一、基本概念
先来看一下模糊关系的定义:
定义:设论域 U , V U,V U,V ,乘积空间上 U × V = { ( u , v ) ∣ u ∈ U , v ∈ V } U\times V=\{(u,v)|u\in U,v\in V\} U×V={(u,v)∣u∈U,v∈V} 上的一个模糊子集 R R R 为从集合 U U U 到集合 V V V 的模糊关系。如果模糊关系 R R R 的隶属函数为
μ R : U × V → [ 0 , 1 ] , ( x , y ) ↦ μ R ( x , y ) \mu_R: U\times V\rightarrow [0,1],(x,y)\mapsto\mu_R(x,y) μR:U×V→[0,1],(x,y)↦μR(x,y)
则称隶属度 μ R ( x , y ) \mu_R(x,y) μR(x,y) 为 ( x , y ) (x,y) (x,y) 关于模糊关系 R R R 的相关程度。 这是二元模糊关系的数学定义,多元模糊关系也可以类似定义。
模糊关系即为“模糊的关系”,因此乘积空间上的一个子集刻画了论域
U
,
V
U,V
U,V 的一种模糊的关系,例如,
U
U
U 为某财经院校学生高考成绩的集合,
V
V
V 为某985院校学生高考成绩的集合,由此“该财经院校学生高考成绩远低于该985院校学生高考成绩”是从
U
U
U 到
V
V
V 的一种模糊关系(因为“远低于”概念模糊无法确定),其隶属函数可以表示为:
μ
R
(
u
,
v
)
=
{
0
,
u
⩾
v
1
1
+
100
(
u
−
v
)
2
,
u
<
v
\mu_R(u,v)=\begin{cases} 0,u\geqslant v\\ \frac{1}{1+\frac{100}{(u-v)^2}}, u<v\end{cases}
μR(u,v)={0,u⩾v1+(u−v)21001,u<v
当
U
⩾
V
U\geqslant V
U⩾V 时,肯定不会是“远低于”,故隶属度为0;当
U
<
V
U<V
U<V 时,可用从0到1的曲线来刻画模糊关系”远低于“的程度。
当 U , V U,V U,V 中的元素有限,任意 x i ∈ U , y j ∈ V , i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n x_i\in U,y_j\in V, i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n xi∈U,yj∈V,i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n ,记 μ R ( x i , y j ) = r i j ∈ [ 0 , 1 ] \mu_R(x_i,y_j)=r_{ij} \in [0,1] μR(xi,yj)=rij∈[0,1],于是 R = ( r i j ) m × n R=(r_{ij})_{m\times n} R=(rij)m×n 就是所谓的模糊矩阵,即用矩阵表示了二集合之间的模糊关系(没有具体的隶属函数表达式)。下面给出一般的定义:
定义:设矩阵 R = ( r i j ) m × n R=(r_{ij})_{m\times n} R=(rij)m×n ,且 r i j ∈ [ 0 , 1 ] , i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n r_{ij} \in [0,1],i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n rij∈[0,1],i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n ,则称 R R R 为模糊矩阵。
特别地,如果 r i j ∈ { 0 , 1 } r_{ij} \in \{0,1\} rij∈{0,1} ,则称 R R R 为布尔(Bool)矩阵,当模糊方阵 R = ( r i j ) n × n R=(r_{ij})_{n\times n} R=(rij)n×n 的对角线上的元素 r i j r_{ij} rij 都为1时,则称 R R R 为模糊自反矩阵。
当 m = 1 m=1 m=1 或者 n = 1 n=1 n=1 时,相应的模糊矩阵分别成为模糊行向量和模糊列向量。
二、模糊矩阵的运算及其性质
1.模糊矩阵的运算及其性质
设 A = ( a i j ) m × n , B = ( b i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n,B=(bij)m×n 都是模糊矩阵,定义:
(1)相等:
A
=
B
⇔
a
i
j
=
b
i
j
A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}
A=B⇔aij=bij
(2)包含:
A
≤
B
⇔
a
i
j
≤
b
i
j
A\leq B\Leftrightarrow a_{ij}\leq b_{ij}
A≤B⇔aij≤bij
(3)并:
A
∪
B
=
(
a
i
j
∨
b
i
j
)
m
×
n
A\cup B=(a_{ij}\vee b_{ij})_{m\times n}
A∪B=(aij∨bij)m×n
(4)交:
A
∩
B
=
(
a
i
j
∧
b
i
j
)
m
×
n
A\cap B=(a_{ij}\wedge b_{ij})_{m\times n}\\
A∩B=(aij∧bij)m×n
(5)余:
A
C
=
(
1
−
a
i
j
)
m
×
n
A^C=(1-a_{ij})_{m\times n}
AC=(1−aij)m×n
例:设
A
=
(
1
0.1
0.3
0.5
)
,
B
=
(
0.7
0
0.4
0.9
)
A=\left(\begin{matrix} 1&0.1\\0.3&0.5\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.4&0.9\end{matrix}\right)
A=(10.30.10.5),B=(0.70.400.9),则
A
∪
B
=
(
1
0.1
0.4
0.9
)
,
A
∩
B
=
(
0.7
0
0.3
0.5
)
,
A
C
=
(
0
0.9
0.7
0.5
)
