前言
本笔记记录自B站《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师第一课
一、二阶行列式
1. 二阶行列式的定义
有2行2列，4个元素
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
∣
∣a11a21a12a22∣
∣
a
i
j
a_{ij}
aij: i是行标，j是列标
2.二阶行列式的计算
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
∣
∣a11a21a12a22∣
∣=a11a22−a12a21
二、三阶行列式
1.三阶行列式的定义
有3行3列，9个元素
∣
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}
∣
∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣
∣
2.三阶行列式的计算
三阶行列式比二阶行列式计算要麻烦点
1.先画主对角线：
a
11
a
22
a
33
a_{11}a_{22}a_{33}
a11a22a33
2.再画连接
a
23
a
12
a
31
a_{23}a_{12}a_{31}
a23a12a31的线，把连起来的结果和上一个连接起来的结果相加：
a
11
a
22
a
33
+
a
23
a
12
a
31
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{23}a_{12}a_{31}
a11a22a33+a23a12a31
3.再画连接
a
21
a
32
a
13
a_{21}a_{32}a_{13}
a21a32a13的线，把连起来的结果和上一个连接起来的结果相加：
a
11
a
22
a
33
+
a
23
a
12
a
31
+
a
21
a
32
a
13
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{23}a_{12}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}
a11a22a33+a23a12a31+a21a32a13
4.接下来画次对角线，连接
a
13
a
22
a
31
a_{13}a_{22}a_{31}
a13a22a31，这时要用减法
a
11
a
22
a
33
+
a
23
a
12
a
31
+
a
21
a
32
a
13
−
a
13
a
22
a
31
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{23}a_{12}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}
a11a22a33+a23a12a31+a21a32a13−a13a22a31
5.再画线连接
a
21
a
12
a
33
a_{21}a_{12}a_{33}
a21a12a33，继续减法
a
11
a
22
a
33
+
a
23
a
12
a
31
+
a
21
a
32
a
13
−
a
13
a
22
a
31
−
a
21
a
12
a
33
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{23}a_{12}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{21}a_{12}a_{33}
a11a22a33+a23a12a31+a21a32a13−a13a22a31−a21a12a33
6.最后画线连接
a
23
a
32
a
11
a_{23}a_{32}a_{11}
a23a32a11，继续减法
a
11
a
22
a
33
+
a
23
a
12
a
31
+
a
21
a
32
a
13
−
a
13
a
22
a
31
−
a
21
a
12
a
33
−
a
23
a
32
a
11
a_{11}a_{22}a_{33}+a_{23}a_{12}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}
a11a22a33+a23a12a31+a21a32a13−a13a22a31−a21a12a33−a23a32a11
展开后是：3正3负，一共是6项
以上就是对角线展开法，在画线的时候一定要注意每项都是3个数，如果不是3个数就是画错了。1
三、排列与逆序
1.排列
定义1：
由1,2,…,n组成的一个有序数组就叫n级排列
如，三级排列：
1,2,3 1,3,2 2,1,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1
问：3145是不是一个5级排列
答：不是，因为缺少2，
定义中的…即代表中间不能缺数
定义2：
n级排列一共有n的阶乘种：
=
n
×
(
n
−
1
)
.
.
.
3
×
2
×
1
=
n
!
=n\times(n-1)...3\times2\times1=n!
=n×(n−1)...3×2×1=n!
2.逆序
定义：
大的数排在小的数前面，就构成一个逆序
逆序数
逆序的总数叫逆序数，我们用大写N加括号来代表逆序数：
N(4213)=
4的逆序：2,1,3.
2的逆序：1.
1的逆序：0.
N(4213)=3+1+0=4
偶排列和奇排列
一个数的逆序数为偶数即为偶排列
一个数的逆序数为奇数即为奇排列
标准排列（自然排列）
N(1,2,3…n)=0
N(n,(n-1)…3,2,1)的逆序数有几个
我们求一个排列的逆序数就是从左边第一个开始往右数小于他的数：
(
n
−
1
)
+
(
n
−
2
)
+
.
.
.
3
+
2
+
1
=
n
×
(
n
−
1
)
2
(n-1)+(n-2)+...3+2+1=\frac{n\times(n-1)}{2}
(n−1)+(n−2)+...3+2+1=2n×(n−1)
对换
把已知一个排列里两个数的顺序交换一下叫对换。
一个排列对换奇数次，会改变奇偶性，对换偶数次奇偶性不变。
在所有的n级排列中，奇排列和偶排列个数相等，各占一半，也就是 n ! 2 \frac{n!}{2} 2n!
总结
以上就是二阶行列式，三阶行列式，以及为了后面讲n阶行列式做铺垫所讲的排列和逆序文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-408656.html
-
老师说：计算三阶行列式，画线法在考试的时候应该说是比较少应用的。因为需要计算的数比较多，除非是行列式里很多元素是0的情况下。否则我们一般都用其他的性质和计算技巧来算。（应该是为了避免不必要的计算错误） ↩︎文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-408656.html
到了这里，关于线性代数笔记1-二阶行列式和三阶行列式的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
