【矩阵论】2. 矩阵分解—

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[注]由于矩阵论对计算机比较重要，所以选修了这门课，由于不是专业搞数学的，所以存在很多口语化描述，而且对很多东西理解不是很正确与透彻，欢迎大家指正。我可能间歇性忙，但有空一定会回复修改的。

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换)
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
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4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
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5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

矩阵分解可以得到简化的乘积矩阵，可以简化后续的计算与处理度

【矩阵论】2. 矩阵分解——SVD

2.1.2 奇异值分解SVD

a. 正SVD

设 $A=A_{m\times n}$ ， $r (A) > 0$ ,正奇值 $\sqrt{\lambda_1},\cdots,\sqrt{\lambda_r}$ ，则有分解 $A=P\Delta Q^H$ ，其中 $\Delta=\left( \begin{matrix} \sqrt{\lambda_1}&&\\ &\ddots&\\ &&\sqrt{\lambda_r} \end{matrix} \right)$ ， $P_{m\times r}$ ， $Q_{n\times r}$ 为半U阵， $P^HP=I_r=Q^HQ$ ，可写正SVD公式 $A=P\left( \begin{matrix} \sqrt{\lambda_1}&&\\ &\ddots&\\ &&\sqrt{\lambda_r} \end{matrix} \right)Q^H$

证明

$P_{m\times r}，Q_{n\times r}$ 的构造

$A^HA$ 为Hermite阵，由Hermite分解定理，存在U阵，使 $U^H(A^HA)U=\left( \begin{matrix} \lambda_1&&\\ &\ddots&\\ &&\lambda_n \end{matrix} \right)_{n\times n}$ ，且 $A^HA$ 为半正定阵，有 $\lambda_1,\cdots,\lambda_r>0，\lambda_{r+1}=\cdots=\lambda_n=0,r(A)=r$
。而 $U$ 的列向量 $(q_1,q_2,\cdots,q_n)$ 为 $A^HA$ 的特征向量
且 $A^HAq_1=\lambda_1q_1,\cdots,A^HAq_r=\lambda_rq_r,A^HAq_{r+1}=0,A^HAq_{n}=0$ ，令 $Q=(q_1,q_2,\cdots,q_r)_{n\times r}$ ， $P=(\frac{Aq_1}{\vert Aq_1\vert},\cdots,\frac{Aq_r}{\vert Aq_r\vert})_{m\times r}$
P与Q为半U阵

已知 $Q$ 中列向量为U阵的 $r$ 个非零列向量，则 $Q$ 为半U阵，而 $(Aq_1,Aq_2)=(Aq_2)^H(Aq_1)=q_2A^HAq_1=\lambda_1q_2^Hq_1=(\lambda_1q_1,q_2)=0$ 。同理， $Aq_i$ 与 $Aq_j$ 都正交， $\vert Aq_i\vert^2=(Aq_i)^H(Aq_i)=q_i^HA^HAq_i=\lambda_iq_i^Hq_i=\lambda_i\ge0$
$\Rightarrow P=\left(\frac{Aq_1}{\vert Aq_1 \vert},\frac{Aq_2}{\vert Aq_2 \vert},\cdots,\frac{Aq_r}{\vert Aq_r \vert}\right)=\left(\frac{Aq_1}{\sqrt{\lambda_1}},\frac{Aq_2}{\sqrt{\lambda_2}},\cdots,\frac{Aq_r}{\sqrt{\lambda_r}}\right)$ ，即 $P$ 阵为半U阵
代入 $P, Q$

$P\Delta Q^H=\left(\frac{Aq_1}{\sqrt{\lambda_1}},\frac{Aq_2}{\sqrt{\lambda_2}},\cdots,\frac{Aq_r}{\sqrt{\lambda_r}}\right) \left( \begin{matrix}\sqrt{\lambda_1}&&\\ &&\ddots&\\ &&&\sqrt{\lambda_r} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} q_1^H\\ q_2^H\\ \vdots\\ q_r^H \end{matrix} \right)$

$=(Aq_1,Aq_2,\cdots,Aq_r)\left( \begin{matrix} q_1^H\\ q_2^H\\ \vdots\\ q_r^H \end{matrix} \right)=\left(Aq_1q_1^H,Aq_2q_2^H,，\cdots,Aq_rq_r^H,\right)$
验证 $\left(Aq_1q_1^H,Aq_2q_2^H,，\cdots,Aq_rq_r^H\right)=A$

$A^HA$ 为半正定Hermite阵， $r(A^HA)=r(A)=r$ 。由同解定理， $A^HAx=0\iff Ax=0$ ， $A^HAq_{r+1}=\cdots=A^HAq_{n}=0\Rightarrow Aq_{r+1}=\cdots=Aq_{n}=0$
$\Rightarrow A(q_{r+1}q_{r+1}^H+\cdots+q_nq_n^H)=0$ ，而 $A(q_1q_1^H+\cdots+q_rq_r^H+q_{r+1}q_{r+1}^H+\cdots+q_nq_n^H)=AI=A$ ，即 $A(q_1q_1^H+\cdots+q_rq_r^H)=A$

