剑指 Offer 14- I. 剪绳子
难度: m i d d l e \color{orange}{middle} middle
题目描述
给你一根长度为 n n n 的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m m m 段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为 k [ 0 ] , k [ 1 ] . . . k [ m − 1 ] k[0],k[1]...k[m-1] k[0],k[1]...k[m−1] 。请问 k [ 0 ] ∗ k [ 1 ] ∗ . . . ∗ k [ m − 1 ] k[0]*k[1]*...*k[m-1] k[0]∗k[1]∗...∗k[m−1] 可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示:
- 2 < = n < = 58 2 <= n <= 58 2<=n<=58
注意:本题与主站 343 题相同:https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/
算法一
(数学推导 + 贪心)
设将长度为 n
的绳子切为 a
段:
- n = n 1 + n 2 + n 3 + n 4 + . . . + n a n = n_1 + n_2 + n_3 + n_4+...+n_a n=n1+n2+n3+n4+...+na
本题等价于求解:
- m a x ( n 1 ∗ n 2 ∗ n 3 ∗ n 4 ∗ . . . ∗ n a ) max( n_1 * n_2 * n_3 * n_4 *... *n_a) max(n1∗n2∗n3∗n4∗...∗na)
推论一: 将绳子 以相等的长度等分为多段 ,得到的乘积最大。
推论二: 尽可能将绳子以长度 3 等分为多段时,乘积最大。
切分规则:
- 最优: 3 。把绳子尽可能切为多个长度为 3 的片段,留下的最后一段绳子的长度可能为 0,1,2 三种情况。
- 次优: 2 。若最后一段绳子长度为 2 ;则保留,不再拆为 1+1 。
- 最差: 1 。若最后一段绳子长度为 1 ;则应把一份 3+1 替换为 2+2,因为 2×2>3×1。
复杂度分析
-
时间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)
-
空间复杂度 : O ( 1 ) O(1) O(1)
C++ 代码
class Solution {
public:
int cuttingRope(int n) {
if (n <= 3) return n - 1;
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if (b == 0) return pow(3, a);
if (b == 1) return pow(3, a - 1) * 4;
return pow(3, a) * 2;
}
};
算法二
(动态规划)
创建数组 dp,其中 dp[i] 表示将正整数 i 拆分成至少两个正整数的和之后,这些正整数的最大乘积。特别地,0 不是正整数,1 是最小的正整数,0 和 1 都不能拆分,因此 dp[0]=dp[1]=0。
当 i≥2 时,假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j(1≤j<i),则有以下两种方案:
将 i 拆分成 j 和 i−j 的和,且 i−j 不再拆分成多个正整数,此时的乘积是 j×(i−j);
将 i 拆分成 i−j 的和,且 i−j 继续拆分成多个正整数,此时的乘积是 j×dp[i−j]。
因此,当 j 固定时,有 dp[i]=max(j×(i−j), j×dp[i−j])。由于 j 的取值范围是 1 到 i−1,需要遍历所有的 j 得到 dp[i] 的最大值,因此可以得到状态转移方程如下:文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-409006.html
- d p [ i ] = m a x 1 ≤ j < i ( m a x ( j × ( i − j ) , j × d p [ i − j ] ) ) dp[i]= max_{1≤j<i}( { max(j×(i−j),j×dp[i−j])}) dp[i]=max1≤j<i(max(j×(i−j),j×dp[i−j]))
最终得到 dp[n] 的值即为将正整数 n 拆分成至少两个正整数的和之后,这些正整数的最大乘积。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-409006.html
复杂度分析
- 时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
- 空间复杂度 : O ( n ) O(n) O(n)
C++ 代码
class Solution {
public:
int cuttingRope(int n) {
vector<int> f(n + 1);
for (int i = 2; i <= n; i ++)
{
int maxnun = 0;;
for (int j = 1; j < i ; j ++)
{
maxnun = max(maxnun, max(j * (i - j), j * f[i - j]));
}
f[i] = maxnun;
}
return f[n];
}
};
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