遗传算法【matlab实现】（内含matlab基础式注释）

    最近在准备数学建模，凭借微弱的matlab基础学习遗传算法等一系列最优化算法实在是有点吃力。想着帮助自己消化吸收+帮助其他小白同学快速看懂代码，所以写了一篇blog，给出了遗传算法的大致实现思路。但重点是里面傻瓜式的代码注释，详细到了每一个系统函数、matlab语法的用法。适合仓促备赛、快速上手matlab实现算法的同学。

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分割线---2023/4/24更新
经验与教训之谈：
        这篇文章是本人大一零经验入门数模，学习算法思路时写的文章，当然当时打国赛也用上了这一篇文章里的代码。（对的，当时一切算法代码都是手搓，现在想来有种刺激爽快而很傻的矛盾快感）
        但是后来逐渐发现，数模核心其实并不在于编写算法代码---这无异于从零造别人造过的轮子，吃力还低效。学习数模的核心应该是：了解更多可行的算法，学会如何调用/结合现有的最优的代码去解决自己的问题。
        因此从这个角度，我不建议数模跑数据时直接用我下面的代码去跑，而可以去调现成的很方便的库。(但是学习时看看底层代码会有更深刻的认知，比赛时附录可以把源码贴上去充实文章)
       这篇文章应该是提供一份资料让大家学习了解这个算法，并且在论文里能把这个算法说清楚。
 

目录

一、遗传算法的思想来源

二、遗传算法的原理分析

①建立种群的基因库------二进制编码

1）确定基因序列长度N

2）建立自变量到十进制数间一一映射关系

②实现遗传过程的交配、突变、选择遗传等过程

1）依适应度的概率选择规则

2）新种群复制

3）新种群交配（交叉）

4）基因突变

5）遗传迭代

二、完整代码段

1）各种参数初始化（需要自己补充上下界、精度）

2）主函数

3)结果可视化（main）

4）适应度计算函数（ 自己写目标函数targetfun() ）

5）选择复制函数

6）交叉函数

7）变异函数

7）适应度计算函数

8）轮盘赌

9）二进制-十进制转换函数

一、遗传算法的思想来源

        遗传算法是建立在自然选择学说基础之上的智能算法。生物种群在自然选择中优胜劣汰，代代繁衍。每一次种群更替，总是淘汰劣质基因、保留优质基因，从而朝着种群的最优发展方向进化。

        生物遗传是生物种群不断靠近全局最优解的过程，那么我们能不能用这个思路来解决最优化问题呢？

         当然可以：仿照自然遗传过程，①人为设定一个数据组作为“种群基因”，②以目标函数作为评判“发展方向优劣”的标准；③让这群数据通过计算机模拟的“交配”、“基因突变”、“种群复制”等自然选择过程，不断迭代更新、优胜劣汰；④基因趋于稳定时，我们称其为“成熟”，就得出问题的全局最优解。

二、遗传算法的原理分析

①建立种群的基因库------二进制编码

        实际的生物基因是由ACTG四个碱基组成的字母串，要模拟生物基因，使用二进制代码01序列是方便的：

        1.基因的交叉------01序列部分交换

        2.基因突变------二进制数串的某一位0-1翻转

        3.二进制与题目求的十进制数之间转换方便

而matlab也可以方便地创建出一个01的矩阵，以模仿生物种群中不同个体的基因序列：

population = round(rand(popsize,Length)); 
%rand(popsize,length)为随机数函数，生成一个在[0,1]区间的popsize*length大小的随机数矩阵
%round函数对rand函数生成的矩阵四舍五入处理，即可生成01矩阵
%参数说明：population 种群基因库     popsize 种群中个体的大小

        生成的population（种群）类似下表：

       (表1)

            01表示的二进制序列很好的解决了基因模拟问题，但现在又有两个新问题：

① Q：如果我们要求某个函数在(-5,5)上的最优解，种群就应该落在这个区间上。但二进制编码到十进制编码都是在0到2^N上的数，如何将其映射到自变量区间上？

② Q：01序列的长度如何选取？

     A：由你所要求的自变量精度precision决定。自变量十进制要求精度越高，二进制精度要求当然也要高，基因序列也就越长。

        这两个问题都是通过二进制编码实现的，下面通过一个具体题目来感受下这个编码思路：

例：求解下述复杂函数的最大值，自变量x∈[-2,2]，要求精度precision=0.001

编码过程：

1）确定基因序列长度N

精度为precision=0.001，那么就将[-2,2]这个区间分成了  4÷0.001=4000个数。按照上面的思路，其中每一个数都应该对应二进制基因序列的一种排列方式。大概如下：

