系列文章目录
- 学习高等数学和线性代数需要的初等数学知识
- 线性代数——行列式
- 线性代数——矩阵
- 线性代数——向量
- 线性代数——线性方程组
- 线性代数——特征值和特征向量
- 线性代数——二次型
版权声明
本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。
五分钟记住公式
从矩阵的转置章节到方阵和行列式章节有大量重要的公式,本人亲测通过以下方法可以在五分钟之内全部记忆:
- 摆正心态,此时此刻必须全部记住,不要往后拖。
- 每一节公式顺序上有规律(不一定全有,并且后面章节对前面章节有不可见性):
- ①最重要的公式
- ②加法公式
- ③数乘公式
- ④乘法公式
- ⑤转置公式
- ⑥伴随公式
- ⑦逆矩阵公式
- ⑧其它公式
- 默写一遍,记不住的看看推导过程。
基础概念
- 矩阵:由
m
×
n
m\times n
m×n个数组成的
m
m
m行
n
n
n列的表格:
A
=
[
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
]
A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{bmatrix}
A=
a11a21⋮am1a12a22⋮am2………a1na2n⋮amn
称为一个 m × n m\times n m×n矩阵,当 m = n m=n m=n时,称 A A A为 n n n阶矩阵或 n n n阶方阵。 - 同型矩阵:如果 A A A和 B B B都是 m × n m\times n m×n矩阵,那么称 A A A和 B B B是同型矩阵。
- 相等矩阵:设 A , B A,B A,B是同型矩阵,如果 a i j = b i j ( ∀ i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) a_{ij}=b_{ij}(\forall i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n) aij=bij(∀i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则称 A A A和 B B B相等,记作 A = B A=B A=B。
- 零矩阵:如果一个矩阵的所有元素都是 0 0 0,那么就称这个矩阵为零矩阵,记作 O O O。
- 对角矩阵: [ a 11 a 22 ⋱ a n n ] \begin{bmatrix} a_{11}&&\\ &a_{22}&\\ &&\ddots&\\ &&&a_{nn} \end{bmatrix} a11a22⋱ann
- 单位矩阵
E
E
E:
[
1
1
⋱
1
]
\begin{bmatrix} 1&&\\ &1&\\ &&\ddots&\\ &&&1 \end{bmatrix}
11⋱1
- E T = E E^T=E ET=E
- E ∗ = E E^*=E E∗=E
- E − 1 = E E^{-1}=E E−1=E
- 上三角矩阵: [ a 11 a 12 … a 1 n a 22 … a 2 n ⋱ ⋮ a n n ] \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ &a_{22}&\dots&a_{2n}\\ &&\ddots&\vdots\\ &&&a_{nn} \end{bmatrix} a11a12a22……⋱a1na2n⋮ann 当 i > j i>j i>j时, a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0
- 下三角矩阵: [ a 11 a 21 a 22 ⋮ ⋮ ⋱ a n 1 a n 2 … a n n ] \begin{bmatrix} a_{11}&&&\\ a_{21}&a_{22}&&\\ \vdots&\vdots&\ddots&\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix} a11a21⋮an1a22⋮an2⋱…ann 当 i < j i<j i<j时, a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0
矩阵的运算
矩阵的加法
若
A
=
[
a
i
j
]
,
B
=
[
b
i
j
]
A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]
A=[aij],B=[bij]为同型矩阵,那么
A
+
B
=
[
a
i
j
+
b
i
j
]
A+B=[a_{ij}+b_{ij}]
A+B=[aij+bij]
加法运算法则(
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C同型):
- A + B = B + A A+B=B+A A+B=B+A
- ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A+B)+C=A+(B+C) (A+B)+C=A+(B+C)
- A + O = A A+O=A A+O=A
- A + ( − A ) = O A+(-A)=O A+(−A)=O
数与矩阵相乘
k
A
=
[
k
a
i
j
]
kA=[ka_{ij}]
kA=[kaij]
数乘运算法则:
- k ( m A ) = m ( k A ) = ( m k ) A k(mA)=m(kA)=(mk)A k(mA)=m(kA)=(mk)A
- ( k + m ) A = k A + m A (k+m)A=kA+mA (k+m)A=kA+mA
- k ( A + B ) = k A + k B k(A+B)=kA+kB k(A+B)=kA+kB
- 1 A = A 1A=A 1A=A
- 0 A = O 0A=O 0A=O
矩阵的乘法
若
A
=
[
a
i
j
]
m
×
s
,
B
=
[
b
i
j
]
s
×
n
A=[a_{ij}]_{m\times s},B=[b_{ij}]_{s\times n}
A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,则
A
×
B
=
C
=
[
c
i
j
]
m
×
n
A\times B=C=[c_{ij}]_{m\times n}
A×B=C=[cij]m×n其中
c
i
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
⋯
+
a
i
s
b
s
j
=
∑
k
=
1
n
a
i
k
b
k
j
c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=k=1∑naikbkj
乘法运算法则:
-
A
(
B
C
)
=
(
A
B
)
C
A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
证明:设 A = [ a i j ] m × s A=[a_{ij}]_{m\times s} A=[aij]m×s, B = [ b i j ] s × t B=[b_{ij}]_{s\times t} B=[bij]s×t, C = [ c i j ] t × n C=[c_{ij}]_{t\times n} C=[cij]t×n:
A ( B C ) = D m × n ( A B ) C = E m × n A(BC)=D_{m\times n}\\(AB)C=E_{m\times n} A(BC)=Dm×n(AB)C=Em×n
