快速求三阶矩阵的逆矩阵
前言
一般情况下，我们求解伴随矩阵是要注意符号问题和位置问题的（如下所示）
A
−
1
=
1
[
]
[
−
[
]
−
[
]
−
[
]
−
[
]
]
=
A
−
1
=
1
[
]
[
M
11
−
[
M
12
]
M
13
−
[
M
21
]
M
22
−
[
M
23
]
M
31
−
[
M
32
]
M
33
]
⊤
\begin{aligned} & A^{-1}=\frac{1}{[\ \ ]} \left[\begin{array}{cccccc} & -[\ \ ] & \\ -[\ \ ] & & -[\ \ ]\ \ \\ & -[\ \ ] & \\ \end{array}\right]= \\ \\ & A^{-1}=\frac{1}{[\ \ ]} \left[\begin{array}{cccccc} \ \ \ M_{11} & -[M_{12}] & \ \ \ M_{13}\\ -[M_{21}] & \ \ \ M_{22} & -[M_{23}]\ \ \\ \ \ \ M_{31} & -[M_{32}] & \ \ \ M_{33}\\ \end{array}\right]^\top\\ \end{aligned}
A−1=[ ]1⎣⎡−[ ]−[ ]−[ ]−[ ] ⎦⎤=A−1=[ ]1⎣⎡ M11−[M21] M31−[M12] M22−[M32] M13−[M23] M33⎦⎤⊤
我们根据位置安排(行调换)的策略可以避免符号问题，将问题进行化简。
例题一
求矩阵
D
D
D 的逆矩阵
D
=
[
2
1
1
1
2
1
2
3
1
]
D=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]
D=⎣⎡212123111⎦⎤
我们把第一二列抄写到矩阵后面
D
1
=
[
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
3
1
2
3
]
D_1=\left[\begin{array}{lll|ll} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]
D1=⎣⎡212123111212123⎦⎤
然后把第一二行抄写到矩阵下面（新矩阵
D
1
D_1
D1 的第一二行），
这样我们就得到了一个五阶矩阵：
D
2
=
[
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
3
1
2
3
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
]
=
[
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
3
1
2
3
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
]
D_2=\left[\begin{array}{lll|ll} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \textcolor{cornflowerblue}{2} & \textcolor{cornflowerblue}{1} & \textcolor{cornflowerblue}{1} & \textcolor{cornflowerblue}{2} & \textcolor{cornflowerblue}{1} \\ \textcolor{cornflowerblue}{1} & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \textcolor{cornflowerblue}{2} & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \textcolor{cornflowerblue}{2} & 1 & 1 & 2 & 1 \\ \textcolor{cornflowerblue}{1} & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]
D2=⎣⎢⎢⎢⎢⎡2122112312111112122112312⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡2122112312111112122112312⎦⎥⎥⎥⎥⎤
然后我们把第一行和第一列删除（新矩阵
D
2
D_2
D2 的第一行和第一列，将标蓝的元素删除）
D
3
=
[
2
1
1
2
3
1
2
3
1
1
2
1
2
1
1
2
]
D_3=\left[\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]
D3=⎣⎢⎢⎡2312111112212312⎦⎥⎥⎤
然后我们算出矩阵分块组成的九个二阶行列式：
然后我们将求出的九个行列式结果填充到伴随矩阵的框架里，记得加上转置符号
[
−
1
1
−
1
2
0
−
4
−
1
−
1
2
]
⊤
=
[
−
1
2
−
1
1
0
−
1
−
1
−
4
2
]
\left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 1 & -1 \\ \ \ \ 2 &\ \ \ 0 & -4 \\ -1 & -1 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]^\top= \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 1 &\ \ \ 0 & -1 \\ -1 & -4 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]
⎣⎡−1 2−1 1 0−1−1−4 2⎦⎤⊤=⎣⎡−1 1−1 2 0−4−1−1 2⎦⎤
