GFDM笔记【1】：广义频分复用/GFDM

1. Overview

(1). 移动通信发展历史：

第五代（"5th Generation Mobile Communication Technology, 5G"）无线网络的波形设计、多址访问和随机访问技术是前沿的研究课题，这三个领域相互交织，是无线通信系统的核心，它们允许多个用户有效地共享一个通信媒体。前几代的蜂窝网络采用了完全不同的多址访问技术，其共同的主题是：在接收端为不同的用户提供正交信号。例如，第四代（"4th Generation Mobile Communication Technology, 4G"）蜂窝网络采用正交频分复用（"Orthogonal Frequency Divisition Multiplexing, OFDM"）。鉴于物联网（"Internet of Things, IoT"）等新兴应用，为了满足在延迟和吞吐量方面具有不同要求的海量连接需求，5G及蜂窝网络正在经历设计理念的范式转变：在波形、多路存取和随机存取技术中从正交设计转向非正交设计。$Table1$为"1G-5G"蜂窝网络的多址访问归纳。

***note："FDD": Frequency Division Duplex，"TDD": Time Division Duplex，"FDMA": Frequency Division Multiple Access，"TDMA": Time Division Multiple Access，"CDMA": Code Division Multiple Access、"OFDMA": Orthogonal Frequency Division Multiple Access。

在移动通信网络的每一次更新迭代中，数据速率不断提高，对频谱效率的要求也越来越高。从"1G"到"5G"的变革中，每一代持续改进的系统性能指标是频谱效率$(bps/Hz)$。"1G"支持语音数据的传输。"2G"支持短信业务，此时调制方式也从模拟调制转变为数字调制。"3G"继续提升数据速率。"4G"支持传输高质量图像与时频数据。"5G"是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术。

(2). 广义频分复用简介：

在移动通信每一次的更新中，为了提高频谱效率，系统的调制方式会发生变化。"GFDM, Generalized Frequency Division Multiplexing"具有的低带外辐射（"OOB, Out-of-Band Emission"）、高频谱效率、对时频偏移的高鲁棒性以及适应多种场景的高灵活性等优势，使其成为"5G"网络物理层极具竞争力的波形。

"GFDM"仍然属于多载波传输方案。与"OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)"不同的是，"GFDM"载波之间是非正交的。

"GFDM"采用循环滤波确保了基于块的波形没有滤波器尾部，但以增加“带外辐射”为代价。"GFDM"中一个"CP"可以保护多个数据符号，而非正交波形导致的自干扰往往会使接收机复杂度大大增加。

2. GFDM调制与解调

(1). 连续信号模型：

"GFDM"是一种基于块的多载波调制技术，采用循环滤波。为了更好地理解"GFDM"结构，我们使用连续时间模型来表示调制过程。考虑一个由持续时间 $T$ 和频带带宽 $B$ 定义的时频资源块，目标是使用该资源传递一个最大长度为 $N$ 个数据符号的数据消息。为此，将可用带宽分为等距子载波 $\Delta f=B/K$ 的 $K$ 个子载波，将可用时间分为等距子载波 $T_{sub}=T/M$ 的 $M$ 个子符号。子载波间距与子符号间距有关， $\Delta f{T}_{sub}=1$。因此， $T=N/B=\Delta f/M$ ，其中 $N=KM$ 。每对 $(k,m)-(subcarrier,subsymbol)$ 可用于传输一个由脉冲形状 $g_{k,m}(t)$ 调制的数据符号 $d_{k,m}(t)$。
$$g_{k,m}(t)=w_T(t)g_T(t-m{T}_{sub})e^{j2\pi k\Delta ft},$$
其中，$w_T(t)$ 是持续时间为 $T$ 的矩形窗函数：
$$w_T(t)=1,t\in [0,T]and{w}_T(t)=0,elsewhere.$$
$g_T(t)$ 是周期为 $T$ 的原型周期整形脉冲。上面式子表明脉冲形状 $g_{k,m}(t)$ 是由周期性原型整形脉冲的时间和频率偏移产生的，并与有限时间窗相乘形成"GFDM"块。在常规的"GFDM"中，$g_T$ 的频率分量的数量被限制在 $2M$ 以内，所以：
$$g_T(t)=\sum _{q=-M}^{M-1}{\tilde{g}}_T[q]e^{j2\pi \frac{q}{M}\Delta ft}.$$
其中，${\tilde{g}}_T[q]$ 为傅里叶级数的非零系数。

