蓝桥杯算法全集之多重背包问题I（动态规划算法）-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了蓝桥杯算法全集之多重背包问题I（动态规划算法）。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、概念定义

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i种物品最多有 s i 件，每件体积是 v i，价值是 w i。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

用下面这个图来分别动态规划的四个经典背包问题

二.动态规划的核心步骤

定义状态的含义（这一步需要一定的做题经验的积累）

状态的转化，建立前后状态的等式关系（一般通过最后一步的分类讨论来进行状态计算）

精准定义初始值文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-404312.html

三：题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100

0<vi,wi,si≤100

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例、

10

四.思路分析

和前一篇完全背包问题的解法几乎一致，区别在于这里的物品的数量是有限制的，其实也很简单，答题思路一致，只需要加一个限制条件k <= s【i】就可以，s【i】指的是第i个物品的数量

根据上述的动态规划的步骤我们一步一步来思考：

定义状态的含义

f【i，j】：从前i个物品中选，且最大体积不超过j的选法的集合

状态计算

既然是从前i个物品当中选，最后一步一定是决定选几个第i个物品（这里不同于01背包问题）
a. 选取0个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j 】
b.选取1个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - v【i】】+w【i】
c.选取2个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - 2v【i】】+ 2w【i】
d.选取3个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - 3v【i】】+3w【i】
·
·
·
k.选取k个第i个物品=====>f【i，j】= f【i - 1，j - kv【i】】+k*w【i】

精准定义初始值

这里的初值都是0，没必要修改。但是有些题目的初值是比较重要的。
比如青蛙跳级题目剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题 - 力扣（LeetCode）

五：万年无误代码模板（含思路解析）

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N]; // s数组是存储第i个物品的数量
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ ) // 取k个物品的体积不能超过j，且k的物品不可能超过该物品的数量
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

到了这里，关于蓝桥杯算法全集之多重背包问题I（动态规划算法）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！