P1012 [NOIP1998 提高组] 拼数

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题目描述

设有 �n 个正整数 �1…��a1​…an​,将它们联接成一排,相邻数字首尾相接,组成一个最大的整数。

输入格式

第一行有一个整数,表示数字个数 �n。

第二行有 �n 个整数,表示给出的 �n 个整数 ��ai​。

输出格式

一个正整数,表示最大的整数

输入输出样例

输入 #1复制

3
13 312 343

输出 #1复制

34331213

输入 #2复制

4
7 13 4 246

输出 #2复制

7424613

说明/提示

对于全部的测试点,保证 1≤�≤201≤n≤20,1≤��≤1091≤ai​≤109。

今明两天期末考试,本蒟蒻自忖考得不行,为转移注意力,特地来洛谷更新一下题解 (这是什么神逻辑) 。话说这是本蒟蒻的第一篇题解,也是花了很长时间憋出来的一篇题解(萌新想写题解真难),但原文讲的并不清楚 估计只有我自己能看懂 ,此次修改务求让大伙一看就明白。本题解看着字多,思路还是比较简单的。

本题解重心在证明。先贴下代码,非常简短:

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;

string s[21];int n;
bool cmp(const string &a,const string &b) { // &表示引用
    return (a+b > b+a);
}
int main(void) {
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin >> s[i];
    sort(s+1,s+n+1,cmp);
    for (int i=1;i<=n;++i) cout << s[i];
    return 0;
}

证明之前,我们先定义几个符号
��‾ab (a,b是数字字符串)
表示 �+�a+b 也就是把�a和�b连起来写
���‾abc (a,b,c都是数字符串)(当然再多几个字符串也没关系,跟上面一个意思)
没错,这个东西本来是表示数字的,现在被我们借过来表示字符串

�⩾�a⩾b 表示正常的�a大于等于�b (下面这个就是不正常的)
a>=b a,b是数字字符串 表示 �+�⩾�+�a+b⩾b+a
注意区分这两个大于等于!

a*n a是数字字符串 n是正整数 表示把�a连续写�n遍形成的很长的字符串

说明了这么几个奇怪的符号之后,我们正式开始证明。

从代码中可以看出,我们把�a数组按这个 >= 符号 降序 排好序,再直接输出就是正确的答案了。容易发现,对于任意一种排列方式,只要相邻的两个数满足 前面的 >= 后面的(注意这是那个奇怪的大于等于),那么这种排列肯定不是最优的。也就是说,对于最优排列,肯定有 第一个串 >= 第二个串 第二个串 >= 第三个串 第三个串 >= 第四个串 ... 依此类推。

经过这一些简单的推理,证明的思路实际上很清晰了(千万不要误认为证完了):只需要再证明传递性(由a>=b 且 b>=c 能否推出 a>=c)。这是最后的一步,也是关键的一步。

先证明一个性质: 如果 a>=b,那么 a*n >= b。 (思路:递推/数学归纳法)

a>=b即 ��‾⩾��‾ab⩾ba
可知 ���‾⩾���‾aab⩾aba 并且 ���‾⩾���‾aba⩾baa
从而 ���‾⩾���‾aab⩾baa 也就是 a*2>=b

a*2>=b即 ���‾⩾���‾aab⩾baa 又由 ��‾⩾��‾ab⩾ba
可知 ����‾⩾����‾aaab⩾abaa 并且 ����‾⩾����‾abaa⩾baaa
从而 ����‾⩾����‾aaab⩾baaa 也就是 a*3>=b

依此类推,便能证得 a*n>=b
类似地,由 a>=b,也可以得到 a>=b*n。 相反,如果 a*n>=b 或者 a>=b*n,也能得到 a>=b。(口胡一个证明,如果不满足a>=b这个结论,肯定不满足题设,如果能满足a>=b这个结论,题设肯定成立。大概是一个反证法?)

有了这个结论,我们只要对�,�,�a,b,c各乘上一个合适的整数(没错就是合适),不难证明传递性了。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-403688.html

原以为修改后能改短,却发现它变长了。但是你看我改的这么认真,不点个赞再走吗?

到了这里,关于P1012 [NOIP1998 提高组] 拼数的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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