前言
本文还是大部分截图来自于：《最適化問題とWildqatを用いた量子アニーリング計算入門》 https://booth.pm/ja/items/1415833
终于有人问到怎么将QUBO中的三次多项式转换为二次多项式了。直接以一个例题开始讲解。中间会用到之前文章里的知识，大家最好读了该系列前两篇之后，再阅读此文。
一、三次多项式的例题
问题：通过量子退火算法求解令下面
H
H
H最小化的
x
1
,
x
2
,
x
3
x_1,x_2,x_3
x1,x2,x3值。
下面讲解如何导出对应的QUBO矩阵。
Step1. 变量替换。
首先，把两个变量的乘积用一个变量替代，这里用 x 4 x_4 x4替代 x 2 x 3 x_2x_3 x2x3。
因为我们使用了上面的变量替换，所以我们要满足以下约束：
Step2. 加入约束项。
上面的约束对应的约束项
H
′
H'
H′如下👇，由
x
2
,
x
3
,
x
4
x_2,x_3,x_4
x2,x3,x4能构成的二次多项式构成。
这里补充一句，在本系列第二篇中，直接给大家列出了常见约束的H表达式，这次我们需要手动推导。大家从头到尾，要谨记一句话：
【我们最终的目标是令目标 H H H最小化的同时，满足约束。所以，约束 H ′ H' H′代入令目标 H H H最小化的变量 x 2 , x 3 , x 4 x_2,x_3,x_4 x2,x3,x4具体值时，也是最小化的。】
于是，接下来所有的变换都是为了寻找 H ′ H' H′的适当的系数（a, b, c, d, e, f）。本系列第二篇中每个常见约束的求解，都经历了寻找对应系数的过程。
Step3. 寻找合适的约束项系数。
我们可以这么想，通过合适的系数（a, b, c, d, e, f），使得 x 2 , x 3 , x 4 x_2,x_3,x_4 x2,x3,x4满足式(2)时，令 H ′ = 0 H'=0 H′=0；不满足式(2)时， H ′ > 0 H'>0 H′>0。那就这么约定了。
-
x
2
x
3
=
x
4
x_2x_3=x_4
x2x3=x4时，如我们约定好的，令
H
′
=
0
H'=0
H′=0，整理如下表：
这时，上表中的 x 2 , x 3 , x 4 x_2,x_3,x_4 x2,x3,x4按行代入式(4)后，对应的只包含系数（a, b, c, d, e, f）的等式如下：
-
x
2
x
3
≠
x
4
x_2x_3≠x_4
x2x3=x4时，如我们约定好的，令
H
′
>
0
H'>0
H′>0，整理入下表：
这个时候， （ k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ） （k_1,k_2,k_3,k_4） （k1,k2,k3,k4）都是比0大的常量。在a=b=0的前提下，把上表中的所有指按行代入式(4)后，得到等式如下：
接下来，我们要寻找合适的
（
k
1
,
k
2
,
k
3
,
k
4
）
（k_1,k_2,k_3,k_4）
（k1,k2,k3,k4），比如下面的两组赋值都不行❌。
于是我们找了很久，终于发现
（
k
1
,
k
2
,
k
3
,
k
4
）
（k_1,k_2,k_3,k_4）
（k1,k2,k3,k4）如下👇取值时，满足约束。
Step4. 获得确定系数的约束项 H ′ H' H′。
把已经确定的（a, b, c, d, e, f）和 （ k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ） （k_1,k_2,k_3,k_4） （k1,k2,k3,k4）代入式(4)就行了。得到最终的 H ′ H' H′如下：
Step5. 获得最终的二次多项式
H
H
H。
这里就不必多说了，别忘了还有个
λ
\lambda
λ 系数，需要手动指定。
我们把
λ
\lambda
λ =1，代入上式，得到下面最终的QUBO矩阵。
二、Python实现
1.引入库
import wildqat as wq
import numpy as np
H_A = np.array([
[1,0,0,-1],
[0,0,0,0],
[0,0,0,0],
[0,0,0,0]])
H_A = np.array([
[0,0,0,0],
[0,0,1,-2],
[0,0,0,-2],
[0,0,0,3]])
k, l = 1, 1
a = wq.opt()
a.qubo = k * H_A + l * H_B
for i in range(5):
print("x = {}".format(a.sa()))
print("H = {}".format(a.E(-1)))
结果打印如下，有兴趣的可以看看，取值是否满足约束。
总结
提示：写的比较匆忙，可能有很多错误，大家发现了留言告诉我：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-413070.html
还是挺麻烦的，不过不难理解，是可以写程序自动化的，这也是为什么我们需要pyqubo这中自动化转换QUBO的程序。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-413070.html
到了这里，关于量子退火算法入门（7）：如何QUBO中的三次多项式怎么转换？的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
