1. 定义
(1) 符号定义
单位矩阵为 I I I，矩阵 A A A的行列式记作 det ( A ) \det \left( A \right) det(A)，伴随矩阵记作 a d j ( A ) \mathrm{adj} \left(A\right) adj(A).
(2) 特征多项式
矩阵
A
A
A的特征多项式定义为：
χ
A
(
s
)
≜
det
(
s
I
−
A
)
=
s
n
+
d
1
s
n
−
1
+
⋯
+
d
n
,
\chi _A\left( s \right) \triangleq \det \left( sI-A \right) =s^n+d_1s^{n-1}+\cdots +d_n,
χA(s)≜det(sI−A)=sn+d1sn−1+⋯+dn,
2. 定理内容
χ A ( A ) = A n + d 1 A n − 1 + ⋯ + d n = 0 \chi _A\left( A \right) =A^n+d_1A^{n-1}+\cdots +d_n=0 χA(A)=An+d1An−1+⋯+dn=0
3. 证明
考虑矩阵
(
s
I
−
A
)
\left( sI-A \right)
(sI−A)的逆，可以表示为：
(
s
I
−
A
)
−
1
=
a
d
j
(
s
I
−
A
)
det
(
s
I
−
A
)
⋯
(
∗
)
，
\left( sI-A \right) ^{-1}=\frac{\,\,\mathrm{adj}\left( sI-A \right)}{\det \left( sI-A \right)}\cdots \left( * \right) ，
(sI−A)−1=det(sI−A)adj(sI−A)⋯(∗)，
其中
(
s
I
−
A
)
\left( sI-A \right)
(sI−A)的行列式可以表示为
{
1
,
s
,
s
2
,
⋯
,
s
n
}
\left\{ 1,s,s^2,\cdots ,s^n \right\}
{1,s,s2,⋯,sn}的线性组合，即
det
(
s
I
−
A
)
=
s
n
+
d
1
s
n
−
1
+
⋯
+
d
n
.
\det \left( sI-A \right) =s^n+d_1s^{n-1}+\cdots +d_n.
det(sI−A)=sn+d1sn−1+⋯+dn.
而
(
s
I
−
A
)
\left( sI-A \right)
(sI−A)的伴随矩阵可以表示为
{
1
,
s
,
s
2
,
⋯
,
s
n
−
1
}
\left\{ 1,s,s^2,\cdots ,s^{n-1} \right\}
{1,s,s2,⋯,sn−1}的线性组合，即
a
d
j
(
s
I
−
A
)
=
B
0
s
n
−
1
+
B
1
s
n
−
2
+
⋯
+
B
n
−
1
.
\mathrm{adj}\left( sI-A \right) =B_0s^{n-1}+B_1s^{n-2}+\cdots +B_{n-1}.
adj(sI−A)=B0sn−1+B1sn−2+⋯+Bn−1.（注：根据伴随矩阵的定义，可以知道多项式最高阶数为
(
n
−
1
)
(n-1)
(n−1)）
下证：
χ
A
(
A
)
=
A
n
+
d
1
A
n
−
1
+
⋯
+
d
n
=
0.
\chi _A\left( A \right) =A^n+d_1A^{n-1}+\cdots +d_n=0.
χA(A)=An+d1An−1+⋯+dn=0.
对
(
∗
)
(*)
(∗)式，在等号两边右乘
(
s
I
−
A
)
\left( sI-A \right)
(sI−A)，左乘
det
(
s
I
−
A
)
I
\det \left( sI-A \right) I
det(sI−A)I，可以得到
a
d
j
(
s
I
−
A
)
(
s
I
−
A
)
=
det
(
s
I
−
A
)
I
.
\mathrm{adj}\left( sI-A \right) \left( sI-A \right) =\det \left( sI-A \right) I.
adj(sI−A)(sI−A)=det(sI−A)I.
对等号左边进行展开
L
H
S
=
(
B
0
s
n
−
1
+
B
1
s
n
−
2
+
⋯
+
B
n
−
1
)
(
s
I
−
A
)
=
(
B
0
s
n
+
B
1
s
n
−
1
+
⋯
+
B
n
−
1
s
)
−
(
B
0
A
s
n
−
1
+
B
1
A
s
n
−
2
+
⋯
+
B
n
−
1
A
)
=
B
0
s
n
+
(
B
1
−
B
0
A
)
s
n
−
1
+
⋯
+
(
B
n
−
1
−
B
n
−
2
A
)
s
−
B
n
−
1
A
.
\begin{aligned} \mathrm{LHS}&=\left( B_0s^{n-1}+B_1s^{n-2}+\cdots +B_{n-1} \right) \left( sI-A \right) \\ &=\left( B_0s^n+B_1s^{n-1}+\cdots +B_{n-1}s \right) -\left( B_0As^{n-1}+B_1As^{n-2}+\cdots +B_{n-1}A \right) \\ &=B_0s^n+\left( B_1-B_0A \right) s^{n-1}+\cdots +\left( B_{n-1}-B_{n-2}A \right) s-B_{n-1}A. \end{aligned}
LHS=(B0sn−1+B1sn−2+⋯+Bn−1)(sI−A)=(B0sn+B1sn−1+⋯+Bn−1s)−(B0Asn−1+B1Asn−2+⋯+Bn−1A)=B0sn+(B1−B0A)sn−1+⋯+(Bn−1−Bn−2A)s−Bn−1A.
而等式右边为
R
H
S
=
s
n
I
+
d
1
s
n
−
1
I
+
⋯
+
d
n
I
.
\mathrm{RHS}=s^nI+d_1s^{n-1}I+\cdots +d_nI.
RHS=snI+d1sn−1I+⋯+dnI.
对照系数，有
{
B
0
=
I
B
1
−
B
0
A
=
d
1
I
⋮
B
n
−
1
−
B
n
−
2
A
=
d
n
−
1
I
O
−
B
n
−
1
A
=
d
n
I
⇒
{
B
0
A
n
=
A
n
B
1
A
n
−
1
−
B
0
A
n
−
2
=
d
1
A
n
−
1
⋮
B
n
−
1
A
−
B
n
−
2
A
2
=
d
n
−
1
A
−
B
n
−
1
A
=
d
n
I
\begin{cases} B_0=I\\ B_1-B_0A=d_1I\\ \vdots\\ B_{n-1}-B_{n-2}A=d_{n-1}I\\ O-B_{n-1}A=d_nI\\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} B_0A^n=A^n\\ B_1A^{n-1}-B_0A^{n-2}=d_1A^{n-1}\\ \vdots\\ B_{n-1}A-B_{n-2}A^2=d_{n-1}A\\ -B_{n-1}A=d_nI\\ \end{cases}
⎩
⎨
⎧B0=IB1−B0A=d1I⋮Bn−1−Bn−2A=dn−1IO−Bn−1A=dnI⇒⎩
⎨
⎧B0An=AnB1An−1−B0An−2=d1An−1⋮Bn−1A−Bn−2A2=dn−1A−Bn−1A=dnI
上式等号左边累加结果为 O O O（零矩阵），而右边累加为 A A A的特征多项式 χ A ( A ) \chi _A\left( A \right) χA(A)，得证.文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-411339.html
3. 应用
TODO文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-411339.html
到了这里，关于Cayley-Hamilton定理（凯莱-哈密顿定理）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