D D D中第 i i i行第 j j j列的元素等于 A A A中 i i i行与 B C BC BC中 j j j列对应元素相乘再相加:
∑ k = 1 s a i k ( ∑ p = 1 t b k p c p j ) = ∑ k = 1 s ∑ p = 1 t a i k b k p c p j \sum_{k=1}^sa_{ik}(\sum_{p=1}^tb_{kp}c_{pj})=\sum_{k=1}^s\sum_{p=1}^ta_{ik}b_{kp}c_{pj} k=1∑saik(p=1∑tbkpcpj)=k=1∑sp=1∑taikbkpcpj
同理 E E E中第 i i i行第 j j j列的元素等于:
∑ p = 1 t ( ∑ k = 1 s a i k b k p ) c p j = ∑ k = 1 s ∑ p = 1 t a i k b k p c p j \sum_{p=1}^t(\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kp})c_{pj}=\sum_{k=1}^s\sum_{p=1}^ta_{ik}b_{kp}c_{pj} p=1∑t(k=1∑saikbkp)cpj=k=1∑sp=1∑taikbkpcpj - A ( B + C ) = A B + A C A(B+C)=AB+AC A(B+C)=AB+AC
- ( k A ) ( l B ) = k l A B (kA)(lB)=klAB (kA)(lB)=klAB
- A E = A , E A = A AE=A,EA=A AE=A,EA=A
- O A = O , A O = O OA=O,AO=O OA=O,AO=O
注意:
- A B ≠ B A AB\neq BA AB=BA
- ( A + B ) 2 ≠ A 2 + 2 A B + B 2 (A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2 (A+B)2=A2+2AB+B2
- ( A + E ) 2 = A 2 + 2 A + E (A+E)^2= A^2+2A+E (A+E)2=A2+2A+E
- A B = O ⇏ A = O AB=O\nRightarrow A=O AB=O⇏A=O或 B = O B=O B=O
- A B = A C , A ≠ O ⇏ B = C AB=AC,A\neq O \nRightarrow B=C AB=AC,A=O⇏B=C
- 若 A , B A,B A,B是对角矩阵,则 A B = B A AB=BA AB=BA
几个特殊的向量乘法
设 α , β \alpha,\beta α,β为两个列向量,则:
- r ( α β T ) = 1 r(\alpha\beta^T)=1 r(αβT)=1
- α T β = t r ( α β T ) \alpha^T\beta=tr(\alpha\beta^T) αTβ=tr(αβT)
- r ( α α T ) = 1 r(\alpha\alpha^T)=1 r(ααT)=1且 α α T \alpha\alpha^T ααT是一个对称矩阵
- α T α = t r ( α α T ) \alpha^T\alpha=tr(\alpha\alpha^T) αTα=tr(ααT)
A n A^n An的计算方法
计算 A n A^n An的方法如下:
- [ a 1 a 2 a 3 ] n = [ a 1 n a 2 n a 3 n ] \begin{bmatrix}a_1&&\\&a_2&\\&&a_3\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}a_1^n&&\\&a_2^n&\\&&a_3^n\end{bmatrix} a1a2a3 n= a1na2na3n
- 若
r
(
A
)
=
1
r(A)=1
r(A)=1,则
A
A
A可分解为一个列向量和一个行向量的乘积,且有
A n = [ t r ( A ) ] n − 1 A A^n=[tr(A)]^{n-1}A An=[tr(A)]n−1A - 若 A ∼ B A\thicksim B A∼B,则 A n = P B n P − 1 A^n=PB^nP^{-1} An=PBnP−1
- 若
A
=
k
E
+
B
A=kE+B
A=kE+B,则
A n = ( k E ) n + n ( k E ) n − 1 B + C n 2 ( k E ) n − 2 B 2 + C n 3 ( k E ) n − 3 B 3 + … A^n=(kE)^n+n(kE)^{n-1}B+C_n^2(kE)^{n-2}B^2+C_n^3(kE)^{n-3}B^3+\dots An=(kE)n+n(kE)n−1B+Cn2(kE)n−2B2+Cn3(kE)n−3B3+…
矩阵的转置
设 A = [ a i j ] m × n A=[a_{ij}]_{m\times n} A=[aij]m×n,将 A A A的行列互换,得到的 n × m n\times m n×m矩阵 [ a j i ] n × m [a_{ji}]_{n\times m} [aji]n×m称为 A A A的转置矩阵,记为 A T A^T AT若 A T = A A^T=A AT=A,则称 A A A为对称矩阵,若 A T = − A A^T=-A AT=−A,则称 A A A为反对称矩阵。转置运算法则如下:
-
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
(A+B)^T=A^T+B^T
(A+B)T=AT+BT
证明:设 A = [ a i j ] m × n , B = [ b i j ] m × n A=[a_{ij}]_{m\times n},B=[b_{ij}]_{m\times n} A=[aij]m×n,B=[bij]m×n,则:
( A + B ) T = [ a i j + b i j ] m × n T = [ a j i + b j i ] n × m A T + B T = [ a i j ] m × n T + [ b i j ] m × n T = [ a j i ] n × m + [ b j i ] n × m = [ a j i + b j i ] n × m (A+B)^T=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}^T=[a_{ji}+b_{ji}]_{n\times m}\\A^T+B^T=[a_{ij}]_{m\times n}^T+[b_{ij}]_{m\times n}^T=[a_{ji}]_{n\times m}+[b_{ji}]_{n\times m}=[a_{ji}+b_{ji}]_{n\times m} (A+B)T=[aij+bij]m×nT=[aji+bji]n×mAT+BT=[aij]m×nT+[bij]m×nT=[aji]n×m+[bji]n×m=[aji+bji]n×m -
(
k
A
)
T
=
k
A
T
(kA)^T=kA^T
(kA)T=kAT
证明:设 A = [ a i j ] m × n A=[a_{ij}]_{m\times n} A=[aij]m×n,则:
( k A ) T = [ k a i j ] m × n T = [ k a j i ] n × m k A T = k [ a i j ] m × n T = [ k a j i ] n × m (kA)^T=[ka_{ij}]_{m\times n}^T=[ka_{ji}]_{n\times m}\\kA^T=k[a_{ij}]_{m\times n}^T=[ka_{ji}]_{n\times m} (kA)T=[kaij]m×nT=[kaji]n×mkAT=k[aij]m×nT=[kaji]n×m -
