204. 计数质数 (埃式筛法详解)——【Leetcode每日一题】

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素数最朴素判断思路:(一般会超时)

对正整数 n,如果用 2 到 n \sqrt{n} n 之间的所有整数去除,均无法整除,则 n 为素数又称为质数。

为什么到 n \sqrt{n} n 就可以了,因为因数如果存在一定是成对出现的,如果存在小于根号n的因数,那么n除以它一定大于根号n。

首先要先知道以下几个知识点:

1、素数分解
  • 每一个数 都可以分解成 素数的乘积,且这种分解是唯一的,例如: 84 = 2 2 ∗ 3 1 ∗ 5 0 ∗ 7 1 ∗ 1 1 0 ∗ 1 3 0 ∗ 1 7 0 ∗ … 84 = 2^2 * 3^1 * 5^0 * 7^1 * 11^0 * 13^0 * 17^0 * … 84=22315071110130170
2、整除
  • x = 2 m 0 ∗ 3 m 1 ∗ 5 m 2 ∗ 7 m 3 ∗ 1 1 m 4 ∗ … x = 2^{m0} * 3^{m1} * 5^{m2} * 7^{m3} * 11^{m4} * … x=2m03m15m27m311m4
  • y = 2 n 0 ∗ 3 n 1 ∗ 5 n 2 ∗ 7 n 3 ∗ 1 1 n 4 ∗ … y = 2^{n0} * 3^{n1} * 5^{n2} * 7^{n3} * 11^{n4} * … y=2n03n15n27n311n4

如果 x x x 整除 y y y y y y mod x x x == 0),则对于所有 i i i m i < = n i m^i <= n^i mi<=ni

3、最大公约数最小公倍数
  • x x x y y y最大公约数为: g c d ( x , y ) = 2 m i n ( m 0 , n 0 ) ∗ 3 m i n ( m 1 , n 1 ) ∗ 5 m i n ( m 2 , n 2 ) ∗ . . . gcd(x,y) = 2^{min(m0,n0)} * 3^{min(m1,n1)} * 5^{min(m2,n2)} * ... gcd(x,y)=2min(m0,n0)3min(m1,n1)5min(m2,n2)...

    //辗转相除法
    int gcd(int a, int b) {
    	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
    
  • x x x y y y最小公倍数为: l c m ( x , y ) = 2 m a x ( m 0 , n 0 ) ∗ 3 m a x ( m 1 , n 1 ) ∗ 5 m a x ( m 2 , n 2 ) ∗ . . . lcm(x,y) = 2^{max(m0,n0)} * 3^{max(m1,n1)} * 5^{max(m2,n2)} * ... lcm(x,y)=2max(m0,n0)3max(m1,n1)5max(m2,n2)...

    //最小公倍数为两数的乘积除以最大公约数。
    int lcm(int a, int b) {
    	return a * b / gcd(a, b);
    }
    
4、使用位操作和减法求解最大公约数

对于 a 和 b 的最大公约数 f(a, b),有:

  • 如果 a 和 b 均为偶数,f(a, b) = 2*f(a/2, b/2);
  • 如果 a 是偶数 b 是奇数,f(a, b) = f(a/2, b);
  • 如果 b 是偶数 a 是奇数,f(a, b) = f(a, b/2);
  • 如果 a 和 b 均为奇数,f(a, b) = f(b, a-b);

乘 2 和除 2 都可以转换为移位操作。

public int gcd(int a, int b) {
    if (a < b) {
        return gcd(b, a);
    }
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    boolean isAEven = isEven(a), isBEven = isEven(b);
    if (isAEven && isBEven) {
        return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
    } else if (isAEven && !isBEven) {
        return gcd(a >> 1, b);
    } else if (!isAEven && isBEven) {
        return gcd(a, b >> 1);
    } else {
        return gcd(b, a - b);
    }
}

204. 计数质数

给定整数 n ,返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。

示例 1:

输入:n = 10
输出:4
解释:小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

示例 2:

输入:n = 0
输出:0

示例 3:

输入:n = 1
输出:0

提示:
  • 0 < = n < = 5 ∗ 1 0 6 0 <= n <= 5 * 10^6 0<=n<=5106

思路:(埃式筛法)

