《算法竞赛进阶指南》0x42 树状数组

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0x42 树状数组

楼兰图腾

题意:

二维平面给定一些点,询问 v 形和 ∧ 形数目

解析:

对于 ∧ 形: ( i , y ) (i,y) (i,y),考虑左右两侧比该点低的点的个数。树状数组查询 y j < y y_j< y yj<y 的点的个数。因为总共有 y − 1 y-1 y1 个点比当前点低,有 n − y n-y ny 个点比当前点高。

v型同理。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 4e5+10;
const int N = 4E5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

ll c[maxn];	
int lowbit(int x){
	return x & (-x);
}
void add(int x, int v){
	for(; x <= N; x += lowbit(x))
		c[x] += v;
}
ll query(int x){
	ll res = 0;
	while(x){
		res += c[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}
ll lsmall[maxn], lbig[maxn], rsmall[maxn], rbig[maxn], y;
int n;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	//BIT tr;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> y;
		lsmall[i] = query(y-1); 
		rsmall[i] = y-1-lsmall[i];
		lbig[i] = i-1-lsmall[i];
		rbig[i] = n-y-lbig[i];
		add(y, 1);
	}
	ll ans1 = 0, ans2 = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		ans1 += lbig[i] * rbig[i];
		ans2 += lsmall[i] * rsmall[i];
	}
	cout << ans1 << " " << ans2 << endl;
	return 0;
}

一个简单的整数问题

题意:

区间加,单点查询。

解析:

树状数组维护差分数组。

区间加为单点修改,单点查询为查询差分数组的前缀和。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

int n, m, a[maxn];

int ls(int x){return x << 1;}
int rs(int x){return x << 1 | 1;}
struct sgt{
	int lmax, rmax, maxx, sum;
	sgt(){
		lmax = rmax = maxx = -INF;
		sum = 0;
	}
}t[maxn << 2];
void pushup(int k){
	t[k].sum = t[ls(k)].sum + t[rs(k)].sum;
	t[k].lmax = max(t[ls(k)].lmax, t[ls(k)].sum + t[rs(k)].lmax); 
	t[k].rmax = max(t[rs(k)].rmax, t[rs(k)].sum + t[ls(k)].rmax);	
	t[k].maxx = max(t[ls(k)].maxx, t[rs(k)].maxx);
	t[k].maxx = max(t[k].maxx, t[ls(k)].rmax+t[rs(k)].lmax);
}
void pushup(sgt &k, sgt lson, sgt rson){
	k.sum = lson.sum + rson.sum;
	k.lmax = max(lson.lmax, lson.sum + rson.lmax); 
	k.rmax = max(rson.rmax, rson.sum + lson.rmax);	
	k.maxx = max(lson.maxx, rson.maxx);
	k.maxx = max(k.maxx, lson.rmax+rson.lmax);
}
void build(int k, int l, int r){
	if(l == r){
		t[k].lmax = t[k].rmax = t[k].maxx = t[k].sum = a[l];
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	build(ls(k), l, mid);
	build(rs(k), mid+1, r);
	pushup(k);
}
void modify(int k, int l, int r, int pos, int w){
	if(l == r && l == pos){
		t[k].lmax = t[k].rmax = t[k].maxx = t[k].sum = w;
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	if(pos <= mid)
		modify(ls(k), l, mid, pos, w);
	else
		modify(rs(k), mid+1, r, pos, w);
	pushup(k);
}
sgt query(int k, int l, int r, int x, int y){
	if(x <= l && y >= r)
		return t[k];
	int mid = (l+r) >> 1;
	sgt lres, rres, res;
	if(x <= mid)
		lres = query(ls(k), l, mid, x, y);
	if(y > mid)
		rres = query(rs(k), mid+1, r, x, y);
	pushup(res, lres, rres);
	return res;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	build(1, 1, n);
	int op, x, y;
	while(m--){
		cin >> op >> x >> y;
		if(op == 1){
			if(x > y)
				swap(x, y);
			cout << query(1, 1, n, x, y).maxx << endl;
		}			
		else if(op == 2){
			modify(1, 1, n, x, y);
		}			
	}
	return 0;
}

一个简单的整数问题2

题意:

区间加,区间查询

解析:

区间加,需要用树状数组维护差分数组。区间查询,需要求出原数组的前缀和数组。

设原数组为 a a a,差分数组为 d d d,前缀和数组为 s u m sum sum

s u m n = ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 i d j ) = ( n + 1 ) ∑ i = 1 n d i − ∑ i = 1 n i ⋅ d i sum_n = \sum\limits_{i=1}\limits^na_i = \sum\limits_{i=1}\limits^n(\sum\limits_{j=1} \limits^id_j)=(n+1)\sum\limits_{i=1}\limits^nd_i-\sum\limits_{i=1}\limits^ni\cdot d_i sumn=i=1nai=i=1n(j=1idj)=(n+1)i=1ndii=1nidi