最后得证正SVD公式， $A=P\Delta Q^H=P\left( \begin{matrix} \sqrt{\lambda_1}&&\\ &\ddots&\\ &&\sqrt{\lambda_r} \end{matrix} \right)Q^H$

分解方法

求 $A^HA$ 的特征值， $\lambda_1\ge\cdots,\ge\lambda_r>0$

正奇值为 $\sqrt{\lambda_1},\cdots\sqrt{\lambda_r}$
求 $\lambda_1,\cdots,\lambda_r$ 的正交特征向量（不必单位化）
令列半U阵 $Q=\left(\frac{X_1}{\vert X_1\vert},\cdots,\frac{X_r}{\vert X_r\vert}\right),P=\left(\frac{AX_1}{\vert AX_1\vert},\cdots,\frac{AX_r}{\vert AX_r\vert}\right)$

eg

$\begin{aligned} A=\left( \begin{matrix} 1&1\\ 0&0\\ 1&1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &A^HA=\left( \begin{matrix} 2&2\\ 2&2 \end{matrix} \right),由A^HA为秩1矩阵，得\lambda=\{4,0\}，正奇值为\sqrt{\lambda}=\sqrt{2}\\ &而\lambda_1=4的特征向量为X_1=\left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix} \right),则\Delta=\left( 2 \right)\\ &令Q=\left(\frac{X_1}{\vert X_1\vert}\right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right),P=\left( \begin{matrix} \frac{AX_1}{\vert AX_1\vert} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\\ &则A的正SVD为A=P\Delta Q^H=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\left(2\right)\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \end{aligned}$

考虑 $B=\left( \begin{matrix} 1&0&1\\1&0&1\\ \end{matrix} \right)$ 的正SVD

$\begin{aligned} &已知B=A^H,且有A的正SVD，A=P\Delta Q^H=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\left(2\right)\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\\ &B=(P\Delta Q^H)^H=Q\Delta P^H=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\left(2\right)\left( \frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \end{aligned}$

b. SVD(将P，Q，D都扩充为方阵)

$\begin{aligned} &设A=A_{m\times n}，r(A)>0,正奇值\sqrt{\lambda_1},\cdots,\sqrt{\lambda_r}>0,则有分解A=W\Delta V^H\\ &其中D=\left( \begin{matrix} \Delta&0\\ 0&0 \end{matrix} \right)_{m\times n}，W_{m\times m}=(P,P_1),V_{n\times n}=(Q,Q_1)\\ &可写SVD公式A=W\left( \begin{matrix} \Delta&0\\ 0&0 \end{matrix} \right)V^H=P\Delta Q^H,其中\left( \begin{matrix} \sqrt{\lambda_1}&&\\ &\ddots&\\ &&\sqrt{\lambda_r} \end{matrix} \right) \end{aligned}$

证明:

$\begin{aligned} &由正SVD：A=P\Delta Q^H,分别把P，Q扩充为U阵，即W=(P,P_1),V=(Q,Q_1)，\\ &V^H=\left( \begin{matrix} Q^H\\ A_1^H \end{matrix} \right),则WDV^H=(P,P_1)\left( \begin{matrix} \Delta&0\\ 0&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} Q^H\\ A_1^H \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} P\Delta\quad 0\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} Q^H\\ A_1^H \end{matrix} \right)=P\Delta Q^H \end{aligned}$

分解方法

求 $A^HA$ 的特征值， $\lambda_1\ge\cdots,\ge\lambda_r>0$

正奇值为 $\sqrt{\lambda_1},\cdots\sqrt{\lambda_r}$
求 $\lambda_1,\cdots,\lambda_r$ 的正交特征向量（不必单位化）
令列U半阵 $Q=\left(\frac{X_1}{\vert X_1\vert},\cdots,\frac{X_r}{\vert X_r\vert}\right),P=\left(\frac{AX_1}{\vert AX_1\vert},\cdots,\frac{AX_r}{\vert AX_r\vert}\right)$ ，则有正SVD： $A=P\Delta Q^H$
将P，Q扩充为W，V 扩充方法不唯一 由证明可知，不管 $P_1,Q_1$ 为何，都会被消去

