大家好，我是晓星航。今天为大家带来的是 Java优先级队列(堆) 的讲解！😀
💐1. 二叉树的顺序存储💐
🎃 1.1 存储方式🎃
使用数组保存二叉树结构，方式即将二叉树用层序遍历方式放入数组中。
一般只适合表示完全二叉树，因为非完全二叉树会有空间的浪费。
这种方式的主要用法就是堆的表示。
👻1.2 下标关系👻
已知双亲(parent)的下标，则：
左孩子(left)下标 = 2 * parent + 1;
右孩子(right)下标 = 2 * parent + 2;
已知孩子（不区分左右）(child)下标，则：
双亲(parent)下标 = (child - 1) / 2;
🌸2. 堆(heap)🌸
🌞2.1 概念🌞
- 堆逻辑上是一棵完全二叉树
- 堆物理上是保存在数组中
- 满足任意结点的值都大于其子树中结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者最大堆
- 反之，则是小堆，或者小根堆，或者最小堆：每根二叉树的根结点都小于左右孩子节点
- 堆的基本作用是，快速找集合中的最值
🌝2.2 操作-向下调整🌝
**前提：**左右子树必须已经是一个堆，才能调整。
说明：
- array 代表存储堆的数组
- size 代表数组中被视为堆数据的个数
- index 代表要调整位置的下标
- left 代表 index 左孩子下标
- right 代表 index 右孩子下标
- min 代表 index 的最小值孩子的下标
过程（以小堆为例）：
-
index 如果已经是叶子结点，则整个调整过程结束
-
- 判断 index 位置有没有孩子
- 因为堆是完全二叉树，没有左孩子就一定没有右孩子，所以判断是否有左孩子
- 因为堆的存储结构是数组，所以判断是否有左孩子即判断左孩子下标是否越界，即 left >= size 越界
-
确定 left 或 right，谁是 index 的最小孩子 min
-
- 如果右孩子不存在，则 min = left
- 否则，比较 array[left] 和 array[right] 值得大小，选择小的为 min
-
比较 array[index] 的值 和 array[min] 的值，如果 array[index] <= array[min]，则满足堆的性质，调整结束
-
否则，交换 array[index] 和 array[min] 的值
-
然后因为 min 位置的堆的性质可能被破坏，所以把 min 视作 index，向下重复以上过程
图示：
// 调整前
int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
// 调整后
int[] array = { 15,18,19,25,28,34,65,49,27,37 };
时间复杂度分析：
最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度
即时间复杂度为 O(log(n))
代码：
/**
* 向下调整函数的实现
* @param parent 每棵树的根节点
* @param len 每棵树的调整的结束位置
*/
public void shiftDown(int parent,int len) {
int child = parent * 2 + 1;
//至少有一个左孩子
while (child < len) {
if (child + 1 < len && elem[child] < elem[child + 1]) {
child++;//保证为左右子节点的最大值
}
if (elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
} else {
break;
}
}
}
🌚2.3操作-向上调整🌚
同理向上调整的代码为：
/**
* 向上调整函数实现
* @param child 添加的子树来进行判断调整
*/
private void shiftUp(int child) {
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0) {
if (elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
} else {
break;
}
}
}
public void offer (int val) {
if (isFull()) {
//扩容
elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
}
elem[usedSize++] = val;
shiftUp(usedSize - 1);
}
public boolean isFull() {
return usedSize == elem.length;
}
此代码为传入一个新的子树，然后进行向上调整 即offer一个新元素，在添加完毕后我们将其按照大堆排好。
🌐2.4 操作-建堆🌐
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
图示（以大堆为例）：
// 建堆前
int[] array = { 1,5,3,8,7,6 };
// 建堆后
int[] array = { 8,7,6,5,1,3 };
时间复杂度分析：
粗略估算，可以认为是在循环中执行向下调整，为 O(n * log(n))
（了解）实际上是 O(n)
堆排序中建堆过程时间复杂度O(n)怎么来的？
代码：
public static void createHeap(int[] array, int size) {
for (int i = (size - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) {
shiftDown(array, size, i);
}
}
🌷3. 堆的应用-优先级队列🌷
📕3.1 概念📕
在很多应用中，我们通常需要按照优先级情况对待处理对象进行处理，比如首先处理优先级最高的对象，然后处理次高的对象。最简单的一个例子就是，在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话。
在这种情况下，我们的数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)
📗3.2 内部原理📗
优先级队列的实现方式有很多，但最常见的是使用堆来构建。
📘3.3 操作-入队列📘
过程（以大堆为例）：
- 首先按尾插方式放入数组
- 比较其和其双亲的值的大小，如果双亲的值大，则满足堆的性质，插入结束
- 否则，交换其和双亲位置的值，重新进行 2、3 步骤
- 直到根结点
图示：
代码：
public static void shiftUp(int[] array, int index) {
while (index > 0) {
int parent = (index - 1) / 2;
if (array[parent] >= array[index]) {
break;
}
int t = array[parent];
array[parent] = array[index];
array[index] = t;
index = parent;
}
}
📙3.4 操作-出队列（优先级最高）📙
为了防止破坏堆的结构，删除时并不是直接将堆顶元素删除，而是用数组的最后一个元素替换堆顶元素，然后通过向下调整方式重新调整成堆
第一步：交换0下标和最后一个元素
第二步：调整0下标这棵树就可以了
📓3.5 返回队首元素（优先级最高）📓
返回堆顶元素即可
📔3.6 代码📔
public class MyPriorityQueue {
// 演示作用，不再考虑扩容部分的代码
private int[] elem = new int[100];
private int usedSize;
public void offer (int val) {
if (isFull()) {