所以需要两个树状数组,维护 d d d i ⋅ d i i\cdot d_i idi

树状数组代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 4e5+10;
const int N = 4E5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

int lowbit(int x){return x & (-x);}
struct BIT{
	ll c[maxn];	
	void add(int x, ll v){
		for(; x <= N; x += lowbit(x))
			c[x] += v;
	}
	void update(int l, int r, int d){
		add(l, d);
		add(r+1, -d);
	}
	ll query(int x){
		ll res = 0;
		while(x){
			res += c[x];
			x -= lowbit(x);
		} 
		return res;
	}
}tr1, tr2;
ll sum(int x){
	return tr1.query(x) * (x+1) - tr2.query(x);
}
ll n, m, a[maxn];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i];
		tr1.update(i, i, a[i]);
		tr2.add(i, i*a[i]); tr2.add(i+1, -(i+1)*a[i]);
	}
	string op;
	ll l, r, d;
	while(m--){
		cin >> op;
		if(op == "C"){
			cin >> l >> r >> d;
			tr1.update(l, r, d);
			tr2.add(l, l*d); tr2.add(r+1, -(r+1)*d);
		}
		else if(op == "Q"){
			cin >> l >> r;
			cout << sum(r)-sum(l-1) << endl;
		}
	}
	return 0;
}

线段树代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

int a[maxn], n, m;
int ls(int x){return x << 1;}
int rs(int x){return x << 1 | 1;}
struct sgt{
	ll v, tag;
}t[maxn << 2];
void pushup(int k){
	t[k].v = t[ls(k)].v + t[rs(k)].v;
}
void build(int k, int l, int r){
	t[k].tag = 0;
	if(l == r){
		t[k].v = a[l];
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	build(ls(k), l, mid);
	build(rs(k), mid+1, r);
	pushup(k);
}
void pushdown(int k, int l, int r){
	if(t[k].tag){
		int mid = (l+r) >> 1;
		t[ls(k)].v += (mid-l+1) * t[k].tag;
		t[ls(k)].tag += t[k].tag;
		t[rs(k)].v += (r-mid) * t[k].tag;
		t[rs(k)].tag += t[k].tag;
		t[k].tag = 0;
	}
}
void modify(int k, int l, int r, int x, int y, ll w){
	if(x <= l && y >= r){
		t[k].tag += w;
		t[k].v += (r-l+1) * w;
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	pushdown(k, l, r);
	if(x <= mid)
		modify(ls(k), l, mid, x, y, w);
	if(y > mid)
		modify(rs(k), mid+1, r, x, y, w);
	pushup(k);
}
ll query(int k, int l, int r, int x, int y){
	if(x <= l && y >= r)
		return t[k].v;
	pushdown(k, l, r);
	int mid = (l+r) >> 1;
	ll res = 0;
	if(x <= mid)
		res += query(ls(k), l, mid, x, y);
	if(y > mid)
		res += query(rs(k), mid+1, r, x, y);
	return res;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	build(1, 1, n);
	string op;
	int l, r, d;
	while(m--){
		cin >> op;
		if(op == "C"){
			cin >> l >> r >> d;
			modify(1, 1, n, l, r, d);
		}
		else if(op == "Q"){
			cin >> l >> r;
			cout << query(1, 1, n, l, r) << endl;
		}
	} 
	return 0;
}

谜一样的牛

题意:

n n n 头牛,身高为1-n的排列。第 i i i 头牛前有 A i A_i Ai 头牛比该牛矮,询问每头牛的身高。

解析:

只有最后一头牛的身高能直接确定,假设 A n = x A_n = x An=x,则 h n = x + 1 h_n = x+1 hn=x+1。倒数第二头牛的身高也能确定了,设 A n − 1 = y A_{n-1} = y An1=y,则 身高为身高可用集合中第 y + 1 y+1 y+1 小的。

a i a_i ai 表示身高 i i i 是否可用, a i = 1 a_i = 1 ai=1 表示可用。 a a a 的前缀和具有单调性,可以二分。

需要支持区间查询和单点修改。所以用树状数组维护 a a a

时间复杂度为 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-410118.html

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fi first
#define se second
const int maxn = 2e5+10;
const int N = 2e5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

ll c[maxn];
int lowbit(int x){
	return x & (-x);
}
void add(int x, int v){
	for(; x <= N; x += lowbit(x))
		c[x] += v;
}
ll query(int x){
	ll res = 0;
	while(x){
		res += c[x];
		x -= lowbit(x);
	} 
	return res;
}
ll sum(int l, int r){
	return query(r) - query(l-1);
}
int n, m, a[maxn], h[maxn];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	
	cin >> n;
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		add(i, 1);
	for(int i = n; i >= 1; i--){
		int l = 1, r = n, pos;
		while(l <= r){
			int mid = (l+r) >> 1;
			if(sum(1, mid) >= a[i]+1){
				r = mid-1;
				pos = mid;
			}
			else
				l = mid+1;
		}
		h[i] = pos;
		add(pos, -1);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cout << h[i] << endl;
	return 0;
}

到了这里,关于《算法竞赛进阶指南》0x42 树状数组的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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