原型整形脉冲的频率响应为：
$$G_T(f)=\sum _{q=-M}^{M-1}{\tilde{g}}_T[q]\delta (f-\frac{q}{M}\Delta f)$$
其中，$\delta (\cdot )$ 是"Dirichlet"脉冲，"GFDM"通常采用持续时间为 $T_{CP}\ge {\tau }_{max}$ 的循环前缀"(Cyalic Prefix, CP)"来应对衰落信道的影响。另外，一个持续时间 $T_{CS}$ 的循环后缀"(Cyclic Suffix, CS)"可以添加到数据块的末尾。可以通过将窗口 $w_{T_S}$ 扩展为 $T_S=T+T_{CP}+T_{CS}$引入"CP"和"CS"，如 $Figure1$ 所示，其数学表达为：
$$g_{k,m}^{(t)}(t)=w_{T_S}(t-T_{CP})g_T(t-m{T}_{sub})e^{j2\pi k\Delta ft}.$$
因此，频域表示为：
$$G_{k,m}^{(t)}(f)=(W_{T_S}(f-k\Delta f)e^{-j2\pi T_{CP}(f-k\Delta f)})\ast (G_T(f)e^{-j2\pi m{T}_{sub}f}),$$
其中，$\ast$ 表示卷积，将 $G_T(f)$ 的表达式代入上式，可得：
$$G_{k,m}^{(t)}(f)=e^{-j2\pi T_{CP}(f-k\Delta f)}\sum _{q=-M}^{M-1}{\tilde{g}}_T[q]W_{T_S}(f-(kM+q)\frac{\Delta f}{M})e^{-j2\pi m\frac{q}{M}}{e}^{+j2\pi T_{CP}\Delta f\frac{q}{M}}.$$

实际中，并不是所有的子载波和字符号都会被使用，用 ${\mathcal{K}}_{on}$ 和 ${\mathcal{M}}_{on}$ 分别表示为使用的子载波和子符号的集合。因此，对数据符号 { d k , m , i } \{d_k,m,i\} {dk​,m,i} 进行调制的第 $i$ 个"GFDM"块对应的信号为：
$$x_i(t)=\sum _{m\in {\mathcal{M}}_{on}}\sum _{k\in {\mathcal{K}}_{on}}{d}_{k,m,i}{g}_{k,m}^{(t)}(t).$$

此外，包含 $N_S$ 个数据块的一帧信号表示为：
$$x(t)=\sum _{i=0}^{N_S-1}{x}_i(t-i{T}_S)=\sum _{i=0}^{N_S-1}\sum _{m\in {\mathcal{M}}_{on}}\sum _{k\in {\mathcal{K}}_{on}}{d}_{k,m,i}{g}_{k,m}^{(t)}(t-i{T}_S).$$

(2). 离散信号模型：

对频率为 $F_S=B$ 的模拟信号采样可以得到离散时间信号的表示，对每个子符号、符号、$CP$、$CS$ 进行采样得到 $K$、$N$、$L_{CP}$、$L_{CS}$ 个样本，所以离散原型脉冲整形为：
$$g[n]=\sum _{q=-M}^{M-1}{\tilde{g}}_T[q]e^{j2\pi \frac{qn}{N}},n=0,...,N-1.$$
令 g ~ = N − D F T   { g } \tilde{g}=N-DFT\ \{g\} g~​=N−DFT {g} ，即 $\tilde{g}$ 为 $g$ 的 $N$ 点有限离散傅里叶变换，有：
$$g[n]=\frac{1}{N}\sum _{q=0}^{N-1}\tilde{g}[q]e^{j2\pi \frac{qn}{N}},$$
则连续模型的傅里叶级数的系数 ${\tilde{g}}_T[q]$ 于离散模型的频率之间的关系表示为：
$$\tilde{g}[q]=\frac{1}{N}{\tilde{g}}_T[<a{>}_N],$$
其中，$<a{>}_N$ 为对 $N$ 取模算子。假设为矩形窗，则有：
$$g_{k,m}[n]=g[<n-mK{>}_N]e^{j2\pi \frac{k}{K}n.}$$
因此，"子载波-子符号"脉冲形状是由原型脉冲形状在时域和频域的循环移位（又称圆周移位）产生的。实际上，时间上的循环性是由周期脉冲形状的设计和采样频率上的循环性造成的。因此，可以在频域内进行原型脉冲形状 $g[n]$ 的设计，使 $\tilde{g}$ 只有前 $M$ 个和最后 $M$ 个样本有非零值。这保证了在完美同步的前提下，仅有相邻子载波受到有限的载波间干扰"(Inter-Carrier Interference, ICI)"。然而，在异步子载波的情况下，采用连续“离散时间傅里叶变换（DTFT）” $G_{k,m}(v)=DFT(G_{k,m}[n])$，此时考虑了窗口的频率响应。实际上，$g_{k,m}[q]=g{k,m}(v=\frac{q}{N})，如 $figure2$ 所示：