(表2)

所以，二进制最大值 == 编码数量  

  ​

解得  基因长度N   

  

普遍的，二进制长度公式为     

  

2）建立自变量到十进制数间一一映射关系

        二进制序列确定好了之后，对应的十进制数也就确定了

二进制  ---->  十进制   ---->自变量 之间的一一映射关系实际是简单的

二进制到十进制：   

function x=transform2to10(population);
%函数功能：将二进制数转换为十进制数
%传入参数：种群的二进制序列population(按行表示)
%返回值：x  种群对应的十进制数

Length = size(population,2);%获取列数即染色体长度
x=population(Length); %x初始化为该染色体的最末位
for i =1:Length-1
    x=x+population(Length-i)*power(2,i);
end

十进制数转换成自变量区间内的数：

x = lower_bound + x_10 *(upper_bound-lower_bound) / (power(2,Length)-1);
%将十进制数x_10 转化为[lower_bound,upper_bound]区间的自变量x   用等分法

        到此，基因序列编码、基因与自变量间的一一对应关系建立完成，就可以使用这群01基因序列进行运算求解实际问题了。

②实现遗传过程的交配、突变、选择遗传等过程

1）依适应度的概率选择规则

        生物繁衍过程，种群的生老病死，基因是否突变，基因是否顺利遗传，哪两个基因发生交配等问题都是不确定的概率问题。因此，我们不能用绝对的标准控制某个基因的遗传情况。

        因此，我们只能通过抽奖的方式，将某个个体被抽到的概率与其生存能力（适应度）挂钩。生存能力越强，适应度越大，自然也就有更大机会被选中，进行遗传行为了。

        生物繁衍过程的适应度是指：生物生存技能、生物体质是否壮硕等指标。类似的，求解函数的最大值问题时，我们自然将自变量的函数值作为适应度了。函数值越大、它适应度越大，越容易被抽中。

        同理，当求解最小值优化问题时，应构造适应度函数，使得函数值越小，适应度越大。

        具体适应度与概率的评估过程如下：

        a.根据目标函数，计算出适应度fitness;对适应度累加，求出种群的总适应度fitness_sum;

        求解个体占总适应度的比例，将每个个体按比例分配到0-1区间上的一个小区间。

个体	1	2	3	4
区间	[0,0.1]	[0.1,0.4]	[0.4,0.9]	[0.9,1.0]
占总适应度比例	10	30	50	10

        b.由于rand函数生成0-1区间上的数的几率是一定的。因此某个体适应度越大，随机数落在该个体所在区间上的概率就越大。因此使用rand()函数生成在[0，1]区间上的数，进行随机抽奖。        

       例如，生成随机数若为0.6，那么就落在了个体3所在区间上，个体3被选中。

%子函数fitnessfun() ,计算适应度及累计概率的函数
%返回值fitvalue为适应度，cumsump为概率区间
%population为种群的基因矩阵

function [Fitvalue,cumsump]=fitnessfun(population);
global Length
global lower_bound
global upper_bound

%size函数 输入参数1为获取矩阵的行数(种群大小)，2为获取列数(基因长度)
popsize =size(population,1); 

%进入循环遍历每个染色体
for i=1:popsize
    x_10=transform2to10(population(i,:)); %二进制转换为十进制
    %转化为[-2,2]区间的自变量x 用等分法
    x=lower_bound+ x_10 *(upper_bound-lower_bound)/(power(2,Length)-1);
    Fitvalue(i)=targetfun(x);     %求解适应度 targetfun()为目标函数
end
Fitvalue=Fitvalue'+230;            %避免出现负适应度，在这里加一个正数
fsum=sum(Fitvalue);                %求解总适应度
Pperpopulation = Fitvalue/fsum;    %求解每个个体的概率P
cumsump(1)=Pperpopulation(1);      %依概率在0,1上分配区间
for i=2:popsize
    cumsump(i)=cumsump(i-1)+Pperpopulation(i);
end
cumsump=cumsump';        //转置一下,返回概率区间