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
(AB)^T=B^TA^T
(AB)T=BTAT
证明:设 A = [ a i j ] m × s , B = [ b i j ] s × n A=[a_{ij}]_{m\times s},B=[b_{ij}]_{s\times n} A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,则有:
A B = [ c i j ] m × n ⇓ ( A B ) T = [ c j i ] n × m AB=[c_{ij}]_{m\times n}\\ \Downarrow\\ (AB)^T=[c_{ji}]_{n\times m}\\ AB=[cij]m×n⇓(AB)T=[cji]n×m
其中
c j i = ∑ k = 1 s a i k b k j c_{ji}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj} cji=k=1∑saikbkj
令
B T A T = [ d i j ] n × m B^TA^T=[d_{ij}]_{n\times m} BTAT=[dij]n×m
B T A T B^TA^T BTAT的 j j j行 i i i列元素是 B T B^T BT的 j j j行与 A T A^T AT的 i i i列所得,也是 B B B的 j j j列与 A A A的 i i i行所得,因此:
d j i = ∑ k = 1 s b k j a i k = c j i d_{ji}=\sum_{k=1}^sb_{kj}a_{ik}=c_{ji} dji=k=1∑sbkjaik=cji - ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A
- 若
A
A
T
=
O
AA^T=O
AAT=O,则
A
=
O
A=O
A=O
证明:设 A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} A=[a11a21a12a22],则 O 11 = a 11 a 11 + a 12 a 12 = 0 ⇓ a 11 = 0 , a 12 = 0 O_{11}=a_{11}a_{11}+a_{12}a_{12}=0\\\Downarrow\\ a_{11}=0,a_{12}=0 O11=a11a11+a12a12=0⇓a11=0,a12=0
同理可得 a 21 = 0 , a 22 = 0 a_{21}=0,a_{22}=0 a21=0,a22=0,所以 A = O A=O A=O
伴随矩阵
设 A = [ a i j ] A=[a_{ij}] A=[aij]是 n n n阶方阵,行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣的每个元素 a i j a_{ij} aij的代数余子式 A i j A_{ij} Aij所构成的如下方阵称为 A A A的伴随矩阵。 A ∗ = [ A 11 A 21 … A n 1 A 12 A 22 … A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n … A n n ] A^*=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\dots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\dots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{bmatrix} A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n………An1An2⋮Ann 伴随矩阵的性质:
-
A
A
∗
=
A
∗
A
=
∣
A
∣
E
AA^*=A^*A=|A|E
AA∗=A∗A=∣A∣E
证明:设 A A A为 n n n阶矩阵(以 n = 2 n=2 n=2)为例:
A A ∗ = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ A 11 A 21 A 12 A 22 ] = [ a 11 A 11 + a 12 A 12 a 11 A 21 + a 12 A 22 a 21 A 11 + a 22 A 12 a 21 A 21 + a 22 A 22 ] = [ ∣ A ∣ O O ∣ A ∣ ] = ∣ A ∣ [ 1 0 0 1 ] = ∣ A ∣ E AA^* = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}\\ A_{12}&A_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}&a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}&a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |A|&O\\ O&|A| \end{bmatrix} =|A| \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} =|A|E AA∗=[a11a21a12a22][A11A12A21A22]=[a11A11+a12A12a21A11+a22A12a11A21+a12A22a21A21+a22A22]=[∣A∣OO∣A∣]=∣A∣[1001]=∣A∣E - 如果 A A A可逆,则 A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^*=|A|A^{-1} A∗=∣A∣A−1
- 如果
A
A
A可逆,则
(
k
A
)
∗
=
k
n
−
1
A
∗
(kA)^*=k^{n-1}A^*
(kA)∗=kn−1A∗
证明:
( k A ) ∗ = ∣ k A ∣ ( k A ) − 1 = k n ∣ A ∣ 1 k A − 1 = k n − 1 A ∗ (kA)^{*}=|kA|(kA)^{-1}=k^{n}|A|\frac{1}{k}A^{-1}=k^{n-1}A^* (kA)∗=∣kA∣(kA)−1=kn∣A∣k1A−1=kn−1A∗ - 如果
A
A
A可逆,则
(
A
∗
)
T
=
(
A
T
)
∗
(A^*)^T=(A^T)^*
(A∗)T=(AT)∗
证明:
( A ∗ ) T = ( ∣ A ∣ A − 1 ) T = ∣ A T ∣ ( A T ) − 1 = ( A T ) ∗ (A^*)^T=(|A|A^{-1})^T=|A^T|(A^T)^{-1}=(A^T)^* (A∗)T=(∣A∣A−1)T=∣AT∣(AT)−1=(AT)∗ - 如果
A
A
A可逆,则
(
A
∗
)
∗
=
∣
A
∣
n
−
2
A
(A^*)^*=|A|^{n-2}A
(A∗)∗=∣A∣n−2A
证明:
( A ∗ ) ∗ = ( ∣ A ∣ A − 1 ) ∗ = ∣ A ∣ n − 1 ( A − 1 ) ∗ = ∣ A ∣ n − 1 ∣ A ∣ − 1 A = ∣ A ∣ n − 2 A (A^*)^*=(|A|A^{-1})^*=|A|^{n-1}(A^{-1})^*=|A|^{n-1}|A|^{-1}A=|A|^{n-2}A (A∗)∗=(∣A∣A−1)∗=∣A∣n−1(A−1)∗=∣A∣n−1∣A∣−1A=∣A∣n−2A - 二阶矩阵的伴随矩阵:主对角线互换,副对角线变号。
