欧拉角速率与机体角速度转换详细推导-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了欧拉角速率与机体角速度转换详细推导。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

根据旋转矩阵及绕各个轴旋转的角速度，推导机体角速度

旋转矩阵

旋转矩阵还不清楚的同学去看我的另一篇博客，这里咱们废话不多说，旋转矩阵已知

欧拉角

大家一定要记住欧拉角是有顺序的！！！这是咱们推导出机体角速度的关键
这里按照比较常用的顺序，先绕 $Z$ 轴旋转 $q_6$ 度，再绕 $Y$ 轴旋转 $q_5$ 度，最后绕 $X$ 轴旋转 $q_4$ 度

推导机体角速度

机体旋转角速率为：
$\omega _b=[\omega _{x_b},\omega_{y_b},\omega_{z_b}]^T$
列向量中的三个元素分别是角速度绕 $X$ 轴旋转的分量、绕 $Y$ 轴旋转的分量、绕 $Z$ 轴旋转的分量

重点来了：
如果此时物体仅仅绕Z轴发生了一次旋转那么毫无疑问，角速率表达式如下：
$\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix}$
但是旋转不同于平动，旋转一定有顺序，所以当机体先绕 $Z$ 轴旋转，后绕 $Y$ 轴旋转时，此时绕 $Z$ 轴旋转的角度也发生了改变，改变多少可以通过旋转矩阵获得，所以此时，角速率的表达式如下：
$\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}=R_5\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{q_5} \\ 0 \\ \end{bmatrix}$
其中 $R_5$ 是机体绕 $Y$ 轴旋转 $q_5$ 度的旋转矩阵，表达式如下：
$R_5= \begin{bmatrix} \cos q_5 & 0 & -\sin q_5 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin q_5 & 0 & \cos q_5\\ \end{bmatrix}$
同理，在此基础上再进行最后一步旋转，即绕 $X$ 轴旋转 $q_4$ 度，机体角速率的表达式如下：
$\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}=R_4\cdot R_5\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix}+R_4\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{q_5} \\ 0 \\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \dot{q_4} \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$
其中 $R_4$ 是机体绕 $X$ 轴旋转 $q_4$ 度的旋转矩阵，表达式如下：
$R_4= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos q_4 & \sin q_4 \\ 0 & -\sin q_4 & \cos q_4\\ \end{bmatrix}$
由机体角速率一般表达式继续推导
$R_4\cdot R_5\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & -\sin q_5 \\ 0 & 0 & \sin q_4\cdot \cos q_5 \\ 0 & 0 & \cos q_4\cdot \cos q_5\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6}\\ \end{bmatrix}= A\cdot B$
$R_4\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{q_5} \\ 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos q_4 & 0 \\ 0 & -\sin q_4 & 0 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{q_5} \\ 0\\ \end{bmatrix}=M\cdot N$
$\begin{bmatrix} \dot{q_4} \\ 0 \\ 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \dot{q_4} \\ 0 \\ 0\\ \end{bmatrix}=P\cdot Q$
由上述矩阵形态可以发现 $(A+M+P)\cdot (B+N+Q)=A\cdot B+M\cdot N+P\cdot Q$ 其他项均等于 $0$
所以机体角速率的最终表达式如下：
$\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}=(A\cdot B+M\cdot N+P\cdot Q)=(A+M+P)\cdot (B+N+Q)$
$\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\sin q_5 \\ 0 & \cos q_4 & \sin q_4\cdot\cos q_5 \\ 0 & -\sin q_4 & \cos q_4\cdot\cos q_5 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \dot{q_4} \\ \dot{q_5} \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-403346.html