A\cup B=\left(\begin{matrix} 1&0.1\\0.4&0.9\end{matrix}\right),A\cap B=\left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.3&0.5\end{matrix}\right),A^C=\left(\begin{matrix} 0&0.9\\0.7&0.5\end{matrix}\right)
A∪B=(10.40.10.9),A∩B=(0.70.300.5),AC=(00.70.90.5)
2.模糊矩阵的合成
设
A
=
(
a
i
j
)
m
×
s
,
B
=
(
b
i
j
)
s
×
n
A=(a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n}
A=(aij)m×s,B=(bij)s×n 都是模糊矩阵,定义:
A
∘
B
=
(
c
i
j
)
m
×
n
A\circ B=(c_{ij})_{m\times n}
A∘B=(cij)m×n
为
A
A
A 与
B
B
B 的合成,其中
c
i
j
=
max
{
(
a
i
k
∧
b
k
j
)
∣
1
≤
k
≤
s
}
c_{ij}=\max\{(a_{ik}\wedge b_{kj})|1\leq k\leq s\}
cij=max{(aik∧bkj)∣1≤k≤s}
紧接着可以定义模糊方阵的幂:
A
2
=
A
∘
A
,
A
k
=
A
k
−
1
∘
A
A^2=A\circ A,A^k=A^{k-1}\circ A
A2=A∘A,Ak=Ak−1∘A
例:设
A
=
(
0.4
0.7
0
1
0.8
0.5
)
,
B
=
(
1
0.7
0.4
0.6
0
0.3
)
A=\left(\begin{matrix}0.4&0.7&0\\1&0.8&0.5\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix}1&0.7\\0.4&0.6\\0&0.3\end{matrix}\right)
A=(0.410.70.800.5),B=⎝
⎛10.400.70.60.3⎠
⎞,则
A
∘
B
=
(
0.4
0.6
1
0.7
)
,
B
∘
A
=
(
0.7
0.7
0.5
0.6
0.6
0.5
0.3
0.3
0.3
)
A\circ B=\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&0.7\end{matrix}\right),B\circ A=\left(\begin{matrix}0.7&0.7&0.5\\0.6&0.6&0.5\\0.3&0.3&0.3\end{matrix}\right)
A∘B=(0.410.60.7),B∘A=⎝
⎛0.70.60.30.70.60.30.50.50.3⎠
⎞
3.模糊矩阵的转置
模糊矩阵的转置与一般矩阵的转置定义相同。
4.模糊矩阵的 λ − \lambda- λ−截矩阵
设 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n,对任意的 λ ∈ [ 0 , 1 ] \lambda \in [0,1] λ∈[0,1],
令
a
i
j
(
λ
)
=
{
1
,
a
i
j
≥
λ
0
,
a
i
j
<
λ
a_{ij}^{(\lambda)}=\begin{cases}1,a_{ij}\geq\lambda\\0,a_{ij}<\lambda\end{cases}
aij(λ)={1,aij≥λ0,aij<λ
则称
A
λ
=
(
a
i
j
(
λ
)
)
m
×
n
A_\lambda=(a_{ij}^{(\lambda)})_{m\times n}
Aλ=(aij(λ))m×n 为模糊矩阵
A
A
A 的
λ
\lambda
λ 截矩阵。
令
a
i
j
(
λ
)
=
{
1
,
a
i
j
>
λ
0
,
a
i
j
≤
λ
a_{ij}^{(\lambda)}=\begin{cases}1,a_{ij}>\lambda\\0,a_{ij}\leq\lambda\end{cases}
aij(λ)={1,aij>λ0,aij≤λ
则称
A
λ
⋅
=
(
a
i
j
(
λ
)
)
m
×
n
A_{\lambda_\cdot}=(a_{ij}^{(\lambda)})_{m\times n}
Aλ⋅=(aij(λ))m×n 为模糊矩阵
A
A
A 的
λ
\lambda
λ 强截矩阵。
显然, λ \lambda λ 截矩阵是布尔矩阵。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-405214.html
例:设
A
=
(
1
0.5
0.2
0
0.5
1
0.1
0.3
0.2
0.1
1
0.8
0
0.3
0.8
1
)
A=\left(\begin{matrix}1&0.5&0.2&0\\0.5&1&0.1&0.3\\0.2&0.1&1&0.8\\0&0.3&0.8&1\end{matrix}\right)
A=⎝
⎛10.50.200.510.10.30.20.110.800.30.81⎠
⎞,则
A
0.5
=
(
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
)
,
A
0.3
=
(
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
)
A_{0.5}=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{matrix}\right),A_{0.3}=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\1&1&0&1\\0&0&1&1\\0&1&1&1\end{matrix}\right)
A0.5=⎝
⎛1100110000110011⎠
⎞,A0.3=⎝
⎛1100110100110111⎠
⎞文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-405214.html
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