(3). 调制矩阵模型：

一个"GFDM"块用向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$ 表示：
$$[\mathbf{x}{]}_{(n)}=\sum _{m\in {\mathcal{M}}_{on}}\sum _{k\in {\mathcal{K}}_{on}}{d}_{k,m}g[<n-mK{>}_N]e^{j2\pi \frac{k}{K}n.}$$
在频域，用 x ~ = N − D F T { x } \tilde{\bold{x}}=N-DFT\{x\} x~=N−DFT{x} 表示为：
$$[\tilde{\mathbf{x}}{]}_{(n)}=\sum _{m\in {\mathcal{M}}_{on}}\sum _{k\in {\mathcal{K}}_{on}}{d}_{k,m}\tilde{g}[<n-kM{>}_N]e^{-j2\pi \frac{m}{M}n}.$$
插入"CP"就是将后 $L_{CP}$ 个样本复制到 $\mathbf{x}$ 的开头，插入"CS"就是将前 $L_{CS}$ 个样本复制到 $\mathbf{x}$ 的末尾。令矩阵 $\mathbf{D}\in {\mathbb{C}}^{K\times M}$ 表示数据符号，其中 $[\mathbf{D}{]}_{(k,m)}=d_{k,m}$，且 $(k,m)\notin {\mathcal{K}}_{on}\times {\mathcal{M}}_{on},d_{k,m}=0$。定义数据向量 d = v e c { D } \bold{d}=vec{\{\bold{D}\}} d=vec{D}，即$[\mathbf{d}{]}_{(k+mK)}=[\mathbf{D}{]}_{(k,m)}$。此外，调制矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{N\times N}$ 被定义为：
$$[\mathbf{A}{]}_{(n,k+mK)}=g[<n-mK{>}_N]e^{j2\pi \frac{k}{K}n},$$
因此：
$$[\mathbf{x}{]}_{(n)}=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{k=0}^{K-1}[\mathbf{A}{]}_{(n,k+mK)}[\mathbf{d}{]}_{(k+mK)},$$
即：
$$\mathbf{x}=\mathbf{Ad}.$$
考虑被使用的子载波和子符号集合 ${\mathcal{K}}_{on},{\mathcal{M}}_{on}$ ，得到简洁表示：
N o n = { n = k + m K , ( k , m ) ∈ K o n × M o n }   , \mathscr{N}_{on}=\{n=k+mK,(k,m)\in \mathscr{K}_{on}\times \mathscr{M}_{on}\}\ , Non​={n=k+mK,(k,m)∈Kon​×Mon​} ,
所以有：
$${\mathbf{x}}^{(on)}={\mathbf{A}}^{(on)}{\mathbf{d}}^{(on)},$$
其中 $A^{(on)}=[\mathbf{A}{]}_{(:,{\mathcal{N}}_{on})}$ 表示被使用的调制矩阵，${\mathbf{d}}^{(on)}=[\mathbf{d}{]}_{({\mathcal{N}}_{on})}$ 是被使用的数据符号的向量表示。

