一、前言
堆是一种特殊的二叉树（完全二叉树），由于有堆排序等实际的需求，堆是由类似顺序表的结构实现的，这是为了方便堆能够通过下标找到parent和child，进行比较大小以及交换等操作。
1、BTNode结点的定义
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;这里我们建立二叉树的每个结点，包含左右孩子指针left和right，还有存储的数据data。
2、买（Buy）一个结点
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)
{
BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (NULL == node)
{
perror("malloc fail");
return NULL;
}
node->data = x;
node->left = node->right = NULL;
return node;
}然后是得到新结点的BuyBTNode函数，得到一个新结点，检查后，将data赋值，为防止野指针，把left right置空，然后返回新结点。
3、简单的连接：CreateBTTree
BTNode* CreateBTTree()
{
BTNode* node1 = BuyBTNode(1);
BTNode* node2 = BuyBTNode(2);
BTNode* node3 = BuyBTNode(3);
BTNode* node4 = BuyBTNode(4);
BTNode* node5 = BuyBTNode(5);
BTNode* node6 = BuyBTNode(6);
node1->left = node2;
node1->right = node4;
node2->left = node3;
node4->left = node5;
node4->right = node6;
return node1;
}
创建几个结点，并将它们连接后返回。
连接的结果如下。
二、前序遍历
首先要知道是，二叉树的前中后序遍历都是通过递归来实现的。顺序指的是根节点，和左右结点的访问顺序。
首先，前中后表示的是根节点的访问顺序是哪一个，其次左子结点的遍历默认先与右子结点。
前序遍历的访问顺序为：根节点、左子结点、右子结点。
//前序遍历 访问根(并打印显示) 左子树遍历 右子树遍历
void PrevOrder(BTNode* root)
{
//assert(root); NULL 作为递归结束标志，不能assert
if (NULL == root)
{
printf("NULL ");
return ;
}
printf("%d ", root->data);//打印来模拟访问根的过程
PrevOrder(root->left);//一棵树分为 根 左右子树 ，左右子树还可以拆，各自分成 根 左右子树，直到子树为NULL
PrevOrder(root->right);
}为了方便展示，这里我用打印来作为根访问的操作。
对于我之前创建的这棵树，递归的截止不是到最后一层的3/5/6结点，而是到它们的子树，即NULL
因此当root==NULL时，才开始结束这一层递归并往回返回。
先访问根节点，即打印1，然后进入PrevOrder(root->left)，创建左子结点的函数栈帧，记为左子1
在左子1中，也是访问根节点，这里的根节点的值为2，然后再进入进入PrevOrder(root->left)，也是创建左子结点的函数栈帧，记为左子2.
左子2中，访问根结点打印为3，重复上述操作，建立新函数栈帧，记为左子3.
对于左子3，它的值虽然是空，但因为同样调用的PrevOreder函数，因此同样需要创建函数栈帧，但是在这一层中，root为NULL，开始返回NULL。
返回后左子3的函数栈帧销毁，重新回到左子2函数内，执行完PrevOrder(root->left)后，应该执行的是PrevOrder(root->right)，因此创建左子3的右子的函数栈帧，但因为同样为空，返回NULL。
这样一来，对于左子3，只剩最后的return root了，于是返回，并同时销毁左子3的函数栈帧。
回到左子2中，左子2的PrevOrder(root->left)操作结束，进入PrevOrder(root->right)操作，建立函数栈帧，为NULL返回，然后左子2中只剩下return root，于是返回左子2，然后销毁左子2。
回到左子1即（值为2的结点），此时PrevOrder(root->left)已经结束，即原来的根节点访问，和左子结点访问都结束了，开始进入右子结点的访问，对于右子结点，大家可以自己推导。
三、中序遍历
与前序遍历类似，同样使用递归展开。
中序遍历访问顺序：左子结点、根结点、右子结点。
实现代码中，把打印和InOrder(root->left)的位置互换，使其先访问左子结点，然后再是根节点。
先是连续的几次InOrder(root->left)的访问，直到左子2（值为3），然后继续访问其左子树，建立左子3的函数栈帧，打印NULL后销毁函数栈帧，然后返回到左子2.
