根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

目录

摘要

1.半正矢公式(Haversine Formula)介绍

2.半正矢公式应用

3.半正矢公式计算

3.1 主要思路

3.2 计算步骤

3.2.1 平面向量计算方法

3.2.2 空间向量计算方法


摘要

写本文的出发点是需要在Qlik中根据经纬度计算地球上两点间的距离。我在社区上搜到了相关公式的分享,这个公式叫做“半正矢公式”。对于“半正矢”知之甚少的我,决定从头到尾将公式计算一遍,并通过这篇文章记录所有的步骤,希望它能对需要的人有所帮助。这也算是温习高中所学的三角函数了。

本文的部分图片源自其他网站,剩下的图都是通过GeoGebra制作的。这个工具非常方便,推荐大家使用。

(GeoGebra - the world’s favorite, free math tools used by over 100 million students and teachers)

1.半正矢公式(Haversine Formula)介绍

公式: 

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

(i)

如图 (i), OAC是一个圆,O是其圆心,A和C是圆上的点,r 是⊙OAC的半径。

设:r = 1, 那么 OA = OC = r =1;

过点A做一条垂线,交线段OC于点B,∠OBA=90°。

设:∠AOB=θ;

因此,AB = sinθ, OB = cosθ, BC = 反正弦 = 1 – cosθ.

所谓的半正矢就是“一半的反正弦”(Haversine = “half reversed sin”),所以:

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

最后得出:

2.半正矢公式应用

回到应用场景,已知地球上的两个点A和B,现在我们想知道这两点之间的最短距离。地球可以近似看作为一个球体,那么AB间的最短距离就是过AB两点的大圆圆弧,这个大圆是地球的内切圆,半径和圆心点都于地球相同。

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

(ii)

设:A点坐标 = (Ø1, λ1); B点坐标 = (Ø2, λ2);

Ø = 纬度, λ = 经度

d = A 和 B 的最短距离

R = 地球半径 = 6371 km

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

把 ​​​替换为 Haversin(θ)  可得:

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  

过去的水手们可以查余弦函数、半正矢函数和半正矢函数的逆函数的数值表,从而求出距离d。只要有数值表,还是挺方便的。[1]


[1]https://plus.maths.org/content/lost-lovely-haversine

3.半正矢公式计算

3.1 主要思路

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

(iii)

如图 (iii), ⊙OAB 是地球的内切圆,圆心为O。

距离计算步骤:

  1. 计算AB,即点A和B之间的直线距离;
  2. 通过AB和地球半径R,计算∠AOB 的角度;
  3. 通过∠AOB 和R计算 ,即⊙ OAB上AB的弧长,这个弧长就是最短距离。

3.2 计算步骤

3.2.1 平面向量计算方法

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

 (iv)

与第2节相同,设:

A点坐标 = (Ø1, λ1); B点坐标 = (Ø2, λ2);

Ø = 纬度,λ = 经度;

d = AB间的最短距离;

R = 地球半径 = 6371 km;

O = 地球球心;

N = 北极点;

点C和E与点A在同一条经度线上;

点D和F与点B在同一条经度线上;

点D 与点A在同一条纬度线上;

点C 与点B在同一条纬度线上;

点E和F又是在赤道上,点A所在经度线与点B所在经度线相较于北极点。

可得:

C点坐标 = (Ø2, λ1); D点坐标 = (Ø1, λ2);

E点坐标 = (0, λ1); F点坐标 = (0, λ2);

引入  :

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

(v)

如图(v),OXY是一个圆,设r 为⊙OXY的半径,且r = 1;

OX = OY = r = 1, OZ是线段XY的垂线;

设∠XOY=θ,那么∠XOZ=∠YOZ=θ/2;

所以 XZ=  , 且 XY=2XZ= 。

回到图 (iv), ∠AOC = Ø2 – Ø1;

因为 OA = OC =R,所以 AC = 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ;

同理,BD = AC;EF = 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

点O’ 是点A和点D所在圆的圆心,O’A 长度等于圆的半径。

过点A做一条垂线,相交OE于G,∠AOG = ∠AOE = Ø1;

所以 :根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  ;

由于 ∠GOO’ = ∠AGO = 90°,OG = O’A,所以 O’A =根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

∠AO’D = λ2 – λ1, 可得 AD =根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

同理, BC = 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

知道AD和BC的长度后,我们在等腰梯形ADBC中就可以计算AB的长度了。

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

 (vi)

在等腰梯形ADBC中,过点A做一条垂线相交BC于点E。

那么:

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ;  

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

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根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  ;

现在,AB线段的长度已经计算出来,接下来就是最后一步计算 的弧长。

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

(vii)

 

如图(vii),⊙OAB 是地球的内接圆,圆心为O,OA = R.

设:AC = √a, ∠AOB = b, ∠OCA = 90°;

那么 AC = AB/2;

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  ;

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  ;

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  ; 

 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  ;

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

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根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ​​​​​​​

 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  ;

 

把 ​​​替换为 Haversin(θ)  :根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤  

与第二节的公式一致,计算完毕。


或者我们可以用正切函数tan:

 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ​​​​​​​

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根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ​​​​​​​

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ​​​​​​​

这与Qlik 社区分享的计算公式一致[2]。


[2] https://community.qlik.com/t5/QlikView-App-Dev/Haversine-formula-to-find-distance-between-two-lat-long-points/m-p/234630

3.2.2 空间向量计算方法

如通过空间向量计算距离,我们需要把经纬度的坐标转换为三维空间坐标。

如图 (viii),我们建立了一个坐标系,Z轴就是地轴所在的轴,平面XOY是赤道所在的平面,平面XOZ是本初子午线所在的平面。A点是地球上任意一点。

设:A点坐标 = (Ø1, λ1),R是地球半径;

A 点的空间坐标 = (X1, Y1, Z1)

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

 (viii)

过A点做一条垂线相交平面XOY于A’点,则:

 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

X1 = OC, Y1 = CA’, Z1 = A’A

因此,根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

同理,我们有一点 B (Ø2, λ2),则 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤

那么:

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ​​​​​​​

 设根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ,那么我们可通过余弦定理计算θ 的值:

 根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ​​​​​​​

根据经纬度计算地球上两点之间的距离——Haversine公式介绍及计算步骤 ​​​​​​​

 把cos(θ) 替换为 Haversin(θ),结果与上文等价。

参考文章

Haversine formula to find distance between two lat... - Qlik Community - 234630

Lost but lovely: The haversine | plus.maths.org

地理空间距离计算及优化(根据两个点经纬度计算距离)_ArthurKingYs的博客-CSDN博客_两个经纬度算距离公式及方法

半正矢公式(Haversine公式)

如何计算地球上两点的距离(附公式推导)_呆呆papa的博客-CSDN博客_地球两点距离文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-409196.html

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