【统计】假设检验方法 一、方差齐性检验

前言

1. 不同检验方法最小样本量的确认

由统计量反推得到

2. 检验方法

• 方差齐性检验（F检验）：两个独立样本的方差差异检验，反映了平均值的代表性。方差齐次检验前提要近似正态分布。
• 正态性检验：是否符合正态分布
• 似然比检验：比较样本不同似然函数，检验其分布

参数检验基于共同的两个假设：正态性假定，方差齐性假定

一、方差齐性检验

方差齐性指不同组间的总体方差是一样的。而方差分析的前提是要组间的总体方差保持一致。先想想方差分析是做什么呢？方差分析是用来比较多组之间均值是否存在显著差异。那如果方差不一致，也就意味着值的波动程度是不一样的，如果此时均值之间存在显著差异，不能够说明一定是不同组间处理带来的，有可能是大方差带来大的波动；如果方差一样，也就意味着值的波动程度是一样的，在相同波动程度下，直接去比较均值，如果均值之间存在显著差异，那么可以认为是不同组间处理带来的。

1.1 方差比

两组方差的比，用较大一组的方差除较小一组的方差，最后得到一个F值，然后根据F值的大小来判断两组之间的方差是否相等。F值越大，则认为两组方差越不相等。

1.2 Hartley检验

Hartley检验与方差比的思想比较类似，差别在于Hartley检验用于多组方差的检验，用多组中最大的方差除最小的方差，得到一个F值，然后通过F值的判断来对方差齐性进行判断。

1.3 Levene检验

Levene检验是将每个值先转换为为该值与其组内均值的偏离程度，然后再用转换后的偏离程度去做方差分析，即组间方差/组内方差, F检验。

1.4 BF法

Levene检验最开始计算组内均值的时候只是用了组内平均数, BF法添加了中位数和截取均值的方法

1.5 Bartlett检验

Bartlett检验的核心思想是通过求取不同组之间的卡方统计量，然后根据卡方统计量的值来判断组间方差是否相等。该方法极度依赖于数据是正态分布，如果数据非正态分布，则的出来的结果偏差很大。

二、似然比检验

似然比检验的原假设H0是：θ=θ0，备择假设H1：θ=θ1，其中θ0是θ1的子集。

似然比表示θ取不同值对应的似然函数的比值。如果λ很大，说明参数θ=θ1时对应的似然性要比θ=θ0时对应的似然性大。此时，更倾向于拒绝H0假设；反之，若此值较小，说明参数θ=θ0时对应的似然性要比θ=θ1时对应的似然性大，更倾向于接受H0假设。

那λ到底大于多少算大，小于多少算小呢？这个时候就需要有个临界值λ0，如果λ>λ0，那么就拒绝H0假设。

接下来的问题就是求取λ0，要临界值λ0，必须知道当H0成立时λ的分布，当n足够大时，λ是服从卡方分布的，知道分布，然后再根据显著性水平α就可以计算出临界值了。
 

三、异常值检验

1. Q检验

Q检验又称舍弃商法，主要是用来对可疑值(异常值)进行取舍判断的。

Q检验的核心思想其实和t检验的核心思想是一致的，都是用来检验不同的观测值之间是否有显著差异，即是否来自于同一总体，如果差异不显著，则说明是来自于同一总体，否则就不是。

• step1：将所有观测数据按照从小到大的顺序进行排列
• step2：求最大值与最小值之间的差值，称为极差
• step3：计算想删除值与其相邻值之间差值的绝对值
• step4：用step3算出来的值除step2算出的值，该值就是q统计量
• step5：根据观测值个数以及置信水平，查q值表
• step6：比较q统计量与q值表中查出的结果，如果q统计量小于q值表查出来的结果，则不应该删除，否则就可以删除

Q检验除了被用在要不要剔除异常值以外，还主要用在多重比较中，比如有多个组别，需要判断各个组别两两之间的差异程度时也会用到。或者时间序列的白噪声检验

多重比较法的一种：LSD（最小显著差异方法，least significant difference）

具体步骤：

1.提出假设：H0：两组之间无差异；H1：两组之间有差异。
2.计算检验统计量：两组均值之差的绝对值。
3.计算LSD，公式为：

tα/2为t分布的临界值，通过查t分布表得到，其自由度为n-k，n为样本总数，k为因素中不同水平的水平个数；MSE为组内方差；ni和nj分别为第i个样本和j个样本的样本量。
4.根据显著性水平α做作出决策，如果均值之差的绝对值大于LSD，则拒绝H0，否则不拒绝H0。

2. Grubbs' Test

Grubbs检验用于检测单变量数据集中的单个异常值，该单变量数据集遵循近似正态分布。

如果怀疑可能存在多个异常值，建议使用Tietjen-Moore检验或广义极端学生化偏差检验而不是Grubbs检验。（Grubbs必须反复执行以筛选多个离群值）

Grubbs检验也称为最大标准残差检验。实际上，Grubbs' Test可理解为检验最大值、最小值偏离均值的程度是否为异常。

H0：数据集中没有异常值
H1：数据集中只有一个异常值

四、正态性检验

对于正态性检验，建议首先利用直方图或核密度估计得到样本数据的分布图，若分布严重偏态或尖峰，可认为其不是来自于正态分布；若根据直方图或核密估计分布不容易做出判断，再利用各检验方法对其检验。

