使用深度优先搜索暴力求解旅行商问题
1.题目描述
商品推销员要去n个城市推销商品,城市从1至n编号,任意两个城市间有一定距离,该推销员从城市1出发,需要经过所有城市并回到城市1,求最短总路径长度。
把旅行商问题看作一种排列问题,不难想出,这道题的蛮力做法即穷举所有路线。选定起点有n种选法,选定起点后的下一个目的地有(n- 1)种选择方法,再下一个是(n-2)……总共有n!种排列方法,算法复杂度达到O(n!)。
一个20城市的TSP问题有大约60,000,000,000,000,000个可能解。如果一台计算机每秒搜索1000个解,需要大约1902587年才能搜索完所有的解。
因此蛮力法只能解决小规模问题。
2.问题分析与算法设计思路
总体思路: 深度优先搜索,递归
算法过程:
-
使用二维数组 dis 存放任意两个城市之间的距离
-
从城市 1 开始
-
使用一个循环遍历下一个城市的不同选择,且忽略已经走过的城市、不能直接到达的城市
-
每次遍历,更新到达当前城市走过的路径长度 len 。
-
走过所有城市后,len 再加上当前城市到城市 1 的距离(最后要回到 1 ),保存该条路径的长度。
-
在所有路径长度中找出最小值。
小结:
“先规划好思路,然后才开始编写代码”,这句话很早就听到说过了,但是能真正静下心来做到这一点的时候,却是不多。但我感觉,这很有用。
3.算法实现
完整可运行代码,C++实现:
//深度优先搜索求解旅行商问题
#include<iostream>
using namespace std;
const int Max = 10;
int len_min = 999;//最短总路径长度
int road[Max] = {1};//存放路径
int it_r = 1;
//搜索求解
//参数dis:城市距离,now:所在城市,have:走过城市,
//len:走过路径长度,n:城市总数,num:已走过城市数
void dfs(int dis[][Max], int now, bool have[], int len, int n, int num){
//显示路径
cout<<"road:";
for(int i = 0; i < it_r; i++){
cout<<road[i]<<" ";
}
cout<<endl;
//一条完整路径
if(num == n){
len += dis[now][1];
if(len < len_min){
len_min = len;
}
}
//遍历下一个城市
for(int i = 2; i <= n; i++){
//排除已走过、不能到达的城市
if(have[i] == true || dis[now][i] == 0){
continue;
}
int len_next = len + dis[now][i];
have[i] = true;
road[it_r++] = i;
dfs(dis, i, have, len_next, n, num+1);
road[--it_r] = 0;
have[i] = false;
}
}
int main(){
int dis[Max][Max] = {};//任意两城市距离,0表示不能直接到达
bool have[Max] = {1};//已走过哪些城市
int n = 0;//城市的个数
int e = 0;//道路的个数
cin>>n>>e;
for(int i = 1; i <= e; i++){
int a = 0, b = 0, x = 0;
cin>>a>>b>>x;
dis[a][b] = x;
dis[b][a] = x;
}
//显示城市距离
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
cout<<dis[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
dfs(dis, 1, have, 0, n, 1);
cout<<"最短路径:"<<len_min;
return 0;
}
/*
测试数据一
4 5
1 2 5
1 3 3
1 4 4
2 3 7
2 4 6
*/
4.运行结果
5.算法分析
算法的时间复杂度在前面的题目描述中已经讲到了,达到了 o ( n ! ) o(n!) o(n!) 。
空间复杂度应为 o ( n 2 ) o(n^2) o(n2),因为使用了二维数组来存放城市间距离。
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