        抽奖规则做好了，接下来只需要完善基因交叉、遗传、变异等功能函数，组装起来，遗传算法的架构就做好了。

2）新种群复制

        种群复制: 该步骤主要为选择一定数量的染色体复制到下一代，是实现“优胜劣汰”的关键步骤。每个个体是否能被遗传到下一代，由上述提到的个体适应度决定。

        但是，这里存在两种复制方案，我认为有必要在这里说明一下：

        ① 将适应度从大到小进行排序，选取适应度最优的P_0个个体遗传到下一代

        ②依照适应度大小，得出被遗传的概率大小，依照概率随机抽选个体遗传。该方法中，最优个体有可能在复制中被丢失；最差个体也有可能被复制到下一代。

        部分小伙伴可能理所当然认为①是最合理的。但并不是，两种方法有其各自的应用范围。下面分别谈谈：

1、办法①在求解一些简单的优化问题，通常局部最优即为全局最优解的问题是适用的。但是，每一步都只保留优秀个体而损失不良个体，可能会被“暂时的优秀”，即局部最优所蒙蔽。这种做法在面对复杂函数时，会失去一定的全局搜索能力。

        比如，当函数呈现多峰分布且梯度较大时，种群在某时候聚集在局部最优解附近，这种做法只保留了位于局部最优解附近的种群，而损失了在其他领域探索的不良个体。但有可能，不良个体才是距离全局最优最近的个体。

         因此，面对复杂问题是，更合理的办法是选择方案二------依概率遗传。这样可以保证对复杂问题的全局搜索性，对解出最终答案至关重要。

function seln = selection(population,cumsump,num);
%子函数selection()
%进行新种群选择操作
%输入参数:种群population，累计概率cumsump，要求遗传个体数num
%返回值为被选中的染色体序号seln

pop_size=size(population,1);    %获取当前种群规模
selected=zeros(size(population,1))；%用于标记每个个体是否被选择过(避免重复)
for i =1:1:num
    while 1   %循环包裹，若当前选中了一个未被选过的个体时跳出，否则重新来
        r=rand; %产生一个随机数
        prand=cumsump-r;  %概率区间统一减去随机数。
        index=1;
        while prand(index)<0    %第一个正数所在区间就是被选中的染色体区间。
            index=index+1;
        end
        if selected(index)~=1  %判断是否被选过
            selected(index)=1;  %赋值
            break;
        end
    end
    seln(i)=index;  %选中个体的序号
end

3）新种群交配（交叉）

        每次交叉的两个染色体为步骤2)中选出的染色体，将其序号作为参数传入crossover子函数中，是否交配遵循以下规则：

        ①依交叉概率pcrossover，使用下函数随机决定两个染色体是否发生交叉(后面判断是否变异也用它)。

%变异或交叉的抽奖函数 pcc==1 表示抽中，反之没抽中
function pcc = IfCroIfMut(p_crossover);
n=rand;
if n<=p_crossover
    pcc=1;
else
    pcc=0;
end

        ②若发生交叉，再使用rand函数抽取一个交叉节点，将两个染色体节点前、后的部分交叉

function scro = crossover(population,seln,pcrossover)
%新种群交叉函数：crossover()
%输入参数:原种群，交叉染色体序号，交叉概率
%返回值:交叉后染色体

Length = size(population,2);    %取染色体长度为length
pcc = IfCroIfMut(pcrossover);   %概率决定是否交叉，1是0否
if pcc==1
    position =(round(rand*(Length-2)))+1;     %随机选取一个交叉节点
    %小白扫盲：矩阵格式(a,b:c,d)---左从a到b行，右从c到d列依次遍历
    %取seln(1)的position前序列，seln(2)的position后序列交叉
    scro(1,:)=[population(seln(1),1:position) ,population(seln(2),position+1:Length)]; 
    scro(2,:)=[population(seln(2),1:position) ,population(seln(1),position+1:Length)];
else
    scro(1,:)=population(seln(1),:);
    scro(2,:)=population(seln(2),:);
end