//扩容
elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
}
elem[usedSize++] = val;
shiftUp(usedSize - 1);
}
public boolean isFull() {
return usedSize == elem.length;
}
public int poll() {
if (isEmpty()) {
throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
}
int tmp = elem[0];
elem[0] = elem[usedSize - 1];
elem[usedSize - 1] = tmp;
usedSize--;
shiftDown(0,usedSize);
return tmp;
}
public int peek() {
if (isEmpty()) {
throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
}
return elem[0];
}
public boolean isEmpty() {
return usedSize == 0;
}
}
📒3.7 java 中的优先级队列📒
PriorityQueue implements Queue
🍀4. 堆的其他应用-TopK 问题🍀
拜托，面试别再问我TopK了！！！
关键记得，找前 K 个最大的，要建 K 个大小的小堆
topK问题：给你100万个数据，让你找到前10个最大的元素。
思路一：对整体进行排序，输出前10个最大的元素。
思路二：用堆，即弹出10个最大的元素即可
思路三：
1、先把前3个元素，创建为小根堆
2、当前的堆为什么是小根堆，因为堆顶的元素，一定是当前K个元素当中最小的一个元素。如果有元素X比堆顶元素大，那么X这个元素，可能就是topK中的一个。
相反，如果是大根堆，那就不一定了
3、如果堆顶元素小，那么出堆顶元素，然后入当前比堆顶元素大的元素，再次调整为小根堆
时间复杂度：n*logn
总结：
1、如果要求前K个最大的元素，要建一个小根堆。(方便弹出堆顶的最小元素，然后重新排序为小根堆)
2、如果要求前K个最小的元素，要建一个大根堆。(方便弹出堆顶的最大元素，然后重新排序为大根堆)
3、第K大的元素。建一个小根堆，堆顶元素就是第K大的元素，堆内的元素就是前K个最大的元素。(X比堆顶元素大就放进去，然后重新排序为小根堆)
4、第K小的元素。建一个大根堆，堆顶元素就是第K小的元素，堆内的元素就是前K个最小的元素。(X比堆顶元素小就放进去，然后重新排序为大根堆)
例题：求前K个最小的元素：
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;
/**
* Created with IntelliJ IDEA.
* Description:
* User: 晓星航
* Date: 2023-04-12
* Time: 19:07
*/
public class TopK {
/**
* 求数组当中的前K个最小的元素
* @param array
* @param k
* @return
*/
public static int[] topK(int[]array, int k) {
//1、创建一个大小为K的大根堆
PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<Integer>() {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2-o1;
}
});
//2、遍历数组当中的元素，前k个元素放到队列当中
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
if (maxHeap.size() < k) {
maxHeap.offer(array[i]);
} else {
//3、从第k+1个元素开始，每个元素和堆顶元素进行比较
int top = maxHeap.peek();
if (top > array[i]) {
//3.1先弹出
maxHeap.poll();
//3.2后存入 注：offer时我们的堆重新自动排序为大根堆
maxHeap.offer(array[i]);
}
}
}
//创建数组tmp来依次接受我们的maxHeap大根堆排序好的值
int[] tmp = new int[k];
for (int i = 0; i < k; i++) {
tmp[i] = maxHeap.poll();
}
return tmp;
}
public static void main(String[] args) {
int[] array = {18,21,8,10,34,12};
int[] tmp = topK(array,4);
System.out.println(Arrays.toString(tmp));
}
}
🌹 5. 面试题🌹
查找和最小的K对数字
import java.util.*;
class Solution {
public List<List<Integer>> kSmallestPairs(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
PriorityQueue<List<Integer>> maxHeap = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<List<Integer>>() {
@Override
public int compare(List<Integer> o1, List<Integer> o2) {
return (o2.get(0)+o2.get(1)) - (o1.get(0)+o1.get(1));
}
});
for (int i = 0; i < Math.min(nums1.length,k); i++) {
for (int j = 0; j < Math.min(nums2.length,k); j++) {
if (maxHeap.size() < k) {
List<Integer> tmpList = new ArrayList<>();
tmpList.add(nums1[i]);
tmpList.add(nums2[j]);
maxHeap.offer(tmpList);
} else {
int top = maxHeap.peek().get(0) + maxHeap.peek().get(1);
if (top > nums1[i] + nums2[j]) {
maxHeap.poll();
List<Integer> tmpList = new ArrayList<>();
tmpList.add(nums1[i]);
tmpList.add(nums2[j]);
maxHeap.offer(tmpList);
}
}
}
}
List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < k && !maxHeap.isEmpty(); i++) {
ret.add(maxHeap.poll());
}
return ret;
}
}
🌻6. 堆的其他应用-堆排序🌻
问：如果要将堆从小到大进行排列，我们应该选择大根堆还是小根堆来进行排序？
答：使用大根堆来进行排序、
思路如下：
1、调整为大根堆
2、0小标和最后1个未排序的元素进行交换即可
由上图可知当所有元素弹出后，我们的数组便自动排成了从小到大的顺序。
3、end–文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-414976.html
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