数学模型学习——模糊关系与模糊矩阵

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数学模型学习——模糊关系与模糊矩阵。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、基本概念

​ 先来看一下模糊关系的定义:

​ 定义:设论域 U , V U,V U,V ,乘积空间上 U × V = { ( u , v ) ∣ u ∈ U , v ∈ V } U\times V=\{(u,v)|u\in U,v\in V\} U×V={(u,v)uU,vV} 上的一个模糊子集 R R R 为从集合 U U U 到集合 V V V 的模糊关系。如果模糊关系 R R R 的隶属函数为
μ R : U × V → [ 0 , 1 ] , ( x , y ) ↦ μ R ( x , y ) \mu_R: U\times V\rightarrow [0,1],(x,y)\mapsto\mu_R(x,y) μR:U×V[0,1],(x,y)μR(x,y)
则称隶属度 μ R ( x , y ) \mu_R(x,y) μR(x,y) ( x , y ) (x,y) (x,y) 关于模糊关系 R R R 的相关程度。

​ 这是二元模糊关系的数学定义,多元模糊关系也可以类似定义。

​ 模糊关系即为“模糊的关系”,因此乘积空间上的一个子集刻画了论域 U , V U,V U,V 的一种模糊的关系,例如, U U U 为某财经院校学生高考成绩的集合, V V V 为某985院校学生高考成绩的集合,由此“该财经院校学生高考成绩远低于该985院校学生高考成绩”是从 U U U V V V 的一种模糊关系(因为“远低于”概念模糊无法确定),其隶属函数可以表示为:
μ R ( u , v ) = { 0 , u ⩾ v 1 1 + 100 ( u − v ) 2 , u < v \mu_R(u,v)=\begin{cases} 0,u\geqslant v\\ \frac{1}{1+\frac{100}{(u-v)^2}}, u<v\end{cases} μR(u,v)={0uv1+(uv)21001u<v
U ⩾ V U\geqslant V UV 时,肯定不会是“远低于”,故隶属度为0;当 U < V U<V U<V 时,可用从0到1的曲线来刻画模糊关系”远低于“的程度。

​ 当 U , V U,V U,V 中的元素有限,任意 x i ∈ U , y j ∈ V , i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n x_i\in U,y_j\in V, i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n xiU,yjV,i=1,2,,m;j=1,2,,n ,记 μ R ( x i , y j ) = r i j ∈ [ 0 , 1 ] \mu_R(x_i,y_j)=r_{ij} \in [0,1] μR(xi,yj)=rij[0,1],于是 R = ( r i j ) m × n R=(r_{ij})_{m\times n} R=(rij)m×n 就是所谓的模糊矩阵,即用矩阵表示了二集合之间的模糊关系(没有具体的隶属函数表达式)。下面给出一般的定义:

​ 定义:设矩阵 R = ( r i j ) m × n R=(r_{ij})_{m\times n} R=(rij)m×n ,且 r i j ∈ [ 0 , 1 ] , i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n r_{ij} \in [0,1],i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n rij[0,1],i=1,2,,m;j=1,2,,n ,则称 R R R 为模糊矩阵。

​ 特别地,如果 r i j ∈ { 0 , 1 } r_{ij} \in \{0,1\} rij{0,1} ,则称 R R R 为布尔(Bool)矩阵,当模糊方阵 R = ( r i j ) n × n R=(r_{ij})_{n\times n} R=(rij)n×n 的对角线上的元素 r i j r_{ij} rij 都为1时,则称 R R R 为模糊自反矩阵。

​ 当 m = 1 m=1 m=1 或者 n = 1 n=1 n=1 时,相应的模糊矩阵分别成为模糊行向量和模糊列向量。

二、模糊矩阵的运算及其性质

1.模糊矩阵的运算及其性质

​ 设 A = ( a i j ) m × n , B = ( b i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n,B=(bij)m×n 都是模糊矩阵,定义:

​ (1)相等:
A = B ⇔ a i j = b i j A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij} A=Baij=bij
​ (2)包含:

A ≤ B ⇔ a i j ≤ b i j A\leq B\Leftrightarrow a_{ij}\leq b_{ij} ABaijbij
​ (3)并:
A ∪ B = ( a i j ∨ b i j ) m × n A\cup B=(a_{ij}\vee b_{ij})_{m\times n} AB=(aijbij)m×n
​ (4)交:
A ∩ B = ( a i j ∧ b i j ) m × n A\cap B=(a_{ij}\wedge b_{ij})_{m\times n}\\ AB=(aijbij)m×n
​ (5)余:
A C = ( 1 − a i j ) m × n A^C=(1-a_{ij})_{m\times n} AC=(1aij)m×n
例:设 A = ( 1 0.1 0.3 0.5 ) , B = ( 0.7 0 0.4 0.9 ) A=\left(\begin{matrix} 1&0.1\\0.3&0.5\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.4&0.9\end{matrix}\right) A=(10.30.10.5),B=(0.70.400.9),则
A ∪ B = ( 1 0.1 0.4 0.9 ) , A ∩ B = ( 0.7 0 0.3 0.5 ) , A C = ( 0 0.9 0.7 0.5 ) A\cup B=\left(\begin{matrix} 1&0.1\\0.4&0.9\end{matrix}\right),A\cap B=\left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.3&0.5\end{matrix}\right),A^C=\left(\begin{matrix} 0&0.9\\0.7&0.5\end{matrix}\right) AB=(10.40.10.9),AB=(0.70.300.5),AC=(00.70.90.5)

2.模糊矩阵的合成

​ 设 A = ( a i j ) m × s , B = ( b i j ) s × n A=(a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n} A=(aij)m×s,B=(bij)s×n 都是模糊矩阵,定义:
A ∘ B = ( c i j ) m × n A\circ B=(c_{ij})_{m\times n} AB=(cij)m×n
A A A B B B 的合成,其中
c i j = max ⁡ { ( a i k ∧ b k j ) ∣ 1 ≤ k ≤ s } c_{ij}=\max\{(a_{ik}\wedge b_{kj})|1\leq k\leq s\} cij=max{(aikbkj)∣1ks}
紧接着可以定义模糊方阵的幂:
A 2 = A ∘ A , A k = A k − 1 ∘ A A^2=A\circ A,A^k=A^{k-1}\circ A A2=AA,Ak=Ak1A
例:设 A = ( 0.4 0.7 0 1 0.8 0.5 ) , B = ( 1 0.7 0.4 0.6 0 0.3 ) A=\left(\begin{matrix}0.4&0.7&0\\1&0.8&0.5\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix}1&0.7\\0.4&0.6\\0&0.3\end{matrix}\right) A=(0.410.70.800.5),B= 10.400.70.60.3 ,则
A ∘ B = ( 0.4 0.6 1 0.7 ) , B ∘ A = ( 0.7 0.7 0.5 0.6 0.6 0.5 0.3 0.3 0.3 ) A\circ B=\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&0.7\end{matrix}\right),B\circ A=\left(\begin{matrix}0.7&0.7&0.5\\0.6&0.6&0.5\\0.3&0.3&0.3\end{matrix}\right) AB=(0.410.60.7),BA= 0.70.60.30.70.60.30.50.50.3

3.模糊矩阵的转置

​ 模糊矩阵的转置与一般矩阵的转置定义相同。

4.模糊矩阵的 λ − \lambda- λ−截矩阵

​ 设 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n,对任意的 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda \in [0,1] λ[0,1]


a i j ( λ ) = { 1 , a i j ≥ λ 0 , a i j < λ a_{ij}^{(\lambda)}=\begin{cases}1,a_{ij}\geq\lambda\\0,a_{ij}<\lambda\end{cases} aij(λ)={1,aijλ0,aij<λ
则称 A λ = ( a i j ( λ ) ) m × n A_\lambda=(a_{ij}^{(\lambda)})_{m\times n} Aλ=(aij(λ))m×n 为模糊矩阵 A A A λ \lambda λ 截矩阵。


a i j ( λ ) = { 1 , a i j > λ 0 , a i j ≤ λ a_{ij}^{(\lambda)}=\begin{cases}1,a_{ij}>\lambda\\0,a_{ij}\leq\lambda\end{cases} aij(λ)={1,aij>λ0,aijλ
则称 A λ ⋅ = ( a i j ( λ ) ) m × n A_{\lambda_\cdot}=(a_{ij}^{(\lambda)})_{m\times n} Aλ=(aij(λ))m×n 为模糊矩阵 A A A λ \lambda λ 强截矩阵。

​ 显然, λ \lambda λ 截矩阵是布尔矩阵。

例:设 A = ( 1 0.5 0.2 0 0.5 1 0.1 0.3 0.2 0.1 1 0.8 0 0.3 0.8 1 ) A=\left(\begin{matrix}1&0.5&0.2&0\\0.5&1&0.1&0.3\\0.2&0.1&1&0.8\\0&0.3&0.8&1\end{matrix}\right) A= 10.50.200.510.10.30.20.110.800.30.81 ,则
A 0.5 = ( 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 ) , A 0.3 = ( 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 ) A_{0.5}=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{matrix}\right),A_{0.3}=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\1&1&0&1\\0&0&1&1\\0&1&1&1\end{matrix}\right) A0.5= 1100110000110011 ,A0.3= 1100110100110111 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-405214.html

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