(4). 解调矩阵模型：

均衡接收信号 $y[n]$，由矢量 $\mathbf{y}\in {\mathbb{C}}^{N\times 1}$ 表示，使用接收原型滤波器 $\gamma [n]$ 进行解调。解调后的数据符号可以表示为：
$$\begin{gathered} {\hat{d}}_{k,m}={\gamma }^{\ast }[-n]★(y[p]e^{-j2\pi \frac{k}{K}n}){|}_{n=mK} \\ [\hat{\mathbf{d}}{]}_{(k+mK)}=\sum _{n=0}^{N-1}y[n]{\gamma }^{\ast }[<n-mK{>}_N]e^{-j2\pi \frac{k}{K}n}. \end{gathered}$$
其中，符号 $★$ 表示周期卷积。

令：
$$\hat{\mathbf{d}}={\mathbf{B}}^H\mathbf{y},$$
其中：
$$[{\mathbf{B}}^H{]}_{(k+mK,n)}={\gamma }^{\ast }[<n-mK{>}_N]e^{-j2\pi \frac{k}{K}n},$$
所以：
$$[{\mathbf{B}}^H]=\gamma [<n-mK{>}_N]e^{j2\pi \frac{k}{K}n}.$$
将该式与前面的式子：$[\mathbf{A}{]}_{(n,k+mK)}=g[<n-mK{>}_N]e^{j2\pi \frac{k}{K}n}$ 相比，可以看出解调矩阵拥有与调制矩阵相同的结构。

3. 原型脉冲整形滤波器性能评价指标

(1). 条件数（Conditional Number）：

定义简写 $z_{k,m}=[{\mathbf{Z}}_{K,M}^{(\tilde{g})}{]}_{(k,m)}$ ， { σ k , m 2 = ∣ z k , m ∣ 2 K } \{\sigma^2_{k,m}=\frac{|\mathbb{z}_{k,m}|^2}{K}\} {σk,m2​=K∣zk,m​∣2​} 对应矩阵 $\mathbf{A}$ 的奇异值。则“条件数（Conditional Number）”定义为：
c o n d   ( A ) = m a x k , m { σ k , m } m i n k , m { σ k , m } = m a x k , m { ∣ z k , m ∣ } m i n k , m { ∣ z k , m ∣ }   . cond\ (\bold{A})=\frac{max_{k,m}\{\sigma_{k,m}\}}{min_{k,m}\{\sigma_{k,m}\}}=\frac{max_{k,m}\{|\mathbb{z}_{k,m}|\}}{min_{k,m}\{|\mathbb{z}_{k,m}|\}}\ . cond (A)=mink,m​{σk,m​}maxk,m​{σk,m​}​=mink,m​{∣zk,m​∣}maxk,m​{∣zk,m​∣}​ .
当 $cond(\mathbf{A})=1$，即 $|z_{k,m}|=1,\forall (k,m)$，则矩阵 $\mathbf{A}$ 是正交的，当至少有 $(k_0,m_0)$ 使得 $z_{m_0,k_0}=0$ 时，矩阵 $\mathbf{A}$ 是奇异的。通过 ${\mathbf{Z}}_{K,M}^{(\tilde{g})}$ 中的零元素降低矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩。“条件数”对于所有需要计算 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵的接收机处理步骤很重要，优选“条件数”较小的调制矩阵。

