Python中范数计算以及numpy矩阵的运算
一、范数
1.1 定义：
范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。
最常见的范数就是p范数。若
x
=
[
x
1
,
x
2
.
.
.
x
n
]
T
x=[x_1,x_2...x_n]^T
x=[x1,x2...xn]T，那么
∥
x
∥
p
=
(
∣
x
1
∣
p
+
∣
x
2
∣
p
+
.
.
.
+
∣
x
n
∣
p
)
1
p
\left \| x \right \|_p=(|x_1|^p+|x_2|^p+...+|x_n|^p)^{\frac{1}{p}}
∥x∥p=(∣x1∣p+∣x2∣p+...+∣xn∣p)p1
当$p=1,2,\infty $时分别是以下集中情况：
∥
x
∥
1
=
∣
x
1
∣
+
∣
x
2
∣
+
.
.
.
+
∣
x
n
∣
∥
x
∥
2
=
(
∣
x
1
∣
2
+
∣
x
2
∣
2
+
.
.
.
+
∣
x
n
∣
2
)
1
2
∥
x
∥
p
=
m
a
x
(
∣
x
1
∣
,
∣
x
2
∣
,
.
.
.
,
∣
x
n
∣
)
\left \| x \right \|_1=|x_1|+|x_2|+...+|x_n|\\ \left \| x \right \|_2=(|x_1|^2+|x_2|^2+...+|x_n|^2)^{\frac{1}{2}}\\ \left \| x \right \|_p=max(|x_1|,|x_2|,...,|x_n|)
∥x∥1=∣x1∣+∣x2∣+...+∣xn∣∥x∥2=(∣x1∣2+∣x2∣2+...+∣xn∣2)21∥x∥p=max(∣x1∣,∣x2∣,...,∣xn∣)
常用的三种范数的范数矩阵：
1范数：列和范数，每一列元素之和的最大值。
2范数：谱范数，矩阵中所有元素平方和开根号。
∞
\infty
∞范数：行和范数，每一行之和的最大值。
二、numpy中范数计算
1）基本语法：
np.linalg.norm(x,ord=None,axis=None) # x代表矩阵，ord代表范数类型
| 参数 | 范数类型 |
|---|---|
| ord=2或None | 二范数 |
| ord=1 | 一范数 |
| ord=np.Inf | 无穷范数 |
2）axis为处理方向：
- axis=1时表示按行向量处理，求多个行向量的范数
- axis=0时表示按列向量处理，求多个列向量的范数。
2.1 实际案例
案例一：对矩阵求范数
import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print("矩阵：",a)
a1=np.linalg.norm(a,ord=1)
print("第一范式：",a1)
a2=np.linalg.norm(a,ord=2)
print("第二范式",a2)
a3=np.linalg.norm(a,ord=np.Inf)
print("无穷范式",a3)
案例二：对矩阵的行向量求范数
import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print("矩阵：",a)
a1=np.linalg.norm(a,ord=1,axis=1)
print("第一范式：",a1)
a2=np.linalg.norm(a,ord=2,axis=1)
print("第二范式",a2)
a3=np.linalg.norm(a,ord=np.Inf,axis=1)
print("无穷范式",a3)
案例三：对矩阵的列向量求范数
import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print("矩阵：",a)
a1=np.linalg.norm(a,ord=1,axis=0)
print("第一范式：",a1)
a2=np.linalg.norm(a,ord=2,axis=0)
print("第二范式",a2)
a3=np.linalg.norm(a,ord=np.Inf,axis=0)
print("无穷范式",a3)
三、numpy矩阵运算
numpy矩阵之间的四则运算，根据两矩阵之间的各个元素一一对应进行。例如：
[
1
2
3
4
5
6
]
+
[
1
2
3
]
=
[
2
4
6
5
7
9
]
\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &4 &6 \\ 5 &7 &9 \end{bmatrix}
[142536]+[123]=[254769]
如果说要进行线性代数中矩阵相乘需要调用包中的.dot方法进行运算。
3.1 numpy矩阵加减
import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b=np.array([2,2,2])
print("两矩阵相加：\n",a+b)
print("两矩阵相减：\n",a-b)
3.2 numpy矩阵乘除
import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b=np.array([2,2,2])
print("两矩阵相除：\n",a/b)
print("两矩阵相乘：\n",a*b)
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-407601.html
3.3 矩阵乘法运算
import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
c=np.array([[2],[2],[2]])
print("矩阵乘法运算\n",np.dot(a,c))
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-407601.html
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