小明面前有ABC三扇相同的门，小明和观众无法知道ABC三扇门背后有什么。
ABC三扇门中只有一扇门背后有一辆汽车，其他两扇门背后都是一瓶矿泉水。
小明需要在3扇门中选中一个并且不开启，接下来主持人从另外两扇门中选中一扇门并且开启。
小明选中了A门，主持人选中了B门，并且开启B门后是矿泉水。
这时主持人问小明，明哥你要不要从A门换选C门呢？

大家都替小明思考一下，别瞎蒙，要有理有据，能不能提到这辆法拉利就在此一搏了！

3. 蒙提·霍尔问题

相信很多朋友都了解过这个问题，这就是有名的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem)，也称三门问题。

这是一个源自博弈论的数学游戏问题，出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。

这里面有个非常重要的线索：主持人知道哪扇门后有汽车且会选中背后有水的那扇门，这也是争议的所在，相当于个隐含条件吧。

在维基百科对于 Monty Hall 问题的描述中，门的背后是山羊和汽车，本文替换成了矿泉水，但是数学原理是一样的，避免读者钻牛角尖。

面对这个问题，很多人认为换或者不换选中汽车的概率都是1/2，还有一部分人认为应该换了之后的概率更大是2/3。
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4. 朴素分析

换或者不换，是个问题。

4.1 不换的1/2派

由于主持人已经帮小明淘汰了一个选项，剩下的就只有两个了。

很直观地感觉一下，A门和C门背后有汽车的概率都是1/2，这个结论也是符合大部分人直观第一感觉的答案。

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但真理往往掌握在少数人手中，所以这个直观答案并不一定正确呀！

4.2 调换的2/3派

调换派认为不换的话有车的概率就是最初的 $1/3$ ，由于B和C总体的概率为 $2/3$ ，且已经被排除了B，那么修改选择后，选C有车的概率就是 $2/3$ 。

详细分析一下这几种可能：

A扇门背后有车，如果调换到C，那么一定没有车，这种场景的概率是 $1/3$ 。
A扇门背后无车，如果调换到C，那么一定有车，这种场景的概率是 $2/3$ 。

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确实非常有道理，用一个低概率成功去换取一个高概率成功，太机智了！

4.3 分歧所在

在主持人没有开启B门之前，我们对选择A后有汽车的概率是 $1/3$ 是毫无争议的。

但是当主持人开启B门之后，就出现了分歧，那么不由得去想B门的开启是否影响了之前的选择A呢？

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5. 数学分析

5.1 独立事件的概率和条件概率

独立事件概率

我们设定事件a的概率为 $P (a)$ ，事件b的概率是 $P (b)$ ，且事件a和事件b是相互独立的。

则事件a和事件b同时发生的概率，满足如下公式： $P (ab) = P (ba) = P (a) P (b)$

条件概率

条件概率是在某种条件下，某个事件发生的概率，展示了事件之间的内在联系和影响。

我们来看两种条件概率的简单表述。

事件a发生之后，事件b发生的概率，可以记做 $P (b ∣ a)$ ，此时满足公式： $P (b ∣ a) = P (ab) / P (a)$ 等价于 $P (ab) = P (b ∣ a) P (a)$
事件b发生之后，事件a发生的概率，可以记做 $P (a ∣ b)$ ，此时满足公式： $P (a ∣ b) = P (ab) / P (b)$ 等价于 $P (ab) = P (a ∣ b) P (b)$
综合这两种条件事件，可以得到公式： $P (ab) = P (b ∣ a) P (a) = P (a ∣ b) P (b)$

5.2 贝叶斯公式

我们综合计算得到一个公式： $P (b ∣ a) P (a) = P (a ∣ b) P (b)$

这个公式做一个变形可以得到： $P (a ∣ b) = P (b ∣ a) P (a) / P (b)$

没错，这就是贝叶斯公式。

5.3 先验概率和后验概率

在贝叶斯公式中，还隐含着一些术语，来看下百度百科对于其中的定义：

$P (A)$ 是A的先验概率或边缘概率，它不考虑任何B方面的因素。

$P (A ∣ B)$ 是B发生后A的条件概率，由于得自B的取值被称作A的后验概率。

$P (B ∣ A)$ 是A发生后B的条件概率，由于得自A的取值被称作B的后验概率。

$P (B)$ 是B的先验概率或边缘概率，称作标准化常量。

贝叶斯公式的意义非常重大，它揭示了条件事件概率的内在联系，某些样本信息的出现对先验概率的影响。

贝叶斯公式为我们利用搜集到的信息对原有判断进行修正提供了有效手段。

在很多领域都有非常深远的影响，正好用在我们今天的蒙提霍尔问题上，继续来分析。

6. 贝叶斯公式和蒙提霍尔问题

前面我们提到了，症结在于主持人选择B门并开启后无车，这个事件对于已作出选择的参与者来说是否有影响呢？

后验概率是否产生了影响，我们来推导一下：

设定A、B、C门后有汽车分别记为事件a、b、c，则 $P (a) = P (b) = P (c) = 1/3$ 。
设定参与者选择了A门，由于主持人默认需要选择没有汽车的门，因此参与者的选择影响了主持人的选择。
设定主持人选择了B门且没有汽车，记为事件d，则 $P (d ∣ a) = 1/2, P (d ∣ b) = 0, P (d ∣ c) = 1$ 。
在主持人选择B门无汽车后，参与者选择A门有车的概率为 $P (a ∣ d)$ ，即事件d发生后事件a的概率，由贝叶斯公式得： $P (a ∣ d) = P (d ∣ a) P (a) / P (d)$

通过前面的分析，我们只需要求 $P (d ∣ a)$ 、 $P (a)$ 、 $P (d)$ 三个元素即可。

$P (d ∣ a)$ ：表示A门有汽车的情况下，主持人选择B门的概率，其为 $1/2$ ；
$P (a)$ ：表示A门有汽车的概率，其为 $1/3$ ；
$P (d)$ ：可以从全概率公式求得，其为 $1/2$ ：

$P (d) = P (d ∣ a) P (a) + P (d ∣ b) P (b) + P (d ∣ c) P (c)$

$P (d) = 1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3 = 1/2$