算法 |【实验5.2】1-深度优先搜索暴力求解旅行商问题

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使用深度优先搜索暴力求解旅行商问题

1.题目描述

商品推销员要去n个城市推销商品,城市从1至n编号,任意两个城市间有一定距离,该推销员从城市1出发,需要经过所有城市并回到城市1,求最短总路径长度。

把旅行商问题看作一种排列问题,不难想出,这道题的蛮力做法即穷举所有路线。选定起点有n种选法,选定起点后的下一个目的地有(n- 1)种选择方法,再下一个是(n-2)……总共有n!种排列方法,算法复杂度达到O(n!)。

一个20城市的TSP问题有大约60,000,000,000,000,000个可能解。如果一台计算机每秒搜索1000个解,需要大约1902587年才能搜索完所有的解。

因此蛮力法只能解决小规模问题。

算法 |【实验5.2】1-深度优先搜索暴力求解旅行商问题

2.问题分析与算法设计思路

总体思路: 深度优先搜索,递归

算法过程:

  1. 使用二维数组 dis 存放任意两个城市之间的距离

  2. 从城市 1 开始

  3. 使用一个循环遍历下一个城市的不同选择,且忽略已经走过的城市、不能直接到达的城市

  4. 每次遍历,更新到达当前城市走过的路径长度 len 。

  5. 走过所有城市后,len 再加上当前城市到城市 1 的距离(最后要回到 1 ),保存该条路径的长度。

  6. 在所有路径长度中找出最小值。

小结:

“先规划好思路,然后才开始编写代码”,这句话很早就听到说过了,但是能真正静下心来做到这一点的时候,却是不多。但我感觉,这很有用。

3.算法实现

完整可运行代码,C++实现:

//深度优先搜索求解旅行商问题
#include<iostream>
using namespace std;

const int Max = 10;
int len_min = 999;//最短总路径长度

int road[Max] = {1};//存放路径 
int it_r = 1;

//搜索求解
//参数dis:城市距离,now:所在城市,have:走过城市,
//len:走过路径长度,n:城市总数,num:已走过城市数 
void dfs(int dis[][Max], int now, bool have[], int len, int n, int num){
    //显示路径 
    cout<<"road:";
    for(int i = 0; i < it_r; i++){
        cout<<road[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;

    //一条完整路径 
    if(num == n){
        len += dis[now][1];
        if(len < len_min){
            len_min = len;
        }
    }

    //遍历下一个城市 
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        //排除已走过、不能到达的城市 
        if(have[i] == true || dis[now][i] == 0){
            continue;
        }
        int len_next = len + dis[now][i];

        have[i] = true;
        road[it_r++] = i;
        dfs(dis, i, have, len_next, n, num+1);
        road[--it_r] = 0;
        have[i] = false;
    }
}

int main(){
    int dis[Max][Max] = {};//任意两城市距离,0表示不能直接到达 
    bool have[Max] = {1};//已走过哪些城市 
    int n = 0;//城市的个数
    int e = 0;//道路的个数

    cin>>n>>e;
    for(int i = 1; i <= e; i++){
        int a = 0, b = 0, x = 0;
        cin>>a>>b>>x;
        dis[a][b] = x;
        dis[b][a] = x;
    } 

    //显示城市距离 
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            cout<<dis[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    dfs(dis, 1, have, 0, n, 1);
    cout<<"最短路径:"<<len_min;
    return 0;
} 

/*
测试数据一 
4 5
1 2 5
1 3 3
1 4 4
2 3 7
2 4 6
*/

4.运行结果

算法 |【实验5.2】1-深度优先搜索暴力求解旅行商问题

5.算法分析

算法的时间复杂度在前面的题目描述中已经讲到了,达到了 o ( n ! ) o(n!) o(n!)

空间复杂度应为 o ( n 2 ) o(n^2) o(n2),因为使用了二维数组来存放城市间距离。


感谢阅读

CSDN话题挑战赛第2期
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