📖作者介绍：22级树莓人（计算机专业），热爱编程＜目前在c＋＋阶段，因为最近参加新星计划算法赛道(白佬)，所以加快了脚步，果然急迫感会增加动力>——目标Windows，MySQL，Qt，数据结构与算法，Linux，多线程，会持续分享学习成果和小项目的
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💖一、前缀和
💖 A、一维前缀和
1、什么是一维前缀和
原数组:
a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], …, a[n]
前缀和S[i]为数组的前i项和
前缀和:S[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i]注意：前缀和的下标一定要从 1开始, 避免进行下标的转换，即定义
S[0]等于0
2、一维前缀和的作用
快速求出元素组中某段区间的和
例如要求出
l-r区间的和，则只需要执行sum[r]-sum[l-1]原理如下：
sum[r] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l-1] + a[l] + a[l+1] ...... a[r]; sum[l - 1] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l - 1]; sum[r] - sum[l - 1] = a[l] + a[l + 1]+......+ a[r];并且时间复杂度为O(1)
3、习题：Acwing 795. 前缀和
输入一个长度为 n的整数序列。
接下来再输入 m个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l个数到第 r个数的和
输入格式
第一行包含两个整数 n和 m。
第二行包含 n个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10
4、代码详解
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],sum[N]; //原数组与求和数组
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i]; //构建前缀和
}
while(m--)
{
int L,R;
cin>>L>>R;
cout<<sum[R]-sum[L-1]<<endl;
}
return 0;
}
💖B、二维前缀和(矩阵和)
1、二维前缀和推导
从上图我们很容易得到：图1的面积=图二的面积+图三的面积+图四的面积-图五的面积(重复的面积）
所以我们得出二维前缀和的预处理公式：
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1]
接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。
如图：
不难看出绿色的面积=
s[x2][y2]+s[x2][y1-1]+s[x1-1][y2]-s[x1-1][y1-1]且时间复杂度也为O(1)
2、习题：Acwing 796. 子矩阵的和
输入一个 n行 m列的整数矩阵，再输入 q个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。
接下来 q行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
3、代码详解
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
//构建前缀和
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
}
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
//求并输出矩形前缀和
cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]<<endl;
}
return 0;
}
💖二、差分
💖A、一维差分
1、什么是差分
类似于数学中的求导和积分，差分可以看成前缀和的逆运算。
这里举一个例子：
先给一个原数组
a：a[1]、a[2]、a[3]、a[4]、a[5]...a[n]然后这里再构建一个数组
b:b[1]、b[2]、b[3]...b[n]使得:
a[i]=b[1]+b[2]+b[3]...b[i]即a是b的前缀和，反过来b就是a的差分
2、如何构建差分数组
这里我们采取最暴力的做法，直接构造，并且需要注意下标，所以我们这里还是令
a[0]=0注意：下面的构造中，a为前缀和数组，b为差分数组
a[0]=0;
b[1]=a[1]-a[0];
b[2]=a[2]-a[1];
......
b[i]=a[i]-a[i-1];
3、差分数组有什么作用
我们先来看一个问题
给定区间[l ,r ]，让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即
a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c ,,,,,, a[r] + c;
暴力做法是for循环l到r区间，时间复杂度O(n)，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成O(n * m)。 这个时候就体现出差分的作用了，让我们往下接着看
我们知道a是b的前缀和数组，所以改变b的一项就会改变a中有b的所有项
但是在有边界之外的也多加上一个C，如图所示
所以这里我们需要执行两步操作
b[l]+=c;
b[r+1]-=c;
因此我们得出一维差分结论：给a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。
4、练习 Acwing 797. 差分
输入一个长度为 n 的整数序列。接下来输入 m个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r]之间的每个数加上 c。请你输出进行完所有操作后的序列
输入格式
第一行包含两个整数 n和 m。
第二行包含 n个整数，表示整数序列。
接下来 m行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000
1≤l≤r≤n
−1000≤c≤1000
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
5、代码详解
注意使用
scanf进行输入，效率比较高
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N];
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
b[i] = a[i] - a[i - 1]; //构建差分数组
}
int l, r, c;
while (m--)
{
scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
b[l] += c; //将序列中[l, r]之间的每个数都加上c
b[r + 1] -= c;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
a[i] = b[i] + a[i - 1]; //前缀和运算
printf("%d ", a[i]);
}
return 0;
}
💖B、二维差分(差分矩阵)
类似于前面的二维前缀和，这里引用大佬林小鹿的图解
所以要执行四步操作：
b[x1][y1] += c;
b[x1][y2+1] -= c;
b[x2+1][y1] -= c;
b[x2+1][y2+1] += c;
3、习题：Acwing 798. 差分矩阵
输入一个 n行 m列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。
接下来 q行，每行包含 55 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n行，每行 m个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-411368.html
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-411368.html
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
4、代码详解
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&s[i][j]);
//构建差分矩阵
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
a[i][j]=s[i][j]-s[i][j-1]-s[i-1][j]+s[i-1][j-1];
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2,c;
scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
a[x1][y1]+=c;
a[x1][y2+1]-=c;
a[x2+1][y1]-=c;
a[x2+1][y2+1]+=c;
}
//求和
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
s[i][j] = a[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
printf("%d ", s[i][j]);
cout << endl;
}
return 0;
}
到了这里，关于一文带你深入了解算法笔记中的前缀与差分（附源码）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
