离散数学图论在普通电路分析中的应用-Toy模板网

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其实离散数学在电路中也是能有所应用的。就像图可以运用在对电路的分析中。例如对于任意正确连接的电路图，由于电流具有方向性，可以把电路图看做是一个有向的连通图；忽略电流的方向，该无向连通图至少可以找到一条初级回路。若关注电流的流动，运用在电路中的节点电流定律又可以用图论中有向图的出度和入度的知识来理解。例如下图题目1-3所示电路，对于电路图中的A节点，运用节点电流分析法可知，在任一时刻，对电路中的任一节点，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。这就与图论中的出度与入度十分相似。以A节点作为图的一个顶点，流入该点的电流大小是这个顶点的入度，流出该点的电流大小是这个顶点的出度，很容易验证该顶点的出度就等于其入度。这样类比到其他的电路中也能成立。

离散数学图论在普通电路分析中的应用

另外，对于一些线性有源电路，可以运用树的原理作出其电压以及电流的关系树。例如上面图1-49的电路，可以作出如下树结构。从作出的树结构中也能展现出电路的一般特点，也能用于电路的分析。电路中的电源作为其根树v1，其余的v1-v5都是用电器。则v1、v2、v3在电路中可以构成一回路；v1、v2、v4、v5也可以单独构成一回路；v2下的v3、v4、v5也能构成一个回路。v3和v4、v5是并联关系，v4和v5是串联关系。

以电压关系来设置每条边的权。从树根往下到树叶的路径方向定义为电压的正方向，定义每条边的权为用电器从电压源中分得的电压。如图1-49-1中将4Ω的电阻v5设为6Ω电阻v4的直接后代，则v4、v5两点之间的权就定义为后代v5即4Ω电阻所分得的电压。在该分支中，也可以将6Ω的电阻设置为4Ω电阻的直接后代，若对应顶点的表示符号不变，那么v2与v4之间的权变为10.28v，是4Ω电阻分得的电压；v4与v5之间的权变为15.43v，为6Ω电阻分得的电压。从图中还可以发现，任意一条从树根到树叶的路径，其经过的所有边的权之和都等于电源电压的大小（即该图中任意一条从树根到树叶的路径都是电路中的一个回路）。

以电流关系来设置每条边的权。由树根往下到树叶的路径方向定义为电流的正方向，定义每条边的权为电路中流过后代的电流。如图1-49-2中，v1和v2之间的权为流过4Ω电阻v2的电流，该4Ω电阻在干路中，流过的电流即电路中的总电流4A。v2为节点，即电流流过v2对应的4Ω电阻之后开始分岔（分流）。v2和v4之间的权为流过6Ω电阻v4的电流2A。如此往下分析可知，v4和v5之间的权等于流过v5的电流，等于流过v4的电流2A，v4的6Ω电阻和v5的4Ω电阻是串联关系。另外，对于该树中任意一内点，其与所有直接子代连接的边的权之和等于其与直接祖先连接的边的权。例如内点v2,其有两个直接后代，分别是v3和v4，直接祖先为v1，则连接v2、v3的边的权与连接v2、v4的边的权之和就等于连接v2、v1的边的权。

下图2是一个比图1-49稍复杂的电路。R1、R2处在干路中，任何一个回路都会经过R1、R2，故将R1、R2分别设置为电源U₀的“最亲”后代，即R1是U₀的直接后代，R2是R1的直接后代，其余的电阻（用电器）按照不同的回路关系从R2中形成新的内点或树叶。

当一个线性电路比较复杂，例如电路中含有多个电源同时作用时，将无法再作出类似的树。但针对多源同时作用的情况，可以利用线性电路的叠加原理，作出不同源分别作用下的树，这样也能达到目的。例如下图1-62（a）给出的简单示例：

在图1-62（a）-2-1中，v4的R2与v6的R2、v5的R1与v7的R1实际上是相同的一个电阻，将其分别放在R3、R4下是由于他们分别能与R3、R4组成不同的回路。

实际上，含有多源或其他类型的复杂静态电路几乎无法直接画出这样的树，但是根据线性有源电路的共性特点，可以从含多源或复杂的电路中找到该电路图的一个包含所有电源的子电路图，该子电路图必然能用一个电压源与一个电阻相串联或一个电流源与一个电阻相并联的电路来等效替代（电路中的诺顿定理、戴维南定理）。绝大多数复杂的静态电路经过类似这样的等效变换以及其他的化简之后可以变为简单的单一电源的电路，用该化简后的电路就能画出十分简单的树。因为对于电路而言，必然有给该电路输入电压的电压源，也必然有至少一个用电器来获得电压电流进行工作，这就能满足作出类似如上树的条件。下面是一个示例：

离散数学图论在普通电路分析中的应用