麻省理工学院 - MIT - 线性代数（我愿称之为线性代数教程天花板）_哔哩哔哩_bilibili
MIT—线性代数笔记00 - 知乎 (zhihu.com)
行列式的部分相关性质与知识点这里暂不描述，可看上面给出的知乎笔记
一、行列式与体积之间的关系
矩阵A行列式的绝对值等于以矩阵A行（列）向量为边所构成的平行六面体的体积。行列式的正负对应左手系和右手系。
如果矩阵A是单位矩阵，则其构成的是三个边长均为1且互相垂直的立方体，其体积为1，这与上面的结论相符
而如果矩阵A为正交矩阵Q，则其构成的也是三个边边长为1且三边互相垂直的立方体，其体积也为1只是取向与单位阵不同。这也与上面的结论相符，因为，且 det(Q)=det(QT) ，所以detQ=1。
交换矩阵A中的行并不会改变其行列式的绝对值，显然也不会改变向量围成的体积，因此这也和体积理论相符。
二、特征值和特征向量
如何通俗地解释特征值与特征向量_哔哩哔哩_bilibili（非常有助理解）
矩阵A完成的是一个向量空间到另一个向量空间的映射，有些向量映射前后在一条直线上，该向量称为特征向量。这里的矩阵A就只起到了伸缩作用，因此可以表示为，称为特征值；
非零x满足,就被称为A的特征值，x称为A的对应于特征值的特征向量；
举例：求的特征值，特征向量：
;
如果方程有非零解，那么系数矩阵为奇异矩阵，行列式为零，求出的值，分别带入方程，求出方程的解
迹
迹是对角线所有元素的和；
矩阵的迹等于特征值之和；
对称矩阵的特征向量正交；
特征值之积等于行列式；
复数特征值
是一个90°的旋转矩阵，从矩阵的迹和行列式的值可以得到,所以两个数一正一负；所以两个数同符号，综上无解。从矩阵的性质可知它的实数特征向量只有零向量，因为其他任何向量乘以旋转矩阵，向量的方向都会发生改变。计算可得：
可以解得λ1=i 和 λ2=−i 。如果一个矩阵具有复数特征值a+bi则，它的共轭复数a-bi也是矩阵的特征值。实数特征值让特征向量伸缩而虚数让其旋转。
三角阵和重特征值
对于的三角矩阵，特征值就是矩阵对角线上的元素；
说明A是一个退化矩阵，对应相同的特征值而特征向量短缺；
四、对角化和矩阵的幂
对角化矩阵
如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量，将他们作为列向量可以组成一个可逆方阵S，并且有：
这里的矩阵为对角阵，他的非零元素就是矩阵A的特征值。因为举证S中的列向量线性无关，因此逆矩阵存在。在等是两侧左乘逆矩阵，得到,同样。
现在我们得到的是矩阵的”相似标准型“，它还保留来了矩阵操作的基本性质——特征值；
而之前的消元行操作和列操作得到的”相抵标准型“，之神下最内核的秩；
矩阵的幂
如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量，如果所有的特征值均满足,则时，.
重特征值
如果矩阵A没有重特征值，则其一定具有n个线性无关的特征向量。
如果矩阵A有重特征值，它有可能具有n个线性无关的特征向量，也可能没有。比如单位阵的特征值为重特征值1，但是其具有n个线性无关的特征向量。
差分方程
用斐波那契数列举例：
为了凑成矩阵形式，列以下方程组：
令,则有
,观察矩阵的特征向量和特征值，因为是对称矩阵，特征值为实数，特征向量正交；
求解方程，这里使用小技巧：
，求非零解，那么左边是奇异矩阵，所以行向量线性相关，用系数矩阵第二行乘以x的结果和第一行相同，而可以一眼第二行乘x=0，
所以特征向量和；
这里的特征值反映了数列增长快慢程度；
后续补充微分方程、马尔科夫矩阵和傅里叶级数；文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-410953.html
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