得SVD公式 $A=WDV^H$

eg

$\begin{aligned} A=\left( \begin{matrix} 1&1\\ 0&0\\ 1&1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &扩充为两个U阵V=\left(Q,X\right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right),W=\left(P,Y\right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0&0&0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&0&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\\ &则有奇异分解SVD，A=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0&0&0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&0&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2&0\\ 0&0\\ 0&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} A=\left( \begin{matrix} 2i&1\\ 1&i\\ 1&i \end{matrix} \right) \end{aligned}$
$\begin{aligned} &A^HA=\left( \begin{matrix} -2i&1&1\\ 1&-i&-i \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2i&1\\ 1&i\\ 1&i \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 6&0\\ 0&3 \end{matrix} \right)，可知正奇值S(A)_+=\{\sqrt{6},\sqrt{3}\}\\ &\lambda_1=6,X_1=\left( \begin{matrix} 1\\0 \end{matrix} \right),AX_1=\left( \begin{matrix} 2i\\1\\1 \end{matrix} \right)\vert AX_1\vert=\sqrt{6};\lambda_2=3,X_2=\left( \begin{matrix} 0\\1 \end{matrix} \right),AX_2=\left( \begin{matrix} 1\\i\\i \end{matrix} \right)\\ &令Q=\left( \begin{matrix} X_1,X_2 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right),P=\left( \begin{matrix} \frac{AX_1}{\vert AX_1\vert},\frac{AX_2}{\vert AX_2\vert} \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{2i}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{i}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{i}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right)\\ &则有正SVD，A=P\Delta Q^H=\left( \begin{matrix} \frac{2i}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{i}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{i}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{6}&\\ &\sqrt{3} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right)^H\\ &可知SVD，A=WDV=\left( \begin{matrix} \frac{2i}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&0\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{i}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{6}&\\ &\sqrt{3} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\0&1 \end{matrix} \right)^H \end{aligned}$

一个SVD解答
$\begin{aligned} A=\left( \begin{matrix} i&2\\ 1&i\\1&i \end{matrix} \right)，求正SVD与SVD \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\because A^HA=\left( \begin{matrix} -i&1&1\\ 2&-i&-i \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} i&2\\ 1&i\\1&i \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 3&0\\ 0&6 \end{matrix} \right)为对角阵，令\lambda_1=3,\lambda_2=6\\ &A^HA有两个特向X_1=\left( \begin{matrix} 1\\0 \end{matrix} \right),X_2=\left( \begin{matrix} 0\\1 \end{matrix} \right)(互正交)，正奇值为 \sqrt{\lambda_1}=\sqrt{3},\sqrt{\lambda_2}=\sqrt{6}\\ &AX_1=\left( \begin{matrix} i\\1\\1 \end{matrix} \right),AX_2=\left( \begin{matrix} 2\\i\\i \end{matrix} \right),\vert AX_1 \vert=\sqrt{3},\vert AX_2 \vert=\sqrt{6}\\ &令P=\left( \frac{AX_1}{\vert AX_1\vert},\frac{AX_2}{\vert AX_2\vert} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}\\ \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}\\ \end{matrix} \right),则正SVD\\ &A=P\Delta Q^H=\left( \begin{matrix} \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}\\ \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{3}&0\\ 0&\sqrt{6}\\ 0&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\ 0&1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

$\begin{aligned} &令W=(P,P_1)=\left( \begin{matrix} \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}&0\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{matrix} \right),或\left( \begin{matrix} \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}&0\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \end{matrix} \right),\\ &有SVD，A=\left( \begin{matrix} \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}&0\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{3}}&\frac{i}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{3}&0\\ 0&\sqrt{6}\\ 0&0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&0\\ 0&1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

c. 当A是向量时

$\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{matrix} \right)\neq 0,则其正SVD \end{aligned}$

$\begin{aligned} &A^HA=\left(\overline{a_1},\cdots,\overline{a_n}\right)\left( \begin{matrix} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{matrix} \right)=\vert a_1\vert^2+\cdots+\vert a_n\vert^2>0\\ &\lambda_1=\vert a_1 \vert^2+\cdots+\vert a_n\vert^2，令\Delta=\left(\sqrt{\lambda_1}\right),Q=(1)\\ &X_1=(1)，P=\frac{1}{\sqrt{\vert a_1 \vert^2+\vert a_2 \vert^2+\cdots+\vert a_n \vert^n}}\left( \begin{matrix} a_1\\\vdots\\a_n \end{matrix} \right),\\ &正SVD：A=P\Delta Q^H=\\ &\frac{1}{\sqrt{\vert a_1 \vert^2+\vert a_2 \vert^2+\cdots+\vert a_n \vert^n}}\left( \begin{matrix} a_1\\\vdots\\a_n \end{matrix} \right)\left(\sqrt{\vert a_1 \vert^2+\vert a_2 \vert^2+\cdots+\vert a_n}\right)\left(1\right) \end{aligned}$

d. $A^H$ 与A的SVD只需求一个

$若已知正SVD，A=P\Delta Q^H,可得A^H的正SVD=(P\Delta Q^H)^H$

$\begin{aligned} A=\left( \begin{matrix} 2&0&0\\ 3&0&0 \end{matrix} \right)与B=A^H的正SVD与SVD \end{aligned}$

【矩阵论】2. 矩阵分解——SVD

2.1.3 正SVD的等价写法

$\begin{aligned} &A=P\Delta Q^H,\Delta=\left( \begin{matrix} s_1&&\\ &\ddots&\\ &&s_r \end{matrix} \right),令P=\left(\frac{AX_1}{\vert AX_1\vert},\cdots,\frac{AX_r}{\vert AX_r\vert} \right)=\left(p_1,\cdots,p_r\right)\\ &Q=\left(X_1,\cdots,X_r\right)=\left(q_1,\cdots,q_r\right),则有正SVD\\ &A=s_1p_1q_1^H+\cdots+s_rp_rq_r^H \end{aligned}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-405138.html