埃式筛法

埃拉托斯特尼算法是希腊数学家埃拉托斯特尼(阿基米德的好友)发明的用来筛选素数的方法,为了方便我们一般简称为埃式筛法或者筛法。

  • 埃式筛法的思路非常简单,就是用已经筛选出来的素数过滤所有能够被它整除的数
  • 这些素数就像是筛子一样去过滤自然数,最后被筛剩下的数自然就是 不能被前面素数整除的数,根据素数的定义,这些剩下的数也是素数。

我们要筛选出n以内的所有素数:
1、我们知道2是最小的素数,我们先用2可以筛掉所有的偶数。
2、然后往后遍历到3,3是被2筛剩下的第一个数,也是素数,我们再用3去筛除所有能被3整除的数。
3、筛完之后我们继续往后遍历,第一个遇到的数是5,所以5也是素数,我们再重复以上的过程,直到遍历结束为止。
……
结束的时候,我们就获得了n以内的所有素数。

极致优化(线性筛)

  • 筛法的复杂度已经非常近似 O ( n ) O(n) O(n)了,因为即使在n很大的时候,经过两次ln的计算,也非常近似常数了,实际上在绝大多数使用场景当中,上面的算法已经足够应用了。
  • 但是仍然有大牛不知满足,继续对算法做出了优化,将其优化到了
    的复杂度。虽然从效率上来看并没有数量级的提升,但是应用到的思想非常巧妙,值得我们学习。

比较明显地可以看出来,对于一个合数而言,它可能会被多个素数筛去。比如12,它有23这两个素因数,那么它就会被置为两次;

这就带来了额外的开销,如果对于每一个合数我们只更新一次,那么是不是就能优化到 O ( n ) O(n) O(n)了呢?

  • 这里要用到上面素数分解的定理,就是每个合数分解质因数的结果是唯一的。既然是唯一的,那么一定可以找到最小的质因数,如果我们能够保证一个合数只会被它最小的质因数更新为True,那么整个优化就完成了。

那我们具体怎么做呢?其实也不难:
1、我们假设整数n的最小质因数是m
2、那么我们用小于m的素数i乘上n可以得到一个合数。我们将这个合数消除;
3、对于这个合数而言,i 一定是它最小的质因数。因为它等于i * nn最小的质因数是mi 又小于m,所以i是它最小的质因数。
……
我们用这样的方法来生成消除的合数,这样来保证每个合数只会被它最小的质因数消除。

代码:(Java)

public class CountPrimes {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int n = 10;
		System.out.println(countPrimes(n));
	}
	public static int countPrimes(int n) {
		if(n <= 1) {
			return 0;
		}
		int count = 0; //个数
		boolean[] notPrimes = new boolean[n + 1]; //数组存储是否为素数
		
		for(int i = 2; i < n; i++) {
			if(notPrimes[i]) {
				continue;
			}
			count++;
			//i是素数
			//从 i * i开始(如果 k < i ,那么 k*i 在之前就已经去除过了)
			for(long j = (long)i * i; j < n; j += i) {
				notPrimes[(int) j] = true;
			}
		}
		return count;
    }
}

极致优化(线性筛)

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class CountPrimes {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int n = 10;
		System.out.println(countPrimes(n));
	}
	public static int countPrimes(int n) {
		if(n <= 1) {
			return 0;
		}
		
		boolean[] notPrimes = new boolean[n + 1]; 
		List<Integer> primes = new ArrayList<Integer>();
		
		for(int i = 2; i < n; i++) {
			if(!notPrimes[i]) {//如果是素数则加入primes
				primes.add(i);
			}
			for(int j = 0; j < primes.size() && i * primes.get(j) < n; j++) {
				notPrimes[i * primes.get(j)] = true;
				if(i % primes.get(j) == 0) {// 到 合数i 的最小质数时,停止
					break;
				}
			}
		}
		return primes.size();
    }
}
运行结果:

204. 计数质数 (埃式筛法详解)——【Leetcode每日一题】

复杂度分析:

埃式筛法

  • 时间复杂度 O ( n ∗ l n l n ( n ) ) O(n*lnln(n)) O(nlnln(n)),我们一共有了两层循环,最外面一层循环固定是遍历n次。而里面的这一层循环遍历的次数一直在变化,并且它的运算次数和素数的大小相关,看起来似乎不太方便计算。实际上是可以的,根据素数分布定理以及一系列复杂的运算.
  • 空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),需要开辟长度为n的数组,n为给定的整数

极致优化(线性筛)

  • 时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),赋值的次数减少了.
  • 空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n).
注:仅供学习参考, 如有不足,欢迎指正!

题目来源:力扣。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-404311.html

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