4）基因突变

        基因变异即将基因序列上的某一位进行0-1翻转。变异的基因为由rand函数随机产生。

是否发生变异由变异概率pmutation决定。

function snew = mutation(population,pmutation);
%突变函数mutation()
%进行变异步骤 population为原种群，pmutation为变异概率
%返回值为snew，承载新种群的染色体信息。

Length = size(population,2);    %获取基因长度
%snew为返回值
snew=population;
pmm = IfCroIfMut(pmutation);
if pmm==1
    position=round(rand*(Length-1))+1;    %抽变异的染色体位置
    snew(position)=abs(population(position)-1);    %0-1翻转
end

5）主函数 遗传迭代

将函数块组合到主函数中，进行遗传迭代

%计算适应度，返回适应度fitvalue 累积概率 cunsump
[Fitvalue, cumsump] = fitnessfun(population);
Generation =1;
while Generation<Generation_max+1
    for j=1:2:popsize   %j和j+2两两交叉
        %选择，返回seln为选择结果
        seln = selection(population,cumsump);
        %交叉  返回scro为交叉后的两根染色体
        scro = crossover (population,seln,p_crossover);
        %加入交叉后的染色体 定义scnew为进行遗传步骤后的新种群
        scnew(j,:)=scro(1,:);
        scnew(j+1,:)=scro(2,:);
        %变异 smnew为在scnew基础上变异后的新种群，最新了
        smnew(j,:)=mutation(scnew(j,:),p_mutation);
        smnew(j+1,:)=mutation(scnew(j+1,:),p_mutation);
    end
    population = smnew;  %产生新种群
%计算新种群适应度
    [Fitvalue,cumsump]=fitnessfun(population);
%记录当代最好适应度与平均适应度
    [fmax,nmax]=max(Fitvalue);
    fmean = mean(Fitvalue);
%ymax记录每一代的最好适应度与平均适应度
    ymax(Generation)=fmax;
    ymean(Generation)=fmean;
%记录当代最佳染色体个体
    x_10=transform2to10(population(nmax,:));
%自变量取【-2，2】，需要把经过遗传运算的最佳染色体整合到该区间。
    x=lower_bound+x_10*(upper_bound-lower_bound)/(power((upper_bound),Length)-1);
    xmax(Generation)=x;
    Generation=Generation+1;
end
Generation=Generation-1;  %由于while中generation+1后跳出循环，所以减回去
Bestpopulation=x;
Besttargetfunvalue=targetfun(x);

二、优化原理分析------交叉、变异步骤的意义        

        由上述讨论我们已经清楚，遗传算法实际上是通过模拟自然界优胜劣汰过程，求解最优化问题的算法。但我们还有一个疑问：优胜劣汰的过程其实通过“选择”这一个步骤就可实现，为什么出现了额外的交叉、变异呢？