可逆矩阵
对于 n n n阶方阵 A A A,如果存在 n n n阶方阵 B B B,使 A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E则称 A A A是可逆矩阵或非奇异矩阵,矩阵 B B B是 A A A的逆矩阵。如果矩阵 A A A是可逆的,那么 A A A的逆矩阵是唯一的,记作 A − 1 A^{-1} A−1可逆矩阵的性质如下:
- A , B A,B A,B是 n n n阶方阵,如果 A B = E AB=E AB=E,则 A − 1 = B A^{-1}=B A−1=B。
-
A
−
1
=
1
∣
A
∣
A
∗
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
A−1=∣A∣1A∗
证明:
∵ A A ∗ = ∣ A ∣ E ∴ A A ∗ ∣ A ∣ = E = A A − 1 ∴ A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \because AA^*=|A|E\\ \therefore A\frac{A^*}{|A|}=E=AA^{-1}\\ \therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* ∵AA∗=∣A∣E∴A∣A∣A∗=E=AA−1∴A−1=∣A∣1A∗ -
(
k
A
)
−
1
=
1
k
A
−
1
(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}
(kA)−1=k1A−1
证明:
∵ k A A − 1 1 k = k E 1 k = E ∴ ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 \because kAA^{-1}\frac{1}{k}=kE\frac{1}{k}=E\\ \therefore(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} ∵kAA−1k1=kEk1=E∴(kA)−1=k1A−1 -
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
(AB)−1=B−1A−1
证明:
∵ A B B − 1 A − 1 = A E A − 1 = E ∴ ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 \because ABB^{-1}A^{-1}=AEA^{-1}=E\\ \therefore(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} ∵ABB−1A−1=AEA−1=E∴(AB)−1=B−1A−1 -
(
A
−
1
)
T
=
(
A
T
)
−
1
(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}
(A−1)T=(AT)−1
证明:
( A T ) − 1 = ( A T ) ∗ ∣ A T ∣ = ( A ∗ ) T ∣ A T ∣ = ( A ∗ ∣ A ∣ ) T = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=\frac{(A^T)^*}{|A^T|}=\frac{(A^*)^T}{|A^T|}=(\frac{A^*}{|A|})^{T}=(A^{-1})^T (AT)−1=∣AT∣(AT)∗=∣AT∣(A∗)T=(∣A∣A∗)T=(A−1)T -
(
A
−
1
)
∗
=
(
A
∗
)
−
1
=
A
∣
A
∣
(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}=\frac{A}{|A|}
(A−1)∗=(A∗)−1=∣A∣A
证明:
( A − 1 ) ∗ = ( A − 1 ) ∗ A − 1 A = ∣ A − 1 ∣ E A = A ∣ A ∣ ( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ∣ A ∣ ) − 1 = A ∣ A ∣ (A^{-1})^*=(A^{-1})^*A^{-1}A=|A^{-1}|EA=\frac{A}{|A|}\\ (A^*)^{-1}=(A^{-1}|A|)^{-1}=\frac{A}{|A|} (A−1)∗=(A−1)∗A−1A=∣A−1∣EA=∣A∣A(A∗)−1=(A−1∣A∣)−1=∣A∣A -
(
A
−
1
)
−
1
=
A
(A^{-1})^{-1}=A
(A−1)−1=A
证明:令 B = A − 1 B=A^{-1} B=A−1
那么: B A = A B = E BA=AB=E BA=AB=E
所以 B B B可逆且 B − 1 = ( A − 1 ) − 1 = A B^{-1}=(A^{-1})^{-1}=A B−1=(A−1)−1=A - 如果 A = [ a 1 a 2 a 3 ] A=\begin{bmatrix}a_1&&\\&a_2&\\&&a_3\end{bmatrix} A= a1a2a3 是对角矩阵,则 A − 1 = [ 1 a 1 1 a 2 1 a 3 ] A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{a_1}&&\\&\frac{1}{a_2}&\\&&\frac{1}{a_3}\end{bmatrix} A−1= a11a21a31
-
A
A
A可逆
⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow|A|\neq0 ⇔∣A∣=0
⇔ A \Leftrightarrow A ⇔A的列(行)向量组线性无关
⇔ A = P 1 P 2 … P n , P i ( i = 1 , 2 , … , n ) \Leftrightarrow A=P_1P_2\dots P_n,P_i(i=1,2,\dots,n) ⇔A=P1P2…Pn,Pi(i=1,2,…,n)为初等矩阵
⇔ A ≅ E \Leftrightarrow A\cong E ⇔A≅E
⇔ 0 \Leftrightarrow 0 ⇔0不是矩阵 A A A的特征值
正交矩阵
设
A
A
A是
n
n
n阶矩阵,满足
A
A
T
=
A
T
A
=
E
AA^T=A^TA=E
AAT=ATA=E
则称
A
A
A为正交矩阵。正交矩阵的性质如下:
-
A
A
A是正交矩阵
⇔ A T = A − 1 \Leftrightarrow A^T=A^{-1} ⇔AT=A−1
⇔ A \Leftrightarrow A ⇔A的列向量和行向量都是单位向量且两两正交 - 如果
A
A
A是正交矩阵,则
∣
A
∣
=
1
|A|=1
∣A∣=1或
−
1
-1
−1。
证明:
A A T = E ∣ A A T ∣ = ∣ E ∣ ∣ A ∣ ∣ A T ∣ = 1 ∣ A ∣ 2 = 1 AA^T=E\\ |AA^T|=|E|\\ |A||A^T|=1\\ |A|^2=1 AAT=E∣AAT∣=∣E∣∣A∣∣AT∣=1∣A∣2=1 - 若
A
,
B
A,B
A,B都是正交矩阵,则
A
B
AB
AB也是正交矩阵。
证明:
( A B ) ( A B ) T = A B B T A T = A E A T = E (AB)(AB)^T=ABB^TA^T=AEA^T=E\\ (AB)(AB)T=ABBTAT=AEAT=E
方阵和行列式
设 A = [ a i j ] A=[a_{ij}] A=[aij]为 n n n阶方阵,其所有元素保持位置不动所构成的行列式称为方阵 A A A的行列式,记为 ∣ A ∣ |A| ∣A∣注意:
- 仅有方阵才有行列式。
- A = O A=O A=O和 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0没有必然关系。
方阵行列式的性质:
-
∣
k
A
∣
=
k
n
∣
A
∣
|kA|=k^n|A|
∣kA∣=kn∣A∣
证明:设 A A A为 n n n阶矩阵(以 n = 2 n=2 n=2)为例:
A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} A=[a11a21a12a22]
则:
∣ k A ∣ = ∣ k a 11 k a 12 k a 21 k a 22 ∣ = k 2 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = k 2 ∣ A ∣ |kA|= \begin{vmatrix} ka_{11}&ka_{12}\\ ka_{21}&ka_{22} \end{vmatrix} =k^2 \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} =k^2|A| ∣kA∣= ka11ka21ka12ka22 =k2 a11a21a12a22 =k2∣A∣ -
∣
A
B
∣
=
∣
A
∣
∣
B
∣
|AB|=|A||B|
∣AB∣=∣A∣∣B∣
证明:设 A A A、 B B B为 n n n阶矩阵(以 n = 2 n=2 n=2)为例:
A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] B = [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22} \end{bmatrix} A=[a11a21a12a22]B=[b11b21b12b22]
构成四阶行列式 D D D:
D = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ A O − E B ∣ = ∣ a 11 a 12 0 0 a 21 a 22 0 0 − 1 0 b 11 b 12 0 − 1 b 21 b 22 ∣ = ∣ a 11 a 12 a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 a 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ∣ = ∣ A A B − E O ∣ = − 1 ( 2 × 2 ) ∣ − E ∣ ∣ A B ∣ = ∣ A B ∣ D =|A||B| = \begin{vmatrix} A&O\\ -E&B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&0&0\\ a_{21}&a_{22}&0&0\\ -1&0&b_{11}&b_{12}\\ 0&-1&b_{21}&b_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}&a_{22}&a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\ -1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&AB\\ -E&O \end{vmatrix} =-1^{(2\times2)}|-E||AB| =|AB| D=∣A∣∣B∣= A−EOB = a11a21−10a12a220−100b11b2100b12b22 = a11a21−10a12a220−1a11b11+a12b21a21b11+a22b2100a11b12+a12b22a21b12+a22b2200 = A−EABO =−1(2×2)∣−E∣∣AB∣=∣AB∣ -
∣
A
T
∣
=
∣
A
∣
|A^T|=|A|
∣AT∣=∣A∣
证明:设 A A A为 n n n阶矩阵(以 n = 2 n=2 n=2)为例:
A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix} A=[a11a21a12a22]
则:
∣ A T ∣ = ∣ a 11 a 21 a 12 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 21 a 12 |A^T|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}\\ a_{12}&a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} ∣AT∣= a11a12a21a22 =a11a22−a21a12
∣ A ∣ = ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 = ∣ A T ∣ |A|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=|A^T| ∣A∣= a11a21a12a22 =a11a22−a12a21=∣AT∣ -
∣
A
∗
∣
=
∣
A
∣
n
−
1
|A^*|=|A|^{n-1}
∣A∗∣=∣A∣n−1
证明:
∣ A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ n ∣ A ∣ − 1 = ∣ A ∣ n − 1 |A^*|=||A|A^{-1}|=|A|^n|A|^{-1}=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣∣A∣A−1∣=∣A∣n∣A∣−1=∣A∣n−1 -
∣
A
−
1
∣
=
1
∣
A
∣
|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}
∣A−1∣=∣A∣1。
证明:
∣ A − 1 ∣ = ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) − 1 = ∣ A ∣ − n ∣ A ∣ n − 1 = 1 ∣ A ∣ |A^{-1}|=(\frac{1}{|A|}A^*)^{-1}=|A|^{-n}|A|^{n-1}=\frac{1}{|A|} ∣A−1∣=(∣A∣1A∗)−1=∣A∣−n∣A∣n−1=∣A∣1 - 奇数阶的反对称矩阵其行列式为零。
分块矩阵
对矩阵适当的进行分块处理,可以有效地进行计算,分块后有如下运算法则:
- [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] + [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] = [ A 1 + B 1 A 2 + B 2 A 3 + B 3 A 4 + B 4 ] \begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\A_3+B_3&A_4+B_4\end{bmatrix} [A1A3A2A4]+[B1B3B2B4]=[A1+B1A3+B3A2+B2A4+B4]
