2020第11届蓝桥杯矩阵的真·详细题解-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了2020第11届蓝桥杯矩阵的真·详细题解。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前言

本文章主要面向算法初学者、蓝桥杯参赛者。

今天重温一手第十三届的统计子矩阵，搜索的时候发现了第十一届的矩阵题，然后看了下网上的文章，好家伙！全网对于此题没有高质量的文章和解答思路，全是贴个代码最多说一两句别的话，代码里注释都没几行，对于初学者而言简直是灾难， 下午整理了下思路，现在我会分享我的思路，以及如何从思路转变为代码。

一、从简单样例入手，解释为什么选择DP动态规划解法

原题大意如下：
把 1 ∼ 2020 放在 2 × 1010 的矩阵里。要求同一行中右边的数字比左边数字大，同一列中下边的数字比上边的数字大。一共有多少种方案？
答案很大，你只需要给出方案数除以 2020 的余数即可。

我们先别想解答2020个数，那个太漫长，我们可以先想想，如果我只需要排列几个数字，比如2个数呢，他们分别是1、2，这2个数分配到2行有什么结果呢？
1、2 ------两种排列，其中第一行2个第二行0个出现1次，第一行1个第二行1个出现1次
第一行：1、2 1
第二行：无 2
如果是3个数字呢？1、2、3？
1、2、3 ------三种排列，第一行3个第二行0个数字出现1次，第一行2个第二行1个数字出现2次
第一行：1、2、3 1、2 1、3
第二行：无 3 2
4个数字？1、2、3、4？
1、2、3、4 ------六种排列，第一行4个第二行0个数字出现1次，第一行3个第二行1个数字出现3次，第一行2个第二行2个数字出现2次
第一行：1、2、3、4 1、2、3 1、2、4 1、3、4 1、2 1、3
第二行：无 4 3 2 3、4 2、4

乍一看，里面似乎蕴含着这么一种规律：前一种情况会作为后一种情况的基础，比如一开始的1、2到1、2、3到1、2、3、4，三个数字的1、2 + 3会出现在四个数字的1、2 + 3、4里，新加入的数字总是继承前一种结果，然后会“粘”在前一种情况的某一行的后面，判断合法后形成本次数字的结果。
好像有点绕？看看下图吧
2020第11届蓝桥杯矩阵的真·详细题解

啊哈！现在看到这种规则，后一个结果由前一个结果得来的思路，恰恰符合动态规划DP的思路，一个一个结果继承，到最后就是想要的2020个数字的结果啦！

注意！千万不要陷进去找全部的数字排列，题目要找的是这2020个数字，每行装1010个数字的情况下一共有几个排列结果。第一行有1、2、3或者1、3、4，不用管是哪种排列，你应当都看成第一行有3个数字。这是我当初纠结了一会的点。

当第一行数字个数==第二行数字个数，说明最新的数加在了第二行，结果会与同等第一行数字但第二行数字个数-1的情况相同。
当第一行数字个数>第二行数字个数，说明可能是最新数字加在第一行或者第二行，都符合规则就加一起。
若第一行数字个数<第二行数字个数，非法，违反了题意直接毙掉。
动态状态方程：
i、j分别为第一行的数字和第二行的数字下，
当i == j，dp[i][j]=dp[i][j-1]，
当i > j，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

二、答案与代码实现(C++)

#include<iostream>
using namespace std;
/*
dp[i][j] i为第一行的个数 j为第二行的数字个数
研究发现(其实是在纸上自己写)：dp[2][1] = 2  dp[2][2] = 2  dp[3][0] = 1  dp[3][1] = 3  dp[3][2]=5
即当i>j  dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
而当i==j dp[i][j] = dp[i][j-1]
不存在i<j，因为题目规则限定了第一行一定不小于第二行的数字个数。
*/

// 小技巧: 把要开很大的数组放main外面不会把栈空间撑爆. 
int dp[1011][1011];// 每一项初始值是0 
int main() {
	// 问题都是从小到大的，一开始排1个数，然后2个数，3个数...一直到排2020个数
	// dp[i][j] i为第一行的数字个数，j是第二行的数字个数，规则为i>j或i==j
	for (int i = 0; i <= 1010; i++) {
		// dp[i][0] 就是数字只放第一行，被限制死了排序，只能一路都是 右>左，12345... 134...
		// 所以只有1个排序结果 
		dp[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= 1010; j++) {
			// 不存在i<j的情况 
			if (i < j) {
				break;
			}
			if (i > j) {
				dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]) % 2020;
			}
			else if (i == j) {
				dp[i][j] = dp[i][j - 1] % 2020;
			}
		}
	}
	// 答案输出
	cout << "只有四个数的情况第一行2个第二行2个：" <<dp[2][2] << endl;
	cout << "只有四个数的情况第一行3个第二行1个：" << dp[3][1] << endl;
	cout << "只有四个数的情况第一行4个第二行0个：" << dp[4][0] << endl;
	cout << "那么排列2020个数字下，按要求每一行都是1010个：" << dp[1010][1010] << endl;
	return 0;
}