        实际上，交叉与变异分别对应了“全局搜索”与“局部搜索”两种性能。

        ①交叉，是两个染色体直接进行交换。该步骤使得染色体序列发生较大变动，最终染色体映射到的实数也会发生较大变化，使得种群分散，体现出算法的全局搜索性。

        ②变异，是但染色体序列中某一位出现0-1翻转。该步骤使得染色体序列在小范围内波动，体现出局部的搜索性。

        交叉与变异，分别影响了算法的全局搜索性能和局部搜索性能，那么，我们可以调整交叉与变异的强度，从而使算法更倾向于全局搜索或者局部搜索，以适应不同的优化问题。

比如：

        如果优化函数是全局性多峰值函数，那么，全局搜索性能更重要。为避免种群陷入局部最优解，我们可以增大 交叉概率p_crossover。

        如果优化函数在最优解附近梯度比较大，需要精细的搜索，那么我们可以通过增大变异概率p_mutation，从而提升算法的局部搜索性能。

三、完整代码段

        该程序适用于求解目标函数最大值。如需求解最小值，将主函数中记录最大值部分改为最小值即可。

1）各种参数初始化（需要自己补充上下界、精度）

%各种参数的初始化
global Length            %length标记染色体长度
global lower_bound       %标记自变量取值区间下界
global upper_bound       %自变量取值区间上界
precision = ;      %设置取值精度
lower_bound = ;   %取下界
upper_bound = ;    %取上届
%求解染色体长度。ceil(x)函数，将x向上取整并返回
Length = ceil(log2((upper_bound-lower_bound)'./precision));
popsize = 50;        %设置种群大小
Generation_max =12;  %迭代次数上限
p_crossover =0.9;     %交配概率
p_mutation=0.09;      %突变概率
 %rand()为随机数函数，随机生成popsize(行，代表每一条染色体) * length(列数，染色体的基因序列)矩阵
 %round函数对矩阵每个数四舍五入（以获取01序列的染色体)
population = round(rand(popsize,Length));    %初始化种群

2）主函数

%计算适应度，返回适应度fitvalue 累积概率 cunsump
[Fitvalue, cumsump] = fitnessfun(population);
Generation =1;
while Generation<Generation_max+1
    for j=1:2:popsize   %j和j+2两两交叉
        %选择，返回seln为选择结果
        seln = selection(population,cumsump);
        %交叉  返回scro为交叉后的两根染色体
        scro = crossover (population,seln,p_crossover);
        %定义scnew为进行遗传步骤后的新种群
        scnew(j,:)=scro(1,:);
        scnew(j+1,:)=scro(2,:);
        %变异 smnew为在scnew基础上变异后的新种群，最新了
        smnew(j,:)=mutation(scnew(j,:),p_mutation);
        smnew(j+1,:)=mutation(scnew(j+1,:),p_mutation);
    end
    population = smnew;  %产生新种群
%计算新种群适应度
    [Fitvalue,cumsump]=fitnessfun(population);
%记录当代最好适应度与平均适应度
    [fmax,nmax]=max(Fitvalue);
    fmean = mean(Fitvalue);
%ymax记录每一代的最好适应度与平均适应度
    ymax(Generation)=fmax;
    ymean(Generation)=fmean;
%记录当代最佳染色体个体
    x_10=transform2to10(population(nmax,:));
%自变量取【-2，2】，需要把经过遗传运算的最佳染色体整合到该区间。
    x=lower_bound+x_10*(upper_bound-lower_bound)/(power((upper_bound),Length)-1);
    xmax(Generation)=x;
    Generation=Generation+1;
end
Generation=Generation-1;  %由于while中generation+1后跳出循环，所以减回去
Bestpopulation=x;
Besttargetfunvalue=targetfun(x);

3)结果可视化（main）

%绘制运算后的适应度曲线。
%若平均适应度与最大适应度在曲线上有趋同态势，表示算法收敛较顺利，没出现震荡。此前提下，若最大适应度个体连续若干代无发生变化，表明种群成熟
figure(1);  %创建序号1图窗
hand1=plot(1:Generation,ymax);
set(hand1,'linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','*','markersize',6)
hold on;
hand2 = plot(1:Generation,ymean);
set(hand2,'color','r','linestyle','-','linewidth',1.8,'marker','h','markersize',6);
xlabel('进化代数');ylabel('最大/平均适应度');xlim([1 Generation_max]);
legend('最大适应度','平均适应度');
box off;hold off;

4）适应度计算函数（ 自己写目标函数targetfun() ）

%计算适应度函数fitnessfun ,返回值fitvalue为适应度，cumsump为累计概率
function [Fitvalue,cumsump]=fitnessfun(population);
global Length
global lower_bound
global upper_bound
%size函数，获取population的大小，输入参数1位获取行数，2为获取列数
popsize =size(population,1);
%进入循环遍历每个染色体

for i=1:popsize
    x_10=transform2to10(population(i,:));%取种群的第i行，求解其十进制
    %转化为[-2,2]区间的实数xx 用等分法
    x=lower_bound+x_10*(upper_bound-lower_bound)/(power(upper_bound,Length)-1);
    %求解适应度 targetfun为目标函数
    Fitvalue(i)=targetfun(x);
end
%'运算符为转置
%这里+230的目的是：在不改变适应度相对大小的前提下，将其全部转化为正数，以将适应度归一化。230为经验参数，可改
Fitvalue=Fitvalue'+230;  
%求解总适应度
fsum=sum(Fitvalue);
Pperpopulation = Fitvalue/fsum;  %适应度0-1化
%计算累积概率
cumsump(1)=Pperpopulation(1);
for i=2:popsize
    cumsump(i)=cumsump(i-1)+Pperpopulation(i);
end
cumsump=cumsump';