- [ A B C D ] [ X Y Z W ] = [ A X + B Z A Y + B W C X + D Z C Y + D W ] \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X&Y\\Z&W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AX+BZ&AY+BW\\CX+DZ&CY+DW\end{bmatrix} [ACBD][XZYW]=[AX+BZCX+DZAY+BWCY+DW]
- [ A B C D ] T = [ A T C T B T D T ] \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}A^T&C^T\\B^T&D^T\end{bmatrix} [ACBD]T=[ATBTCTDT]
设 A , B A,B A,B分别为 m , s m,s m,s阶方阵,则:
- [ A O O B ] n = [ A n O O B n ] \begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}A^n&O\\O&B^n\end{bmatrix} [AOOB]n=[AnOOBn]
设 A , B A,B A,B分别为 m , n m,n m,n阶可逆矩阵,则:
- [ A O O B ] − 1 = [ A − 1 O O B − 1 ] \begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{bmatrix} [AOOB]−1=[A−1OOB−1]
- [ O A B O ] − 1 = [ O B − 1 A − 1 O ] \begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{bmatrix} [OBAO]−1=[OA−1B−1O]
若
A
B
=
C
AB=C
AB=C,对
B
B
B和
C
C
C按列分块有:
A
[
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
]
=
[
γ
1
,
γ
2
,
…
,
γ
3
]
⇓
A
b
i
=
γ
i
A[b_1,b_2,\dots,b_n]=[\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_3]\\ \Downarrow\\ Ab_i=\gamma_i
A[b1,b2,…,bn]=[γ1,γ2,…,γ3]⇓Abi=γi
即
B
B
B的列向量是
A
x
=
γ
i
Ax=\gamma_i
Ax=γi的解;对
B
B
B和
C
C
C按行分块有:
[
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
]
[
β
1
β
2
⋮
β
n
]
=
[
γ
1
γ
2
⋮
γ
n
]
\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\\\beta_2\\\vdots\\\beta_n \end{bmatrix} {=} \begin{bmatrix} \gamma_1\\\gamma_2\\\vdots\\\gamma_n \end{bmatrix}
a11a21⋮am1a12a22⋮am2………a1na2n⋮amn
β1β2⋮βn
=
γ1γ2⋮γn
即矩阵
C
C
C的行向量可由
B
B
B的行向量线性表示。对
A
A
A和
C
C
C按列分块有
[
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
]
[
b
11
b
12
…
b
1
n
b
21
b
22
…
b
2
n
⋮
⋮
⋮
b
m
1
b
m
2
…
b
m
n
]
=
[
γ
1
,
γ
2
,
…
,
γ
n
]
[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n] \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&\dots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\dots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\dots&b_{mn} \end{bmatrix} {=} \begin{bmatrix} \gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n \end{bmatrix}
[α1,α2,…,αn]
b11b21⋮bm1b12b22⋮bm2………b1nb2n⋮bmn
=[γ1,γ2,…,γn]
即矩阵
C
C
C的列向量可由
A
A
A的列向量表示。
矩阵的初等变换
以下三种变换称为矩阵的初等行(列)变换,统称为矩阵的初等变换:
- 用非零的常数乘矩阵的某一行(列)。
- 交换矩阵中两行(列)的位置。
- 将一行(列)的 k k k倍加至另一行(列)。
注意:
- 前两种变换方阵的行列式值可能改变,最后一种变换方阵的行列式不变。
使用初等变换的时机
初等行列变换均可使用:
- 求矩阵的秩
- 矩阵化为行阶梯和行最简
只能使用初等行变换:
- 解线性方程组
- 求特征向量
- 求列向量的极大线性无关组
初等矩阵
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质如下:
- 初等矩阵 P P P左乘 A A A所得到的 P A PA PA就是对 A A A做一次与 P P P同样的初等行变换。
- 初等矩阵 P P P右乘 A A A所得到的 A P AP AP就是对 A A A做一次与 P P P同样的初等列变换。
- 初等矩阵均可逆,且其逆矩阵都是同类型的初等矩阵。
- [ 1 0 0 0 1 0 0 k 1 ] − 1 = [ 1 0 0 0 1 0 0 − k 1 ] \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&k&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-k&1\end{bmatrix} 10001k001 −1= 10001−k001
- [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] − 1 = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} 100001010 −1= 100001010
- [ 1 0 0 0 k 0 0 0 1 ] − 1 = [ 1 0 0 0 1 k 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&0&0\\0&k&0\\0&0&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{k}&0\\0&0&1\end{bmatrix} 1000k0001 −1= 1000k10001
等价矩阵
如果矩阵 A A A经过有限次初等变换变成矩阵 B B B,就称矩阵 A A A与 B B B等价,记作 A ≅ B A\cong B A≅B。矩阵等价的性质如下:
- 反身性: A ≅ A A\cong A A≅A
- 对称性:若 A ≅ B A\cong B A≅B,则 B ≅ A B\cong A B≅A
