【矩阵论】5. 线性空间与线性变换—

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[注]由于矩阵论对计算机比较重要，所以选修了这门课，但不是专业搞数学的，所以存在很多口语化描述，而且对很多东西理解不是很正确与透彻，欢迎大家指正。我可能间歇性忙，但有空一定会回复修改的。

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
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4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

5.2 子空间

5.2.1 定义

设 $W\subset V$ ， $W$ 是数域 $K$ 上的线性空间 $V$ 的一个非空子集合，且
$\begin{aligned} &(1)对\forall \alpha,\beta\in W，有\alpha+\beta\in W(对加法封闭)\\ &(2)对\forall \alpha\in W,\forall k\in K ，有k\alpha \in W(对数乘封闭) \end{aligned}$

则称 $W$ 为 $V$ 的线性子空间或子空间

平凡子空间 $W = V$ 或 $\varphi=\{0\}$ ；其余称为非平凡子空间
子空间 $W$ 一定含有零向量 $\vec{0} \in W$ ；若不包含零向量，则不是子空间
齐次方程解集 $W(A)=\{X\in C^n\vert AX=0\}$ ，对加法，数乘封闭( $AX_1=0,AX_2=0,A(X_1+X_2)=0$ )，( $AX_1 =0$ , $A(kX_1)=k(AX_1)=0$ ) ，且有零向量，故是 $C^n$ 的子空间
非齐次方程解集 $W(A)=\{X\in C^n\vert AX=b\neq 0\}$ 不含零向量，故W(A) 不是子空间，且对加法，数乘不封闭

5.2.2 生成子空间

a. 引理

由 $C^n$ 中向量 $\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_m$ 的所0有 线性组合生成的向量集合 $W(A)=\{x=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m\}$ 是一个子空间，称W为由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 生成的子空间，记为 $W=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$ 或 $W=span(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

b. 维数公式

$(V_1+V_2)=dimV_1+dim V_2-dim(V_1\bigcap V_2)$

c. 子空间的交与和

交：如果 $V_1$ ， $V_2$ 是数域 $K$ 上的线性空间 $V$ 的两个子空间，那么 $V_1\bigcap V_2$ 也是 $V$ 的子空间

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

和：设 $V_1$ ， $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，则集合 $\{z\vert z=x+y,x\in V_1,y\in V_2\}$ 称为 $V_1$ 与 $V_2$ 的和，记为 $V_1+V_2$

如果 $V_1$ ， $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，则 $V_1+V_2$ 也是 $V$ 的子空间

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

$V_1\bigcap V_2$ 是包含在 $V_1$ ， $V_2$ 的最大子空间
$V_1+V_2$ 是包含 $V_1,V_2$ 的最小子空间

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

$\begin{aligned} &显然V_1+V_2\supset L(a_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_l)，\\ &又\forall x\in V_1+V_2，有x=x_1+x_2,x_1\in V_1,x_2\in V_2\\ &\therefore x_1=k_1a_1+\cdots+k_ma_m,x_2=p_1b_1+\cdots+p_lb_l\\ &\therefore x\in L(a_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_l)\\ &可得V_1+V_2\subset L(a_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_l) \end{aligned}$

d. 直和

如果 $V_1+V_2$ 中的任一向量只能唯一地表示为 $V_1$ 的一个向量和 $V_2$ 中的一个向量的和，则称 $V_1+V_2$ 为 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和，记为 $V_1\oplus V_2$

定理：若 $V_1+V_2$ 为直和 $\iff V_1\bigcap V_2=L(0)$

不存在公共部分，即无法用公共部分的向量代替

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

推论：

设 $V_1$ , $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，则 $V_1+V_2$ 是直和 $\iff dim(V_1+V_2)=dim V_1+dimV_2$
如果 $x_1,\cdots,x_k$ 为 $V_1$ 的基， $y_1,\cdots,y_l$ 为 $V_2$ 的基，且 $V_1+V_2$ 为直和，则 $x_1,\cdots,x_k,y_1,\cdots,y_l$ 为 $V_1\oplus V_2$ 的基

