华里士公式的推导及其推广

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华里士公式的推导及其推广

基础知识

华里士公式

I n = ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x = { n − 1 n n − 3 n − 2 ⋯ 2 3 n   i s   o d d , n − 1 n n − 3 n − 2 ⋯ 1 2 π 2 n   i s   e v e n \Large \begin{aligned} I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n{x} \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} &&n\ is\ odd,\\ \\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} &&n\ is\ even \end{cases} \end{aligned} In=02πsinnxdx=02πcosnxdx=nn1n2n332nn1n2n3212πn is odd,n is even

基础公式的推导

仅以 sin ⁡ n x \sin^n{x} sinnx为例,有
I n = − ∫ 0 π 2 sin ⁡ n − 1 x d cos ⁡ x = − sin ⁡ n − 1 x ⋅ cos ⁡ x ∣ 0 π 2 + ∫ 0 π 2 ( n − 1 ) ⋅ cos ⁡ 2 x ⋅ sin ⁡ n − 2 x d x = ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 ( 1 − sin ⁡ 2 x ) ⋅ sin ⁡ n − 2 x d x = ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n \large \begin{aligned} I_n &= -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}{x} \mathrm{d}{\cos{x}} \\[2ex] &= -\left. \sin^{n-1}x\cdot\cos{x} \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (n - 1)\cdot\cos^2{x} \cdot \sin^{n-2}{x} \mathrm{d}{x} \\[2ex] &= (n-1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^2{x}) \cdot \sin^{n-2}{x} \mathrm{d}x \\[2ex] &= (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n \end{aligned} In=02πsinn1xdcosx=sinn1xcosx02π+02π(n1)cos2xsinn2xdx=(n1)02π(1sin2x)sinn2xdx=(n1)In2(n1)In

I n = n − 1 n I n − 2 \Large I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2} In=nn1In2
分情况讨论,求出通项公式,即可得原式成立。

华里士公式的推广

推广公式

∫ 0 m 2 π sin ⁡ n x d x = { m I n n   i s   e v e n , I n n   i s   o d d ,    m = 2 k + 1 , 2 I n n   i s   o d d ,    m = 4 k + 2 , 0 n   i s   o d d ,    m = 4 k \Large \begin{aligned} &\int_{0}^{\frac{m}{2}{\pi}} \sin^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases} m I_n &n\ is\ even,\\ \\ I_n &n\ is\ odd,\ \ m=2k+1,\\ \\ 2I_n &n\ is\ odd,\ \ m=4k+2,\\ \\ 0 &n\ is\ odd,\ \ m=4k \end{cases} \end{aligned} 02mπsinnxdx=mInIn2In0n is even,n is odd,  m=2k+1,n is odd,  m=4k+2,n is odd,  m=4k

∫ 0 m 2 π cos ⁡ n x d x = { m I n n   i s   e v e n , I n n   i s   o d d ,    m = 4 k + 1 , − I n n   i s   o d d ,    m = 4 k + 3 , 0 n   i s   o d d ,    m = 2 k \Large \begin{aligned} &\int_{0}^{\frac{m}{2}{\pi}} \cos^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases} m I_n &n\ is\ even,\\ \\ I_n &n\ is\ odd,\ \ m=4k+1,\\ \\ -I_n &n\ is\ odd,\ \ m=4k+3,\\ \\ 0 &n\ is\ odd, \ \ m=2k \end{cases} \end{aligned} 02mπcosnxdx=mInInIn0n is even,n is odd,  m=4k+1,n is odd,  m=4k+3,n is odd,  m=2k

m = 1 m=1 m=1 时,该公式退化为原华里士公式。

推广公式的图像理解

这是 f ( x ) = sin ⁡ 3 x f(x)=\sin^3x f(x)=sin3x 的图像(对应n为奇数时的情况):

华里士公式的推导及其推广

由图可知, f ( x ) f(x) f(x) 是以 2 π 2\pi 2π 为周期的周期函数,且函数在 [ 0 , π 2 ] [0, \frac{\pi}{2}] [0,2π] [ π 2 , π ] [\frac{\pi}{2}, \pi] [2π,π] 的部分各自与x轴围成的面积相等,函数在 [ 0 , π ] [0, \pi] [0,π] [ π , 2 π ] [\pi, 2\pi] [π,2π] 的部分各自与x轴围成的面积也相等。

这是 f ( x ) = sin ⁡ 4 x f(x)=\sin^4x f(x)=sin4x 的图像(对应n为偶数时的情况):

华里士公式的推导及其推广

由图可知, f ( x ) f(x) f(x) 是以 π \pi π 为周期的周期函数,且函数在 [ 0 , π 2 ] [0, \frac{\pi}{2}] [0,2π] [ π 2 , π ] [\frac{\pi}{2}, \pi] [2π,π] 的部分各自与x轴围成的面积相等。

故无论m的值为多少,积分值都是 [ 0 , π 2 ] [0, \frac{\pi}{2}] [0,2π] m m m 倍。

推广公式的特例

m=2

∫ 0 π sin ⁡ n x d x = 2 I n ∫ 0 π cos ⁡ n x d x = { 2 I n n   i s   e v e n 0 n   i s   o d d \Large \begin{aligned} &\int_{0}^{\pi} \sin^n{x} \mathrm{d}x = 2I_n \\[4ex] \Large &\int_{0}^{\pi} \cos^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases} 2I_n \quad &n\ is\ even \\[2ex] 0 \quad &n\ is\ odd \end{cases} \end{aligned} 0πsinnxdx=2In0πcosnxdx=2In0n is evenn is odd

m=4

∫ 0 2 π sin ⁡ n x d x = ∫ 0 2 π cos ⁡ n x d x = { 4 I n n   i s   e v e n 0 n   i s   o d d \Large \begin{aligned} \int_{0}^{2\pi} \sin^n{x} \mathrm{d}x = \int_{0}^{2\pi} \cos^n{x} \mathrm{d}x = \begin{cases} 4I_n \quad &n\ is\ even \\[2ex] 0 \quad &n\ is\ odd \end{cases} \end{aligned} 02πsinnxdx=02πcosnxdx=4In0n is evenn is odd文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-414201.html

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