- 传递性:若 A ≅ B , B ≅ C A\cong B,B\cong C A≅B,B≅C,则 A ≅ C A\cong C A≅C
-
A
≅
B
A\cong B
A≅B
⇔ P A Q = B \Leftrightarrow PAQ=B ⇔PAQ=B,其中 P , Q P,Q P,Q为可逆矩阵
⇔ r ( A ) = r ( B ) \Leftrightarrow r(A)=r(B) ⇔r(A)=r(B)
行阶梯矩阵
设 A A A是一个 m × n m\times n m×n的矩阵,如果满足:
- 如果矩阵有零行,则零行都在矩阵的底部。
- 每个非零行的矩阵的主元(即某一行中最左边的第一个非零元)所在的列的下面元素都是 0 0 0。
则称 A A A为行阶梯矩阵。
行最简矩阵
设 A A A是一个 m × n m\times n m×n的矩阵,如果满足:
- A A A是行阶梯矩阵。
- 非零行的主元都是 1 1 1,且主元所在列的其它元素都是 0 0 0。
则称 A A A为行最简矩阵。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-402905.html
初等变换在矩阵求解中的应用
- 通过初等行变换求解矩阵的逆矩阵:
A
A
A矩阵可逆
⇔
\Leftrightarrow
⇔
A
A
A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。即
P n … P 2 P 1 = A P_n\dots P_2P_1=A Pn…P2P1=A
那么
( P n … P 2 P 1 ) − 1 A = E (P_n\dots P_2P_1)^{-1}A=E (Pn…P2P1)−1A=E
因为 ( P n … P 2 P 1 ) − 1 = P 1 − 1 P 2 − 1 … P n − 1 = Q 1 Q 2 … Q n (P_n\dots P_2P_1)^{-1}=P_1^{-1} P_2^{-1}\dots P_n^{-1}=Q_1Q_2\dots Q_n (Pn…P2P1)−1=P1−1P2−1…Pn−1=Q1Q2…Qn( Q Q Q仍为初等矩阵),所以原式可写为:
Q 1 Q 2 … Q n A = E Q_1Q_2\dots Q_nA=E Q1Q2…QnA=E
那么
Q 1 Q 2 … Q n E = A − 1 Q_1Q_2\dots Q_nE=A^{-1} Q1Q2…QnE=A−1
因此: A A A矩阵经过若干次行变换可变为单位矩阵,单位矩阵经过若干次同样的行变换可变为 A A A的逆矩阵,即:
( A ∣ E ) → ⋯ → ( E ∣ A − 1 ) (A|E)\rightarrow\dots\rightarrow(E|A^{-1}) (A∣E)→⋯→(E∣A−1) - 通过初等行变换求解矩阵方程:若 A X = B AX=B AX=B,如果 A A A可逆,那么 X = A − 1 B X=A^{-1}B X=A−1B又 P A = E PA=E PA=E那么 P B = A − 1 B = X PB=A^{-1}B=X PB=A−1B=X所以 P ( A ∣ B ) = ( E ∣ X ) P(A|B)=(E|X) P(A∣B)=(E∣X)
矩阵的秩
在 m × n m\times n m×n阶的矩阵 A A A中,任取 k k k行与 k k k列( k ≤ n , k ≤ m k≤n,k≤m k≤n,k≤m),位于这些行与列的交叉点上的 k 2 k^2 k2个元素按其在原来矩阵 A A A的次序可构成一个 k k k阶行列式,称其为矩阵 A A A的一个 k k k阶子式。若矩阵 A A A中存在 k k k阶子式不为 0 0 0, k + 1 k+1 k+1阶子式(如果存在)全为 0 0 0,则称 k k k为矩阵 A A A的秩,记为 r ( A ) = k r(A)=k r(A)=k零矩阵的秩规定为 0 0 0。秩的性质如下:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-402905.html
- 经过初等变换矩阵的秩不变。
- r ( k A ) = r ( A ) ( k ≠ 0 ) r(kA)=r(A)(k\neq0) r(kA)=r(A)(k=0)
-
r
(
A
T
)
=
r
(
A
)
r(A^T)=r(A)
r(AT)=r(A)
证明:设 r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r,则 A A A的列向量组的秩为 r r r, A A A的列向量组就是 A T A^T AT的行向量组,所以 r ( A T ) = r = r ( A ) r(A^T)=r=r(A) r(AT)=r=r(A) -
r
(
A
T
A
)
=
r
(
A
A
T
)
=
r
(
A
)
r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)
r(ATA)=r(AAT)=r(A)
证明:设 A T A x = O A^TAx=O ATAx=O,则
x T A T A = O ( A x ) T A x = O ⇓ A x = O x^TA^TA=O\\ (Ax)^TAx=O\\ \Downarrow\\ Ax=O\\ xTATA=O(Ax)TAx=O⇓Ax=O
所以 A T A x = O A^TAx=O ATAx=O与 A x = O Ax=O Ax=O同解,所以 r ( A T A ) = r ( A ) r(A^TA)=r(A) r(ATA)=r(A),同理可得 r ( A A T ) = r ( A ) r(AA^T)=r(A) r(AAT)=r(A) -
r
(
A
∗
)
=
x
=
{
n
如果
r
(
A
)
=
n
1
如果
r
(
A
)
=
n
−
1
0
如果
r
(
A
)
<
n
−
1
r(A^*)=x = \begin{cases} n &\text{如果 } r(A)=n \\ 1 &\text{如果 } r(A)=n-1 \\ 0 &\text{如果 } r(A)<n-1 \end{cases}
r(A∗)=x=⎩
⎨
⎧n10如果 r(A)=n如果 r(A)=n−1如果 r(A)<n−1
证明:
若 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n,又因 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*|=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1,所以 ∣ A ∗ ∣ ≠ 0 , r ( A ∗ ) = n |A^*|\neq 0,r(A^*)=n ∣A∗∣=0,r(A∗)=n
若 r ( A ) < n − 1 r(A)<n-1 r(A)<n−1,则 A A A中的所有 n − 1 n-1 n−1阶子式全为 0 0 0,则 A ∗ = O , r ( A ∗ ) = 0 A^*=O,r(A^*)=0 A∗=O,r(A∗)=0
若 r ( A ) = n − 1 r(A)=n-1 r(A)=n−1,则
A ∗ A = ∣ A ∣ E = O ⇓ r ( A ) + r ( A ∗ ) ≤ n ⇓ r ( A ∗ ≤ 1 ) A^*A=|A|E=O\\ \Downarrow\\ r(A)+r(A^*)\leq n\\ \Downarrow\\ r(A^*\leq 1) A∗A=∣A∣E=O⇓r(A)+r(A∗)≤n⇓r(A∗≤1)