这样我们就得到了伴随矩阵，然后计算矩阵对应的行列式
∣
D
∣
=
−
2
|D|=-2
∣D∣=−2，
最后根据公式
A
−
1
=
1
∣
A
∣
A
∗
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
A−1=∣A∣1A∗，求出逆矩阵
D
−
1
D^{-1}
D−1
D
−
1
=
1
∣
D
∣
D
∗
=
1
−
2
[
−
1
2
−
1
1
0
−
1
−
1
−
4
2
]
=
[
1
2
−
1
1
2
−
1
2
0
1
2
1
2
2
−
1
]
D^{-1}=\frac{1}{|D|}D^*=\frac{\ \ \ 1}{-2} \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 1 &\ \ \ 0 & -1 \\ -1 & -4 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \ \ \ \frac{1}{2} &-1 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} &\ \ \ 0 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ \ \ \ \frac{1}{2} &\ \ \ 2 & -1 \\ \end{array}\right]
D−1=∣D∣1D∗=−2 1⎣⎡−1 1−1 2 0−4−1−1 2⎦⎤=⎣⎡ 21−21 21−1 0 2 21 21−1⎦⎤文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-406350.html
例题二
求矩阵
A
A
A 的逆矩阵
A
=
[
1
1
1
4
2
1
9
3
1
]
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right]
A=⎣⎡149123111⎦⎤
抄写后对应的五阶矩阵为：
A
1
=
[
1
1
1
1
1
4
2
1
4
2
9
3
1
9
3
1
1
1
1
1
4
2
1
4
2
]
A_1=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 4 & 2 & 1 &4 & 2\\ 9 & 3 & 1 &9 & 3\\ 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 4 & 2 & 1 &4 & 2 \end{array}\right]
A1=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1491412312111111491412312⎦⎥⎥⎥⎥⎤
删除后得到的四阶矩阵为：
A
2
=
[
2
1
4
2
3
1
9
3
1
1
1
1
2
1
4
2
]
A_2=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 &4 & 2\\ 3 & 1 &9 & 3\\ 1 & 1 &1 & 1\\ 2 & 1 &4 & 2 \end{array}\right]
A2=⎣⎢⎢⎡2312111149142312⎦⎥⎥⎤
那么对应的伴随矩阵为：
A
∗
=
[
−
1
5
−
6
2
−
8
6
−
1
3
−
2
]
⊤
=
[
−
1
2
−
1
5
−
8
3
−
6
6
−
2
]
A^*=\left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 5 & -6 \\ \ \ \ 2 & -8 & \ \ \ 6 \\ -1 & \ \ \ 3 & -2 \\ \end{array}\right]^\top= \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 5 & -8 & \ \ \ 3 \\ -6& \ \ \ 6 & -2 \\ \end{array}\right]
A∗=⎣⎡−1 2−1 5−8 3−6 6−2⎦⎤⊤=⎣⎡−1 5−6 2−8 6−1 3−2⎦⎤
矩阵对应的行列式为
∣
A
∣
=
−
2
|A|=-2
∣A∣=−2，根据公式计算得到逆矩阵：
A
−
1
=
1
∣
A
∣
A
∗
=
1
−
2
[
−
1
2
−
1
5
−
8
3
−
6
6
−
2
]
=
[
1
2
−
1
1
2
−
5
2
4
−
3
2
3
−
3
1
2
]
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{\ \ \ 1}{-2} \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 5 & -8 & \ \ \ 3 \\ -6& \ \ \ 6 & -2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \ \ \ \frac{1}{2} &-1 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{2} &\ \ \ 4 & -\frac{3}{2} \\ \ \ \ 3 & -3 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ \end{array}\right]
A−1=∣A∣1A∗=−2 1⎣⎡−1 5−6 2−8 6−1 3−2⎦⎤=⎣⎡ 21−25 3−1 4−3 21−23 21⎦⎤文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-406350.html
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