多项式混沌展开法-Toy模板网

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简介及基本原理

多项式混沌采用多项式基组合成随机空间，来描述和传播随机变量的不确定性。本质是利用正交多项式的优异性能，通过随机变量的输入到响应的映射过程建立代理模型。该方法收敛性好，使用方便，能较好的适用于复杂的系统。但是该方法理论难度高，多元情况下正交多项式形式复杂，难以程序化、模块化。因此，得到便于程序实现的多项式通项形式，也成为了现研究的重点。
对于任意的随机变量，只要它的概率密度函数(PDF) 多项式混沌展开法满足：

则该变量能表示为一系列独立的标准随机变量的函数。对于大部分机械结构问题，都满足这种特性。内积空间中，给定一组完备正交基，给定的任意向量都可以由这组正交基表示。当向量为函数时，也可由一组正交函数基表示出来。
考虑随机变量的分布形式为标准正态分布，采用与之对应的Hermite正交多项式基Hn，其两个正交多项式内积为：
多项式混沌展开法
由正交多项式性质，其满足：

其中，fx为权函数，需满足非负可积。这些多项式构成了一组标准的正交函数基，因此任意给定函数R都可以展开为如下形式：

Ci为待定系数。
在结构可靠度分析中R可以代替功能函数，在不确定性传播中R可以代替响应函数。
Hermite正交多项式可以由下式给出：
多项式混沌展开法
例如，当为二维随机变量时，Hermite多项式为如下形式：

由此，任意给定函数写成：

在实际工程中我们将其取到有限阶p阶，则

其中，
，n为随机变量的维数。
这样就建立好了所需函数的代理模型，我们可以根据各个输入和响应代入该模型，就可以求得改模型的各项系数。
当我们处理不确定传播问题时，可以利用各种抽样方法得到响应的不确定性参量，因为代理模型为多项式组合，计算成本低。