PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、计算图

计算图,是一种用来描述计算的有向无环图。

我们假设一个计算过程,其中 X 1 \mathbf{X_1} X1 W 1 \mathbf{W_1} W1 W 2 \mathbf{W_2} W2 Y \mathbf{Y} Y都是 N N N维向量。
X 2 = W 1 X 1 \mathbf{X_2} = \mathbf{W_1}\mathbf{X_1} X2=W1X1
y = W 2 X 2 \mathbf{y} = \mathbf{W_2}\mathbf{X_2} y=W2X2
L = ∑ i = 1 N ( Y i − y i ) 2 L = \sum_{i=1}^N(Y_i - y_i)^2 L=i=1N(Yiyi)2
上述过程,用计算图表现出来,就是下图。

PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

从这张图中可以看出, X 1 \mathbf{X_1} X1 W 1 \mathbf{W_1} W1 W 2 \mathbf{W_2} W2 Y \mathbf{Y} Y是直接创建的,它们是叶子节点, X 2 \mathbf{X_2} X2 y \mathbf{y} y L L L是经过计算得到的,它们不是叶子节点。

计算导数。
PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

如果我们想跨越若干层计算导数,如计算 ∂ L ∂ X 1 \frac{\partial L}{\partial \mathbf{X_1}} X1L的值,则需要根据求导的链式法则,一层一层的计算下去。
∂ L ∂ X 1 = ∂ L ∂ y ∂ y ∂ X 2 ∂ X 2 ∂ X 1 \frac{\partial L}{\partial \mathbf{X_1}}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{y}}\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{X_2}}\frac{\partial \mathbf{X_2}}{\partial \mathbf{X_1}} X1L=yLX2yX1X2
∂ L ∂ W 1 = ∂ L ∂ y ∂ y ∂ X 2 ∂ X 2 ∂ W 1 \frac{\partial L}{\partial \mathbf{W_1}}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{y}}\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{X_2}}\frac{\partial \mathbf{X_2}}{\partial \mathbf{W_1}} W1L=yLX2yW1X2
∂ L ∂ W 2 = ∂ L ∂ y ∂ y ∂ W 2 \frac{\partial L}{\partial \mathbf{W_2}}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{y}}\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{W_2}} W2L=yLW2y

二、backward()函数

PyTorch提供了autograd包来自动根据输入和前向传播构建计算图,其中,backward函数可以很轻松的计算出梯度。

Tensor在pytorch中用来表示张量,上例中的 X 1 \mathbf{X_1} X1 W 1 \mathbf{W_1} W1 W 2 \mathbf{W_2} W2都是张量,且均为直接被我们创建的。如果我们想使用autograd包让它们参与梯度计算,则需要在创建它们的时候,将.requires_grad属性指定为true。

注意,在pytorch中,只有浮点类型的数才有梯度,因此在定义张量时一定要将类型指定为float型。

x1 = torch.tensor([2, 3, 4, 5], dtype=torch.float, requires_grad=True)
print(x1)

输出为
PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

当然对于没有指定.requires_grad属性的向量,也可以在后续进行指定,或者使用requires_grad_函数进行指定。

w1 = torch.ones(4)
w1.requires_grad = True
print(w1)

w2 = torch.Tensor([1, 2, 3, 4])
w2.requires_grad_(True)
print(w2)

输出为
PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

接下来进行运算操作。

x2 = x1 * w1
print(x2)

输出为
PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()
在这个运算中,pytorch会构建一个动态地创建一个计算图,即动态计算图(Dynamic Computation Graph, DCG),计算图中的每一个节点,都会封装若干个属性。下图为 X 2 = X 1 W 1 \mathbf{X_2} = \mathbf{X_1}\mathbf{W_1} X2=X1W1这一计算的计算图。
PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

解释一下各属性的含义。

  1. data:存储的Tensor的值。
  2. requires_grad:该节点是否参与反向传播图的计算,如果为True,则参与计算;如果为False则不参与。
  3. grad:存储梯度值。requires_grad为False时,该属性为None;requires_grad为True且在调用过其他节点的backward后,grad保存对这个节点的梯度值,否则为None。
  4. grad_fn:表示用于计算梯度的函数,即创建该Tensor的Function。如果该Tensor不是通过计算得到的,则grad_fn为None;如果是通过计算得到的,则返回该运算相关的对象。
    举个例子,a为直接创建的Tensor,b和c由计算得到,则a、b、c的grad_fn如下所示。
a = torch.ones(2, 2, requires_grad=True)
print(a.grad_fn)
b = a + 2
print(b.grad_fn)
c = b * b * 3
print(c.grad_fn)