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

$\begin{aligned} (1)&由于V_1:(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)=(\xi_1,\xi_1,\xi_1,\xi_4)=\xi_1(1,1,1,0)+\xi_4(0,0,0,1)\\ &设 y_1=(1,1,1,0),y_2=(0,0,0,1),则有V_1=L(y_1,y_2)\\ &则有V_1+V_2=L(y_1,y_2,x_1,x_2)\\ (2)&\because x_2=y_1+y_2-x_1,\Rightarrow r(y_1,y_2,x_1,x_2)=dim(V_1+V_2)=3\\ &y_1,y_2,x_1为V_1+V_2的一个基\\ (3)&设x\in V_1\bigcap V_1,则有k_1,k_2,l_1,l_2,使x=k_1y_1+k_2y_2=l_1x_1+l_2x_2\\ &\therefore \left\{ \begin{aligned} k_1-l_1=0\\ k_1-l_2=0\\ k_1-l_1=0\\ k_2-l_2=0 \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &k_1=l_1\\ &k_1=l_2\\ &k_2=l_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow k_1=l_2=l_1=k_2\\ &\therefore x=k_1y_1+k_1y_2=k_1(1,1,1,1)\\ &\therefore (1,1,1,1)为 V_1\bigcap V_2的一个基，dim (V_1\bigcap V_2)=1 \end{aligned}$

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5.2.3 A产生的子空间

a. 列空间（值域）

$A=A_{m\times n}$ 的值域 $R(A)=\{全体y=Ax\vert x\in C^n\}\subset C^m$
$\begin{aligned} &A=A_{m\times n}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n),其中\alpha_i\in C^m ，X=\left( \begin{matrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{matrix} \right)\in C^n\\ &Y=AX=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=\left(x_1\alpha_1,\cdots,x_n\alpha_n\right)为A的生成列空间 \end{aligned}$
即对 $C^n$ 中的所有列向量进行 $A$ 变换产生的列生成空间，记为 $R(A)=\{y=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n\vert X\in C^n\}$

$R(A)=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 或 $R(A)=span(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$

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$r(A)=r(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\overset{\Delta}{=}r(A)\Rightarrow 维数：dimR(A)=r(A)（维数=秩数）$

b. A的核空间

前置知识： $A X = 0$ 的其他通解形式 $X=(I-A^+A)Y,\forall Y\in C^n$

$A=A_{m\times n}$ 的核空间为 $N(A)=\{X\vert AX=0\}\subset C^n=\{X=(I-A^+A)Y\mid \forall Y\in C^n\}\subset C^n$ （解空间）

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

可知， $N(A)=R(I-A^-A)=R(I-A^+A)$ ，则有 $dim N(A)=dim R(I_n-A^-A)=r(I_n-A^+A)$ 由于 $A^-A,A^+A$ 为幂等阵 $r(I_n-A^-A)=r(I_n-A^+A)=n-r(A)$ ，即 $d im N (A) = n - r (A)$

维数公式

$d im N (A) + d im R (A) = n$ 或 $d im N (A) + r (A) = n$ ，即 $d im N (A) = n - r (A)$

c. 正交引理

$C^m$ 中正交引理(列空间中向量的正交向量)

任取 $b\in C^m$ ，令 $x_0=A^+b\in C^n$ ，则 $(b-Ax_0)\bot Ax,\forall x\in C^n$

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

正交子空间

设 $A\in C^{m\times n}$ ，则有 $N(A)\bot R(A^H)$ ，且 $N(A^H)\bot R(A)$

证明：
$\begin{aligned} &任取 y\in N(A),即满足Ay=0。任取A^Hx\in R(A^H),若证N(A)\bot R(A^H) ，则只需证(y,A^Hx)=0,\\ &\because (y,A^Hx)=(A^Hx)^Hy=x^HAy=X^H(Ay)=X^H0=0，即有N(A)\bot R(A^H) \end{aligned}$

$A^H\in C^{n\times m}$ ， $R(A^H)\subset C^n$ , $N(A^H)\subset C^m$ ， $R(A^H)+N(A^H)=C^n$

$C^n$ 中正交引理(核空间的正交向量)

任取 $b\in C^m$ ，令 $x_0=A^+b\in C^n$ ，则 $x_0\bot N(A)$ ，即 $x_0\bot y ,y\in \{y\vert Ay=0\}$

【矩阵论】5. 线性空间与线性变换——生成子空间

证明：
$\begin{aligned} &由于y在A的解空间，则已知Ay=0,要证x_0\bot y,即证内积(y,x_0)=0\\ &(y,x_0)=x_0^Hy=(A^+b)^Hy=(A^+AA^+b)^Hy=(A^+b)^H(A^+A)^Hy=(A^+b)^HA^+Ay=0\\ &\Rightarrow x_0\bot y,即 x_0\bot N(A) \end{aligned}$

$x_0=A^+b$ 为 $A x = b$ 的最小解

$\begin{aligned} &令x_0=A^+b，\forall x\in N(A),Ay=b有通解y= x_0+tx,而\vert y\vert^2=\vert x_0+x\vert^2\\ &\because x_0\bot x,由勾股定理\Rightarrow \vert x_0+x\vert^2=\vert x_0\vert^2+\vert x \vert^2\ge \vert x_0\vert^2 \end{aligned}$
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