5）选择复制函数

%子函数selection()
%新种群选择操作：每次选中两个染色体
%返回值为被选中的染色体序号seln
function seln = selection(population,cumsump);
%从种群选择两个个体
for i =1:2
    r=rand; %产生一个随机数
    prand=cumsump-r;  %概率区间统一减去随机数。
    j=1;
    while prand(j)<0    %第一个正数所在区间就是被选中的染色体区间。
        j=j+1;
    end
    seln(i)=j;  %选中个体的序号
end

6）交叉函数

%新种群交叉函数：crossover()
%参数为：原种群，交叉染色体序号，交叉概率
%返回值为交叉后染色体
function scro = crossover(population,seln,pcrossover);
Length = size(population,2);    %取染色体长度为length
pcc = IfCroIfMut(pcrossover);   %概率决定是否交叉，1是0否
if pcc==1
    position =(round(rand*(Length-2)))+1;     %随机选取一个交叉节点
    %小白扫盲：矩阵格式(a,b:c,d)---左从a到b行，右从c到d列依次遍历
    %取seln(1)的position前序列，seln(2)的position后序列交叉
    scro(1,:)=[population(seln(1),1:position) ,population(seln(2),position+1:Length)]; 
    scro(2,:)=[population(seln(2),1:position) ,population(seln(1),position+1:Length)];
else
    scro(1,:)=population(seln(1),:);
    scro(2,:)=population(seln(2),:);
end

7）变异函数

%突变函数mutation()
%返回值为snew，承载新种群的染色体信息。
%进行变异步骤 population为原种群，pmutation为变异概率
function snew = mutation(population,pmutation);
Length = size(population,2);    %获取基因长度
%snew为返回值
snew=population;
pmm = IfCroIfMut(pmutation);
if pmm==1
    position=round(rand*(Length-1))+1;    %抽变异的染色体位置
    snew(position)=abs(population(position)-1);    %0-1翻转
end

7）适应度计算函数

%计算适应度函数fitnessfun ,返回值fitvalue为适应度，cumsump为累计概率
function [Fitvalue,cumsump]=fitnessfun(population);
global Length
global lower_bound
global upper_bound
%size函数，获取population的大小，输入参数1位获取行数，2为获取列数
popsize =size(population,1);
%进入循环遍历每个染色体

for i=1:popsize
    x_10=transform2to10(population(i,:));%取种群的第i行，求解其十进制
    %转化为[-2,2]区间的实数xx 用等分法
    x=lower_bound+x_10*(upper_bound-lower_bound)/(power(upper_bound,Length)-1);
    %求解适应度 targetfun为目标函数
    Fitvalue(i)=targetfun(x);
end
%'运算符为转置
Fitvalue=Fitvalue'+230;
%求解总适应度
fsum=sum(Fitvalue);
Pperpopulation = Fitvalue/fsum;  %适应度0-1化
%计算累积概率
cumsump(1)=Pperpopulation(1);
for i=2:popsize
    cumsump(i)=cumsump(i-1)+Pperpopulation(i);
end
cumsump=cumsump';

8）轮盘赌

%变异或交叉的抽奖函数
function pcc = IfCroIfMut(pcrossover);
 test(1:100)=0;  %建立1x100的全零矩阵
 L = round(100*pcrossover);  %取0-100p内随机数
 test(1:L)=1;    %从1到l都变为1 ，建立与p成正比的抽奖概率
 n=round(rand*99)+1; 
 pcc=test(n);    %抽奖

9）二进制-十进制转换函数

%将二进制数转换为十进制数
function x=transform2to10(population);
%获取列数即染色体长度
Length = size(population,2);
%注意 population为某一染色体的基因序列
x=population(Length); %x初始化为该染色体的最末位
%倒序求解翻译成10进制
for i =1:Length-1
    x=x+population(Length-i)*power(2,i);
end

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