(2). 噪声增强因子（Noise Enhancement Factor, NEF）：

考虑"AWGN"信道中的接收信号：
$$\begin{gathered} \mathbf{y}=\mathbf{Ad}+\mathbf{w}, \\ \mathbb{E}[{\mathbf{dd}}^H]=P_D{\mathbf{I}}_N, \\ \mathbb{E}[{\mathbf{ww}}^H]=P_N{\mathbf{I}}_N. \end{gathered}$$
“噪声增强因子（NEF）”定义为使用"ZF (Zero Forcing)"解调器前后的“平均信噪比（Signal-to-Ratio, SNR）”的比值：
ξ = t r a c e { E [ A d d H A H ] } t r a c e { E [ v v H ] } ( t r a c e { E [ d d H ] } t r a c e { E [ A − 1 v v H A − 1 H ] } ) − 1 = 1 N 2 t r a c e { A A H } t r a c e { A − 1 A − 1 H } = 1 N 2 ∣ ∣ L ( g ~ ) ∣ ∣ F 2 ∣ ∣ L ( g ~ ) − 1 ∣ ∣ F 2 = 1 N 2 ( ∑ k , m ∣ z k , m ∣ 2 ) ( ∑ k , m 1 ∣ z k , m ∣ 2 ) \begin{aligned} \xi &=\frac{trace{\{\mathbb{E}[\bold{Add}^H\bold{A}^H]\}}}{trace\{\mathbb{E}[\bold{vv}^H]\}}\left(\frac{trace\{\mathbb{E}[\bold{dd}^H]\}}{trace\{\mathbb{E}[\bold{A}^{-1}\bold{vv}^H\bold{A}^{-1H}]\}}\right)^{-1}\\ &=\frac{1}{N^2}trace\{\bold{AA}^H\}trace\{\bold{A}^{-1}\bold{A}^{-1H}\}\\ &=\frac{1}{N^2}||\bold{L^{(\tilde{g})}}||^2_F||\bold{L}^{(\tilde{g})-1}||^2_F\\ &=\frac{1}{N^2}\left(\sum_{k,m}|\mathbb{z}_{k,m}|^2\right)\left(\sum_{k,m}\frac{1}{|\mathbb{z}_{k,m}|^2}\right) \end{aligned} ξ​=trace{E[vvH]}trace{E[AddHAH]}​(trace{E[A−1vvHA−1H]}trace{E[ddH]}​)−1=N21​trace{AAH}trace{A−1A−1H}=N21​∣∣L(g~​)∣∣F2​∣∣L(g~​)−1∣∣F2​=N21​ ​k,m∑​∣zk,m​∣2 ​ ​k,m∑​∣zk,m​∣21​ ​​
需要注意的是，当使用"ZF"解调器后得到：$\mathbf{Ay}=\mathbf{d}+{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{w}$。因为 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的行是由原型滤波器 ${\gamma }_{zf}$ 经圆周移位得到的，所以在白噪声的情况下，$\mathbf{d}$ 的每一个元素的噪声增强因子是相等的，反之，则依赖于有色噪声的“子载波-子符号”索引 。

(3). 自干扰比/信号干扰比（Self-Interference Ratio/Signal-to-Interference Ratio, SIR）：

因为 $\mathbf{A}$ 的列是由原型脉冲整形滤波器 $g[n]$ 在时间和频率上圆周移位得到的，所以：
$$[{\mathbf{A}}^H\mathbf{A}{]}_{(n,n)}=||\mathbf{g}|{|}^2,$$
因此有：
t r a c e { A H A } = 1 K ∑ k , m ∣ z k , m ∣ 2 = N ∣ ∣ g ∣ ∣ 2   . trace\{\bold{A}^H\bold{A}\}=\frac{1}{K}\sum_{k,m}|\mathbb{z}_{k,m}|^2=N||\bold{g}||^2\ . trace{AHA}=K1​k,m∑​∣zk,m​∣2=N∣∣g∣∣2 .
经过“匹配滤波器（Matched Filter, MF）”后，得到：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{A}}^H\mathbf{y}& =||\mathbf{g}|{|}^2\mathbf{d}+({\mathbf{A}}^H\mathbf{A}-||\mathbf{g}|{|}^2{\mathbf{I}}_N)\mathbf{d}+{\mathbf{A}}^H\mathbf{w}\\ & =||\mathbf{g}|{|}^2\mathbf{d}+{\mathbf{V}}^H(\frac{1}{K}{\mathbf{L}}^{(\tilde{g})H}{\mathbf{L}}^{(\tilde{g})}-||\mathbf{g}|{|}^2{\mathbf{I}}_N)\mathbf{Vd}+{\mathbf{A}}^H\mathbf{w}.\end{array}$$
“信号干扰比（Signal-to-Interference Ratio, SIR）”定义为信号功率与自干扰的比：
S I R = N ∣ ∣ g ∣ ∣ 4 ∑ k , m ( 1 K ∣ z k , m ∣ 2 − ∣ ∣ g ∣ ∣ 2 ) 2 = N ∑ k , m ( ∣ z k , m ∣ 2 K ∣ ∣ g ∣ ∣ 2 − 1 ) 2 = [ 1 N ∑ k , m ( ∣ z k , m ∣ 2 1 N ∑ k , m ∣ z k , m ∣ 2 − 1 ) 2 ] − 1   . \begin{aligned} SIR &=\frac{N||\bold{g}||^4}{\sum_{k,m}\left(\frac{1}{K}|\mathbb{z}_{k,m}|^2-||\bold{g}||^2\right)^2}\\ &=\frac{N}{\sum_{k,m}\left(\frac{|\mathbb{z}_{k,m}|^2}{K||\bold{g}||^2}-1\right)^2}\\ &=\left[\frac{1}{N}\sum_{k,m}\left(\frac{|\mathbb{z}_{k,m}|^2}{\frac{1}{N}\sum_{k,m}|\mathbb{z}_{k,m}|^2}-1\right)^2\right]^{-1}\ . \end{aligned} SIR​=∑k,m​(K1​∣zk,m​∣2−∣∣g∣∣2)2N∣∣g∣∣4​=∑k,m​(K∣∣g∣∣2∣zk,m​∣2​−1)2N​= ​N1​k,m∑​(N1​∑k,m​∣zk,m​∣2∣zk,m​∣2​−1)2 ​−1 .​
计算得到的自干扰在所有数据符号上是平均。如果考虑全分配，且所有数据符号都具有相同的功率，则每个数据符号的"SIR"都是相同的，这是因为 ∣ [ V ] ( i , j ) ∣ = 1 N , ∀ i , k ∈ { 0 , . . . , N − 1 } \left|[\bold{V}]_{(i,j)}\right|=\frac{1}{\sqrt{N}},\forall i,k\in \{0,...,N-1\} ​[V](i,j)​ ​=N ​1​,∀i,k∈{0,...,N−1}。