又因为 A A A中含有 n − 1 n-1 n−1阶子式非 0 0 0,则 r ( A ∗ ) ≥ 1 r(A^*)\geq 1 r(A∗)≥1,所以 r ( A ∗ ) = 1 r(A^*)=1 r(A∗)=1 - 如果 A A A可逆,则 r ( A B ) = r ( B ) , r ( B A ) = r ( B ) r(AB)=r(B),r(BA)=r(B) r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)
- 左乘列满秩或右乘行满秩矩阵的秩不变
- r ( [ A O O B ] ) = r ( A ) + r ( B ) r(\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix})=r(A)+r(B) r([AOOB])=r(A)+r(B)
-
r
(
A
B
)
≤
m
i
n
(
r
(
A
)
,
r
(
B
)
)
r(AB)≤min(r(A),r(B))
r(AB)≤min(r(A),r(B))
证明:设 r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r,则存在可逆矩阵 P , Q P,Q P,Q使得 P A Q = [ E r O O O ] m × n PAQ=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}_{m\times n} PAQ=[ErOOO]m×n则 P A B = [ E r O O O ] Q − 1 B = [ E r O O O ] [ B r × s B ( n − r ) × s ] = [ B r × s O ] PAB=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}Q^{-1}B=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_{r\times s}\\B_{(n-r)\times s}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_{r\times s}\\O\end{bmatrix} PAB=[ErOOO]Q−1B=[ErOOO][Br×sB(n−r)×s]=[Br×sO]即 r ( A B ) = r ( P A B ) = r ( [ B r × s O ] ) = r ( B r × s ) ≤ r ≤ r ( A ) r(AB)=r(PAB)=r(\begin{bmatrix}B_{r\times s}\\O\end{bmatrix})=r(B_{r\times s})≤r≤r(A) r(AB)=r(PAB)=r([Br×sO])=r(Br×s)≤r≤r(A)由此可得 r ( A B ) = r ( ( A B ) T ) = r ( B T A T ) ≤ r ( B T ) = r ( B ) r(AB)=r((AB)^T)=r(B^TA^T)≤r(B^T)=r(B) r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(BT)=r(B)故 r ( A B ) ≤ m i n ( r ( A ) , r ( B ) ) r(AB)≤min(r(A),r(B)) r(AB)≤min(r(A),r(B)) -
m
a
x
(
r
(
A
)
,
r
(
B
)
)
≤
r
(
A
∣
B
)
≤
r
(
A
)
+
r
(
B
)
max(r(A),r(B))≤r(A|B)≤r(A)+r(B)
max(r(A),r(B))≤r(A∣B)≤r(A)+r(B)
证明:设 r ( A ) = r , r ( B ) = t r(A)=r,r(B)=t r(A)=r,r(B)=t, P A T = A 1 ( 行阶梯, r 个非零行 ) Q B T = B 1 ( 行阶梯, t 个非零行 ) PA^T=A_1(行阶梯,r个非零行)\\QB^T=B_1(行阶梯,t个非零行) PAT=A1(行阶梯,r个非零行)QBT=B1(行阶梯,t个非零行)那么 [ P O O Q ] [ A T B T ] = [ A 1 B 1 ] \begin{bmatrix}P&O\\O&Q\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A^T\\B^T\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1\\B_1\end{bmatrix} [POOQ][ATBT]=[A1B1]则 r ( A ∣ B ) = r [ A T B T ] = [ A 1 B 1 ] ≤ r + t ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A|B)=r{\begin{bmatrix}A^T\\B^T\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}A_1\\B_1\end{bmatrix}≤r+t≤r(A)+r(B) r(A∣B)=r[ATBT]=[A1B1]≤r+t≤r(A)+r(B) -
r
(
A
+
B
)
≤
r
(
A
∣
B
)
≤
r
(
A
)
+
r
(
B
)
r(A+B)\leq r(A|B)\leq r(A)+r(B)
r(A+B)≤r(A∣B)≤r(A)+r(B)
证明:构造矩阵
[ A + B B ] \begin{bmatrix} A+B\\ B \end{bmatrix} [A+BB]
经初等行变换得
[ A B ] \begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix} [AB]
所以
r ( A + B ) ≤ r ( [ A + B B ] ) = r ( [ A B ] ) = r ( [ A B ] T ) = r [ A T , B T ] ≤ r ( A T ) + r ( B T ) = r ( A ) + r ( B ) r(A+B)\leq r(\begin{bmatrix} A+B\\ B \end{bmatrix}) =r(\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}) =r(\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}^T) =r[A^T,B^T] \leq r(A^T)+r(B^T)=r(A)+r(B) r(A+B)≤r([A+BB])=r([AB])=r([AB]T)=r[AT,BT]≤r(AT)+r(BT)=r(A)+r(B) - 若
A
m
×
n
B
n
×
s
=
O
A_{m\times n}B_{n\times s}=O
Am×nBn×s=O,则
r
(
A
)
+
r
(
B
)
≤
n
r(A)+r(B)\leq n
r(A)+r(B)≤n
证明:如果 A B = O AB=O AB=O,那么 B B B的每个列都是齐次方程组 A X = O AX=O AX=O的解。设 r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r,那么方程组 A X = O AX=O AX=O最多有 n − r n-r n−r个线性无关的解,所以: r ( B ) < = n − r = n − r ( A ) r(B)<=n-r=n-r(A) r(B)<=n−r=n−r(A)。
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