输出为
PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

  1. is_leaf:用True和False表示是否为叶子节点。

然后继续计算直到得到 L L L。这个过程是正向传播的过程,会继续动态的生成计算图。

y = x2 * w2
Y = torch.ones(2, 2, requires_grad=True)
L = (Y - y).mean()

在本例中,如果我们想求 ∂ L ∂ X 1 \frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{X_1}} X1L,则需要首先使用backward()函数对 L L L做反向传播。backward()实际上是通过DCG图从根张量追溯到每一个叶子节点,然后计算将计算出的梯度存入每个叶子节点的.grad属性中。由于 L L L是一个标量,因此backward()函数中不需要传入任何参数。代码如下

L.backward()

这一步后 L L L针对每一个变量的梯度都会被求出,并存放在对应节点的.grad属性中。如果我们想要 ∂ L ∂ X 1 \frac{\partial L}{\partial X_1} X1L,只需要读取x1.grad即可。

print(x1.grad)

三、backward()函数的参数grad_tensor

上面的例子中,作为输出的 L L L是一个标量,即神经网络只有一个输出,backward不需要传入参数。但如果输出是一个向量,计算梯度需要传入参数。例如

x = torch.tensor([0.0, 2.0, 8.0], requires_grad=True)
y = torch.tensor([5.0, 1.0, 7.0], requires_grad=True)
z = x * y
print(z)

结果如下。可以看出z也是一个张量。
PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

如果想求z对x或y的梯度,则需要将一个外部梯度传递给z.backward()函数。这个额外被传入的张量就是grad_tensor。

z.backward(torch.FloatTensor([1.0, 1.0, 1.0]))

为什么要传入这个张量呢?传入这个参数,本质上是将向量对向量求梯度,通过加权求和的方式,转换成标量对向量求梯度。在数学上,向量对向量求导的结果是雅可比矩阵(Jacobian Matrix)。

PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()

如果我们再引入与向量 y \mathbf{y} y同型的向量 v {\mathbf{v}} v,标量损失用 l l l表示,则令

v = [ ∂ l ∂ y 1 . . . ∂ l ∂ y m ] = ∂ l ∂ y {\mathbf{v}}= \left[ \frac{\partial l}{\partial y_1} \quad ... \quad \frac{\partial l}{\partial y_m} \right] = \frac{\partial l}{\partial {\mathbf{y}}} v=[y1l...yml]=yl

这样反过来
l = y v T = ∑ i = 1 m v i y i l = \mathbf{y} \mathbf{v}^\text{T}=\sum_{i=1}^mv_iy_i l=yvT=i=1mviyi
所以说 l l l是向量 y \mathbf{y} y的加权和。

向backward()函数中传入的grad_tensor实际上就是向量 v {\mathbf{v}} v,求的梯度实际上就是

∂ l ∂ x = ∂ l ∂ y ∂ y ∂ x = v J {\frac{\partial l}{\partial {\mathbf{x}}}} =\frac{\partial l}{\partial {\mathbf{y}}} \frac{\partial {\mathbf{y}}}{\partial {\mathbf{x}}}=\mathbf{v}\mathbf{J} xl=ylxy=vJ
从线性代数的角度上解释,也可以理解为 ∂ l ∂ x \frac{\partial l}{\partial {\mathbf{x}}} xl就是 ∂ y ∂ x {\frac{\partial {\mathbf{y}}}{\partial {\mathbf{x}}}} xy在向量 v {\mathbf{v}} v上的投影。参考

backward不传入参数时,默认为传入backward(torch.tensor(1.0))。

另外,.grad属性在反向传播过程中是累加的,每一次反向传播梯度都会累加之前的梯度。因此每次重新计算梯度前都要将梯度清零。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-407335.html

x.grad.data.zero_()

到了这里,关于PyTorch:梯度计算之反向传播函数backward()的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 神经网络中,前向传播、反向传播、梯度下降和参数更新是怎么完成的

    神经网络中,前向传播、反向传播、梯度下降和参数更新是怎么完成的 在神经网络的训练过程中,前向传播、反向传播、梯度下降和参数更新是按照以下顺序完成的: 前向传播(Forward Propagation): 在前向传播阶段,输入样本通过神经网络的各个层,从输入层到输出层逐步进

    2024年02月16日
    浏览(42)
  • 【初学人工智能原理】【4】梯度下降和反向传播:能改(下)