左子2中，InOrder(root->left)已经结束，于是开始访问根节点，即打印3，然后再进行InOrder(root->right)，访问右子结点，打印NULL后返回，此时左子2已经结束返回到左子1。
然后重复递归操作，完成中序遍历。
上图为具体的递归展开图，可以画图参考。
四、后序遍历
访问顺序为：左子结点、右子结点、根结点。
与前面类似，这里不做详细解释。
五、求总结点数
//返回总的结点个数 == 左子树结点个数+右子树结点个数+1 也可以多加一个int*size参数，函数内部改变外部的这个变量
int TreeSize(BTNode* root)
{
return NULL == root ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
//if (NULL == root)
//{
// return 0;
//}
//return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}可以采用返回值的方式，在最开始的一层栈帧中返回总个数，在外面用变量接收。
也可以在外面创建变量，传入地址，在递归过程中不断修改这个变量。
最好不要在外面使用全局变量size，否则，如果多次调用TreeSize函数而不 置为0，就会一直累加
与前中后序遍历相同，一直遍历到左子3，因为是NULL，所以返回的是0，对于左子2(值为3)，其TreeSize(root->left)和TreeSize(root->right)均为0，所以它返回给上一层的是0+0+1(自身)。
因此通过递归后，得到 左子树结点数+右子树结点数+1就得到了这棵树的总结点数。
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六、求树的高度/深度（起始为1）
与TreeSize类似，递归到最后一层时返回0，先得到左右子树各自的层数，然后比较它们中较大的那个，返回时，用较大的值+1(自身这一层)，最终得到树的高度。
这里最好是用leftheight和rightheight保存一下，否则使用三目操作符返回时会产生重复递归，使得时间复杂度异常增大。
七、查找第K层结点的个数
对于我之前创建的这颗树，我们可以很轻易地知道，设k为层数，n为该层的结点数
当k=1时，n=1. 当k=2时， n=2. 当k=3时， n=3
这是因为结点总数较少，我们可以轻易地数出来。但是怎样利用递归让计算机帮我们求解呢？
二叉树递归的核心就是分治思想，上面是根，下面是左子树和右子树，我们如何把任务从n变成n-1
再变成n-2，……直到转换为n=1或n=0的情况呢？
可以使用一个相对的思想。先从第一层看起，要求它第k层的总数，转换为它的左右子结点的第k-1层的元素总数。
例如：对于1这个元素，求它的第三层的元素数，可以转化为求2和4这两个元素，它们的第3-1=2层的结点总数。再转化为2和4各自的左右子结点的2-1=1层的结点总数，也就是它们自身这一层的结点数。
代码实现如下：
如果根为空，（这个根可以是之前根的左右子树通过递归得到的），这时求它的第k或k-1层的结点数肯定是0，所以可以直接返回0即可。
需要注意的是：这里需要额外判断k==1的情况，也就是该层的元素是多少，对于任何一个存在，并且求它k==1时的结点，得到的答案都是1。
换种说法，也就是从k==1层开始才能返回非0值。
这里简单说一下递归展开的过程：前面因为没有遇到空，便一直开辟函数栈帧，因为默认左边先于右边访问，最先达到返回条件的是val=3的这个结点，（与之前不同，这里不用等到3的下一层再返回，当k==1时也可以返回），对于3这个结点，直接返回1给上一层val=2的结点作为leftsize。
然后是3的右兄弟，为空返回0，这样就拿到2这个结点的第2层共1+0=1个结点了。
而对于旁边的5和6，各自返回1, val=4的这个结点拿到1+1=2，然后 2和4各自返回，到最初的val=1的根节点，leftsize=TreekLevel=1，rightsize=TreekLevel=2。最终返回3.
八、查找值为x的结点
如果根为空，直接返回NULL，找到x时返回root，指向该结点的指针。
都没找到就往它的左右子结点找，只要找到就返回，不进行后续操作，没找到就继续，如果左右都找不到说明该root指向的树没有这个数据。
找的时候一层一层建立栈帧找，找到或找不到后，快速返回。
找到5返回其地址，找不到50，返回NULL
九、层序遍历
层序遍历是从最初的根节点从上向下，从左到右依次访问。
我们可以借助队列先进先出的性质帮助我们完成。
先Push最初的元素，对于其它元素，只要Pop就把它的左右子结点都Push到队列中(因为放进去之后，拿出来时要依次访问的结果是一个个数据，因此就没有必要把NULL放入了)。
对于1：Pop后Push 2 4，再Pop2，进入3，此时队列为 4 3，再Pop4，Push5,6。
此时队列中为3 5 6，再依次Pop拿出来即可。
首先：由于队列中要存储的是二叉树的结点，要typedef一下QueueDataType，因为结点所占空间较大，我们直接存储指向的结点指针。
先用front接收队头的位置，打印后，利用QueuePop删除队头的元素（实际上是改变这个Queue队列头指针的指向，并且把要删除的那个队列的结点给free掉，这个结点存储的不是二叉树结点，只是它的指针，因此free后对二叉树的结点无影响）。
但因为我们事先用front保存了队列头结点的值，即二叉树结点的指针，我们可以直接用front->left和front->right找到它的两个子结点，然后再将子节点入队列。
当然，最后不要忘了destroy一下之前创建的队列。
十、判断二叉树是否是完全二叉树
这里需要运用之前的层序遍历。
观察可以发现，对于完全二叉树，空结点和非空结点是有明确界限的，出现了空节点后，后面的所有结点一定都是空节点，不会再出现非空结点。
所以应该用得到第一个NULL，并对后面节点进行遍历，查找是否还有非空结点来判断是否完全。
所以空节点也要入队列。
先进行找空的操作，找到后break，再在剩余元素中找非空，找到非空return false，全部出队列后依然没找到，则返回true。
注意返回前要检查是否已经销毁。
最初创建的树不是完全二叉树，返回false即0.
新增了一个node7，并将其连接在val=2的位置上后形成了完全二叉树，返回true即1.
十一、 二叉树的销毁
//二叉树的销毁
void BTDestroy(BTNode* root)
{
if (NULL == root)
return;
BTDestroy(root->left);
BTDestroy(root->right);
free(root);
}通过递归销毁即可。
十二、总结
二叉树有几个关键点。
1、一个是分治思想，这决定了递归的实现。如何通过root，建立root->left,root->right的关系。
怎么样从n变成n-1变成n-2，直到变成1或0。
2、对于DFS，递归的具体顺序是什么，结合函数栈帧的创建与销毁，是一路递归，两路递归，还是多路递归。
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目录
一、前言
1、BTNode结点的定义
2、买（Buy）一个结点
3、简单的连接：CreateBTTree
二、前序遍历
三、中序遍历
四、后序遍历
五、求总结点数
六、求树的高度/深度（起始为1）
七、查找第K层结点的个数
八、查找值为x的结点
九、层序遍历
十、判断二叉树是否是完全二叉树
十一、 二叉树的销毁
十二、总结文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-403570.html
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