时间复杂度计算-例题集合

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了时间复杂度计算-例题集合。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

牢记:Tn是当前变量的执行次数
我们要做的就是讲Tn从各种嵌套中拎出来,用n表示。
每层循环的变量ijk表示都不一样,但是实际上都是指n在执行过程中的变化时间复杂度计算-例题集合时间复杂度计算-例题集合


)

一、常数阶

// 常数阶 
int result = 100; //运行程序只执行一次  
 
result ++ ;  //执行一次
 
System.out.println ("Hello!"+result); //执行一次 

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3,根据推导大O阶的规则1,每次运行程序每条语句执行一次,所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1),我们可以称之为常数阶。

例:

void fun4(int N) {
	int count = 0; 
	for (int k = 0; k < 100; k++) {
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

fun3的基本操作的执行了100次,通过推导大O阶方法知道,时间复杂度为O(1)。

二、线性阶

//线性阶
 
for(int i=0;i<n;i++){
 
   System.out.println(result[i]);  //执行一次
 
}

线性阶主要要分析循环结构的运行情况。
上面算法循环体中的代码执行了n次,因此时间复杂度为O(n),实际上,在for循环里面的所有时间复杂度为O(1)的语句总的时间复杂度都是O(n)。

三、对数阶

// 对数阶
 
int result=1;
 
while(result<n){
 
    result=result*2; //时间复杂度为O(1)
 
}

可以看出上面的代码, result=result*2; 随着result每次乘以2后,都会越来越接近n,当result大于等于n时就会退出循环(限制条件)

如果循环的次数为T,所以2^T=n于是T=log₂n,因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

例题:时间复杂度计算-例题集合时间复杂度计算-例题集合

二分查找

//二分查找法
int BinarySearch(int* a, int  n, int x) {
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	
	while (begin < end) {
	
		int mid = ((end - begin) >> 1) + begin; //计算end与begin的中间值,右移1位相当于除以2
		
		if (a[mid] < x) {begin = mid - 1;}
		else if(a[mid]>x){end = mid;}
		else {return mid;}
		
	}
	
	return -1;
}

对于BinarySearch函数来说,它存在

最好情况:执行1次
最坏情况:约执行logN次,这里的logN是以2为底,以N为对数。

这里我们考虑最坏情况,时间复杂度为:O(logN)。分析如下:

第一次查找:在长度为N的数组中查找值,取中间值进行比较

第二次查找:在长度为N/2的数组中查找值,取中间值进行比较

第三次查找:在长度为N/(2^2)的数组中查找值,取中间值进行比较
…
第logN次查找:在长度为N/(2^logN)的数组中查找值,即在长度为1的数组中查找,无论是否找到均跳出循环,结束查找。

四、平方阶

4.1

    // 平方阶
     
    for(int i=0;i<n;i++){       
       for(int j=0;j<n;j++){     
           System.out.println(result[i][j]);  //执行一次     
       }     
    }

这是一个循环嵌套的语句,很明显内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n),又经过了外层循环n次,那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。

4.2

void fun(int n){
    int i,j,x=0;
    for(i=1;i<n;i++){
       for(j=n;j>=i+1;j--){
           x++;
       }
    }
}

时间复杂度计算-例题集合
4.3

void fun(int n){
    int i=0;
    while(i*i*i<=n){
        i++;
    }
}

时间复杂度计算-例题集合4.4时间复杂度计算-例题集合4.5
时间复杂度计算-例题集合4.6冒泡排序

void Swap(int* a, int* b) {
	int c = *a;
	*a = *b;
	*b = c;
}

//冒泡排序 --从小到大
void BubbleSort(int* a, int n) {
	assert(a);//异常处理
	for (int end = n; end > 0; --end) {
		int exchange = 0;
		for (int i = 1; i < end; ++i) {
			if (a[i - 1] > a[i]) {
				//两个数据进行比较,前面一个数据大于后一个数据
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		//如果遍历整个数组,发现没有数据进行交换,即每个元素均小于等于后一个元素
		//则无须在进行排序,直接结束循环即可
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

对于BubbleSort函数来说,它存在

最好情况:数组为顺序,执行N次
最坏情况:数组为逆序,执行N*(N+1)/2次

五、多个复杂度组合:顺序结构

// 多个复杂度组合
 
for(int i=0;i<n;i++){   
   for(int j=0;j<n;i++){ 
       System.out.println(result[i][j]);  //执行一次 
   } 
}
 
for(int i=0;i<n;i++){  
   System.out.println(result[i]);  //执行一次 
}

对于顺序执行的语句或者算法,总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。所以对于以上的代码,时间复杂度为O(n²)。

六、多个复杂度组合:选择结构

// 多个复杂度组合
if(flag){ 
   for(int i=0;i<n;i++){  
       for(int j=0;j<n;i++){ 
          System.out.println(result[i][j]);  //执行一次 
       } 
    } 
}else{ 
    for(int i=0;i<n;i++){   
       System.out.println(result[i]);  //执行一次 
    } 
}

对于条件判断语句,总的时间复杂度等于其中时间复杂度最大的路径的时间复杂度。所以对于以上的代码,时间复杂度为O(n²)。

七、多个复杂结构:嵌套结构

void fun(int n){
    int i,k;
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n;j++){
            k=1;
            while(k<=n){
                k = 5*k;
            }
        }
    }
}

时间复杂度计算-例题集合

八、递归

//求阶乘
long long Factorial(int N) {
	return N < 2 ? N : N * Factorial(N - 1) ;
}

时间复杂度计算-例题集合时间复杂度计算-例题集合

//斐波那契函数
long long Fibonacci(int N) {
	return N < 2 ? N : Fibonacci(N - 1) + Fibonacci(N - 2);
}

Fibonacci函数的时间复杂度为O(2^N),分析过程如下:
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