SPSS 规定：当样本含量 3≤n≤5000 时，结果以 Shapiro—Wilk(W 检验) 为准，当样本含量 n>5000 结果以 Kolmogorm —Smimov(D 检验，修正后的KS检验，即Lillie检验，见2.2.3) 为准。
SAS 规定：当样本含量 n≤2000 时，结果以 Shapim—Wilk(W 检验) 为准，当样本含量 n>2000 时，结果以 Kolmogorov—Smimov(D 检验，修正后的KS检验) 为准。

1. 描述统计方法

• Q-Q图：x轴为分位数，y轴为分位数对应的样本值
• P-P图：QQ图y轴是具体的分位数对应的样本值，而P-P图是累计概率
• 直方图
• 茎叶图

#QQ图
from scipy import stats
stats.probplot(x, dist="norm", plot=plt)

#R语言 -QQ图
library(car)
qqnorm(x)

2. 统计检验方法

2.1 SW检验

S就是偏度（Skewness），W就是峰度（Kurtosis）

偏度用来描述数据分布的对称性，正态分布的偏度为0。计算数据样本的偏度，当偏度<0时，称为负偏，数据出现左侧长尾；当偏度>0时，称为正偏，数据出现右侧长尾；当偏度为0时，表示数据相对均匀的分布在平均值两侧，不一定是绝对的对称分布，此时要与正态分布偏度为0的情况进行区分。当偏度绝对值过大时，长尾的一侧出现极端值的可能性较高。

峰度用来描述数据分布陡峭或是平滑的情况。正态分布的峰度为3，峰度越大，代表分布越陡峭，尾部越厚；峰度越小，分布越平滑。很多情况下，为方便计算，将峰度值－3，因此正态分布的峰度变为0，方便比较。在方差相同的情况下，峰度越大，存在极端值的可能性越高。

s = pd.Series(data)
print(s.skew())  #偏度计算
print(s.kurt())  #峰度计算

2.2 Kolmogorov-Smirnor检验（KS检验）

KS检验是基于样本累积分布函数来进行判断的。可以用于判断某个样本集是否符合某个已知分布，也可以用于检验两个样本之间的显著性差异。

如果是判断某个样本是否符合某个已知分布，比如正态分布，则需要先计算出标准正态分布的累计分布函数，然后在计算样本集的累计分布函数。两个函数之间在不同的取值处会有不同的差值。我们只需要找出来差值最大的那个点D。然后基于样本集的样本数和显著性水平找到差值边界值(类似于t检验的边界值)。判断边界值和D的关系，如果D小于边界值，则可以认为样本的分布符合已知分布，否则不可以。

Dn​=max(累计频率−理论分布)
D值越小越接近正态分布

#Python
from scipy import stats
stats.kstest(x, 'norm', (x.mean(), x.std())) 

#R
ks.test(x, "pnorm",mean(x),sd(x))
#x为要检验的样本数据，其函数默认修改的精确公式、双边检验。
#需要大样本近似命令中加exact = F；
#单边我们可以用alternative = "less"或alternative= "greater"选择。

2.3 Anderson-Darling检验（AD检验）

AD检验是在KS基础上进行改造的，KS检验只考虑了两个分布之间差值最大的那个点，但是这容易受异常值的影响。AD检验考虑了分布上每个点处的差值。

2.4 Shapiro-Wilk检验（W检验）

W检验(Shapiro-Wilk的简称)是基于两个分布的相关性来进行判断，会得出一个类似于皮尔逊相关系数的值。值越大接近1，说明两个分布越相关，越符合某个分布。

原假设正态性， 当p值小于某个显著性水平，则认为不是正态分布

#python
from scipy import stats
stats.shapiro(x)

#R
shapiro.test(x)

2.5 Jarque-Bera (JB)检验（时间序列中常用）

JB检验线性回归模型的残差是否符合正态分布。

原假设H0：模型残差e服从正态分布

Prob(JB)<0.05：显著=>拒绝原假设H0=>模型残差e不服从正态分布

Prob(JB)>0.05：不显著=>不能拒绝原假设H0=>模型残差e服从正态分布

import scipy.stats as ss
ss.jarque_bera(y)

五、一致性检验

1. Kappa一致性检验

检验条件：行和列均反应同一事物某一属性的相同水平

检验目的：检验两种角度对同一事物的判断是否一致

Kappa一致性检验样本为两变量多分类，Kendall’s W 检验样本为多列有序变量

from sklearn.metrics import cohen_kappa_score

2. Kendall’s W 检验

检验目的：检验3个及以上角度对同一事物判断是否一致

检验条件：

• 1）观察者不少于3人，判定结果是连续变量或有序分类变量。
• 2）不同观测者判定的对象相同；
• 3）观察者之间相互独立。

W系数：Kendall cofficient of concordance

代码例子：

import numpy as np
from collections import Counter

def getT(A):
        T = []

        for a in A:
                C = Counter(a)
                E = list(C.keys())
                F = list(C.values())
                G = np.arange(0, len(E))
                u = 0
                for b in G:
                        if(F[b] > 1):
                                u += (F[b]**3 - F[b])
                T.append(u)

        return np.array(T)