    本文教程均来自b站【小白也能听懂的人工智能原理】,感兴趣的可自行到b站观看。 本文【原文】章节来自课程的对白,由于缺少图片可能无法理解,故放到了最后,建议直接看代码(代码放到了前面)。 在引入b后绘制代价函数界面,看看到底是不是一个碗 在w和b两个方向

    2024年02月05日
    浏览(41)
  • 【初学人工智能原理】【3】梯度下降和反向传播:能改(上)

    本文教程均来自b站【小白也能听懂的人工智能原理】,感兴趣的可自行到b站观看。 本文【原文】章节来自课程的对白,由于缺少图片可能无法理解,故放到了最后,建议直接看代码(代码放到了前面)。 dataset.py 事实上三种方法的效果图是差不多的,所以只放出两张图 上一

    2024年02月06日
    浏览(34)
  • 【人工智能】— 神经网络、前向传播、反向传播、梯度下降、局部最小值、多层前馈网络、缓解过拟合的策略

    前向传播和反向传播 都是神经网络训练中常用的重要算法。 前向传播 是指将输入数据从输入层开始经过一系列的权重矩阵和激活函数的计算后,最终得到输出结果的过程。在前向传播中,神经网络会将每一层的输出作为下一层的输入,直到输出层得到最终的结果。 反向传播

    2024年02月10日
    浏览(49)
  • 【人工智能】神经网络、前向传播、反向传播、梯度下降、局部最小值、多层前馈网络、缓解过拟合的策略

    前向传播 是指将输入数据从输入层开始经过一系列的权重矩阵和激活函数的计算后,最终得到输出结果的过程。在前向传播中,神经网络会将每一层的输出作为下一层的输入,直到输出层得到最终的结果。 反向传播 是指在神经网络训练过程中,通过计算损失函数的梯度,将

    2024年02月16日
    浏览(43)
  • PyTorch中特殊函数梯度的计算

    普通函数 对于简单的多元函数,对自变量求梯度很容易,例如: f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=x^2+y^2 f ( x , y ) = x 2 + y 2 则有: { ∇ x f ( x , y ) = 2 x ∇ y f ( x , y ) = 2 y left{ begin{aligned} nabla_xf(x,y)=2x\\\\ nabla_yf(x,y)=2y end{aligned} right . { ∇ x ​ f ( x , y ) ∇ y ​ f ( x , y ) ​ = 2 x = 2 y ​ 特

    2024年02月09日
    浏览(36)
  • pytorch(三)反向传播

    前馈过程的目的是为了计算损失loss 反向传播的目的是为了更新权重w,这里权重的更新是使用随机梯度下降来更新的。 前馈过程 反馈过程 运行结果 在神经网路中,经常对线性的结果做一个非线性函数的变幻的展开,这就是激活函数。激活函数可以使得模型具有非线性。激活

    2024年01月24日
    浏览(35)
  • pytorch 前向传播与反向传播代码+ fp16

    optim.zero_grad() : 将模型的梯度参数设置为0,即清空之前计算的梯度值,在训练模型过程中,每次模型反向传播完成后,梯度都会累加到之前的梯度值上,如果不清空,这些过时的梯度将会影响下一次迭代的结果。因此,使用 optim.zero_grad() 来清空梯度避免这种情况的发生。保证

    2024年02月05日
    浏览(41)
  • Pytorch深度学习笔记(五)反向传播算法

    目录 1.为什么要使用反向传播算法 2.二层神经网络 3.反向传播算法更新权值的过程 4.张量Tensor 推荐课程:04.反向传播_哔哩哔哩_bilibili 1.为什么要使用反向传播算法 简单模型可以使用解析式更新w 复杂模型,如图,输入矩阵为5*1矩阵,等一层权重矩阵H1为6*5矩阵,则需要30个解

    2023年04月22日
    浏览(35)
  • 《动手学深度学习 Pytorch版》 8.7 通过时间反向传播

    本节主要探讨梯度相关问题,因此对模型及其表达式进行了简化,进行如下表示: h t = f ( x t , h t − 1 , w h ) o t = g ( h t , w o ) begin{align} h_t=f(x_t,h_{t-1},w_h)\\\\ o_t=g(h_t,w_o) end{align} h t ​ o t ​ ​ = f ( x t ​ , h t − 1 ​ , w h ​ ) = g ( h t ​ , w o ​ ) ​ ​ 参数字典: t t t 表示时间步

    2024年02月07日
    浏览(41)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包