以上讨论表明了调制对原型脉冲整形滤波器的依赖性，其中所有指标都可以用其"DZT"表示。虽然我们使用了 $\tilde{g}$ 的"DZT"，但对于 $g$ 的"DZT"，结果是相同的。

4. GFDM链路性能

(1). 功率谱密度（Power Spetral Density, PSD）& 带外辐射（Out-of-Band, OOB Emission）：

“功率谱密度”是用于度量信号功率与频率之间关系的一种指标。

与"OFDM"相比，"GFDM"拥有更低的功率谱旁瓣，且旁瓣的衰减速度更快，意味着拥有更低的自身干扰。$figure3$ 所示为部分波形的“功率谱密度”曲线：

"OFDM"旁瓣衰减较慢，产生的"OOB"会干扰相邻子载波；通过增加"CP"的长度可减弱
干扰，但会降低频谱效率；同时，"OFDM"规定子载波严格正交，对载频偏移很敏感，实际
中需要复杂的同步方法和硬件设备来实现。相对而言，"GFDM"可以提供较低的"OOB"，这是因
为每个子载波具有可选的脉冲整形滤波器，这些滤波器可以使系统产生更快的旁瓣衰减。

(2). 峰值平均功率比（Peak-to-Average Power Ratio, PAPR）& 互补累积分布函数（Complementary Cumulative Distribution Function, CCDF）：

系统的"PAPR"可以由“互补累积分布函数（Complementary Cumulative Distribution Function, CCDF）”来计算，"CCDF"是多载波传输方案中“峰值平均功率比”超过某一门限值的概
率。

"GFDM"调制方案的"CCDF"低于"OFDM"调制方案，即"GFDM"的“峰值平均功率比”低
于某一阈值的概率高于"OFDM"，所以"GFDM"系统的“峰值平均功率比”更低，意
味着更低的硬件成本和功耗。

(3). 误码率/误符号率（Symbol Error Rate, SER）：

“误码率（Symbol Error Rate, SER）”是衡量数据在规定时间内数据传输精确性的指标，误码率是传输中的误码与所传输的总码数的比值：
$$P_{error}=\frac{N_{error}}{N_{all}}.$$
进行特定条件下的误码率研究，对增强无线通信系统性能，改善数据传输质量意义重大。

Reference

[1] M. Vaezi et al., Multiple Access Techniques for 5G Wireless Networks and Beyond.
[2] 百度百科.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-410201.html

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