数学建模常用算法—多目标规划-Toy模板网

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前面我们已经学习了线性规划及非线性规划，接下来带大家一起学习多目标规划模型。

模型的含义

求解思路

建立目标规划的条件

目标规划的目标函数

目标规划的模型应用

模型的建立

目标规划的一般数学模型

模型示例与求解

模型的含义

多目标规划是数学规划的一个分支。研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming)。

多目标规划的概念是 1961年由美国数学家查尔斯和库柏首先提出的。多目标最优化思想，最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。他从政治经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。

求解思路

（1）加权系数法

给每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。重要的是确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。

（2）优先等级法

将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。

（3）有效解法

寻求能满足各个目标，并使决策者感到满意的解。但有时存在多个有效解而难以将其一一求出。

建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。

（2）绝对（刚性）约束和目标约束。

（3）优先因子（优先等级）与权系数。

目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为

（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时Min wi-di-+wi+di+

（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时Min wi+di+

（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时 Min wi-di-

目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。

（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

模型的建立

目标规划的一般数学模型

（1）设Xj (j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性（绝对）约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束；

（2）设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为di+，di-（i=1,2,…,l）；

（3）设有q个优先级别（因子），分别为P1,P2,…,Pq；

（4）设在同一个优先级Pk中有不同的权重，分别记为wki+，wki-（i=1,2,…,l）。

数学建模常用算法—多目标规划

建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它们都具有一定的主观性和模糊性，可以运用评定法进行量化。

模型示例与求解

例一、投资的收益和风险

市场上有n种资产si(i=1,2,...,n)可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买si 的平均收益率为ri ，风险损失率为 qi，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的si中最大的一个风险来度量。购买si时要付交易费，费率为pi，当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算。另外，假设同期银行存款利率是r0 ，既无交易费又无风险（r0=5%）。即用给定资金M，有选择地购买若干种资产或银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。

在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，此时最大的一个风险率为a，即可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

模型一：固定风险水平，优化收益

在实际投资中，若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻求相应的投资组合。

模型二：固定盈利水平，极小化风险

投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险，收益分别赋予权重。

例二
条件1：产品I的产量不大于产品II;
条件2：应尽可能充分利用设备, 但不希望加班;
条件3：应尽可能达到并超过计划利润指标56万元;

硬性约束：
x1<=x2;
x1+2x2<=10;
z=8x1+10*x2;

通过添加正负偏差变量转化为柔性约束：

数学建模常用算法—多目标规划