A = np.array([[3, 1, 2, 5, 4, 6],
                [2, 1, 3, 4, 5, 6],
                [3, 2, 1, 5, 4, 6],
                [4, 1, 2, 6, 3, 5],
                [3, 1, 2, 6, 4, 5],
                [4, 2, 1, 5, 3, 6]]);

k = len(A)
n = len(A[0])
R = A.sum(axis=0)
S = np.square(R).sum() - np.square(R.sum()) / n
T = getT(A)
W = 12 * S / (np.square(k) * (n**3 - n) - k * T.sum())

print(W)

六、相关性检验

1. KMO(Kaiser-Meyer-Olkin) 检验

比较变量间简单相关系数和偏相关系数的指标。如果原始数据中确实存在公共因子，则各变量之间的偏相关系数应该很小，这时，KMO的值接近于1，因此，原数据适用于因子分析

2. Bartlett 球度检验

H0：相关系数矩阵是单位矩阵（变量不相关）

H1：相关系数矩阵不是单位矩阵（变量相关）

巴特利特球度检验的统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到的，如果显著性水平小于给定的α，那么应该拒绝零假设，即原始变量之间存在相关性，适合于做主成份分析；相反，不宜于做主成分分析。

3. Kendall Ranking Correlation(肯德尔Ranking相关系数)

from scipy.stats import kendalltau

七、独立性检验

1. 皮尔逊卡方检验 Pearson's chi-squared test

广泛应用于分类变量（categorical data）的独立性检验中，也可用于分类变量的比较检验中。这两种检验都需要用到R×C列联表（R×C contingency table），其中R表示行（Row），C表示列（Column）。本文只讨论行列变量都是无序变量的情形，最简单的情形是行与列都是二分类无序变量，这样的数据也称为四格表资料。

一文详解卡方检验 - 知乎

八. 参数检验

• 单样本t检验
• 两样本t检验 (方差齐性使用levene检验)
• 配对样本t检验
• 方差分析(Anasis Of Variance, ANOVA)

九. 非参数检验

• Mann-Whitney U Test (曼惠特尼U检验)
• Wilcoxon Signed-Rank Test
• Kruskal-Wallis H Test (K-W检验)
• Friedman Test (弗里德曼检验)
• Kolmogorv-Smirnov Test (K-S检验)

十. 时间序列平稳性检验

• Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test (单位根检验)
• Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin Test

十一. 时空交互检验

Knox时空交互模型：Knox法是一种全局时空聚集探测方法[30]。它首先人为设定空间阈值s和时间阈值t，将所有事件点两两配对，并计算空间距离sij和时间距离tij。当sij≤s时，认为事件点空间邻近；当tij≤t时，认为事件点时间邻近。根据事件是否时空邻近，对不同类别的事件对数进行计数，其中时空邻近事件对数即为Knox指数，假设检验采用χ2检验。

基于时空密度的聚类方法：时空扫描统计需要预先假定数据的概率分布模型，且结果受扫描窗口的影响较大，不能详细描述时空簇的位置和形状信息[38]。为了克服这些问题，近年来，越来越多基于时空密度的聚类方法被提出。时空密度聚类是空间密度聚类在时空域上的扩展，采用密度作为实体间相似性的度量标准，将时空簇看作一系列被低密度区域（噪声）分割的高密度连通区域[39]，其中最常用的方法是ST-DBSCAN。

ST-DBSCAN法由DBSCAN增加时间维度扩展而来，其假设i和j为直接密度可达的两个核心点，如果两个核心点的邻域的非空间属性平均距离小于阈值，则对这两个邻域进行聚类[40]。ST-DBSCAN不需要预先假设数据的分布模型，且可以检测任意形状的聚集簇。目前该法多应用于道路交通领域，在疾病聚集方面的应用尚处于起步阶段。Guo等[41]采用ST-DBSCAN对2005－2011年中国狂犬病病例进行分析，共检测到480个聚类。该法存在的不足是需要设定空间、时间、非空间距离阈值和密度阈值，DBSCAN对用户定义的参数很敏感，因此如何选取合适的参数十分关键。很多研究对此提出解决对策，如基于窗口最近邻法[42]、自适应法[43]等确定阈值。基于时空密度的聚类方法是目前研究的热点，新方法不断提出，如时空不规则聚类法[44]、时空有序点识别聚类结构[45]、Bregman Block共聚类算法[46]等。

疾病时空聚集分析的研究与进展

Knox时空交互检验空间阈值确定方法

References

https://blog.csdn.net/junhongzhang/category_11501188.html

最小样本量n的选择 - 知乎

正态性检验方法汇总_米竹的博客-CSDN博客_正态性检验

Python代码

基于Python的19种假设检验实现 - 知乎文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-413239.html

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