初阶数据结构之时间复杂度和空间复杂度（一）-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了初阶数据结构之时间复杂度和空间复杂度（一）。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前言

1.什么是数据结构？

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

2.什么是算法？

算法(algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

3.数据结构和算法的重要性

目前在大部分的面试和校招中都离不开算法以及数据结构，可见学好数据结构和算法是有多么的重要。

一、算法效率

1.1如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢?我们拿斐波那契数列举例子

long long Fib(int N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列递归实现方式非常的简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

2.2算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间（内存）资源
，因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间维度来衡量的，即空间复杂度和时间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量的是一个算法运行时所需要的额外空间。在计算机早期发展的时候，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。但是随着计算机行业的快速发展，计算机的存储容量已经达到了一个很高得程度。所以如今我们已经不再需要特别关注一个算法的空间复杂度了。

二.时间复杂度

2.1时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.2举例说明

例一：

oid Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
	 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 	++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
	 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 	++count;
}

分析：首先两个for循环套一起就是nn == n^2，然后第二个for循环中套用了2n的次数，最后M在自减十次。也就是F(N) = n * n + 2 * n + 10;

实际上我们在计算时间复杂度的时候，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么在这里我们选择使用大O的渐进表示法

例二：

void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

分析：for循环中执行了2 * N此，然后while中执行了十次，所以时间复杂度为2 * n + 10，除去常数以及最高阶的常数项就是O(N)

例三：

void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

分析：此时我们发现这时候的for循环中是常数项，也就是可以数的清的，那么我们在面对常数项的时候，一律使用O(1)的时间复杂度，他的含义是代表了常数级别的复杂度

2.3大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N²)

三.空间复杂度

3.1空间复杂度的概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

3.2举例说明

例1、

void BubbleSort(int* a, int n)
{

 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

分析，看到上述代码的时候我们发现，该函数运行时未开辟其他所需要的栈空间，所以该函数的空间复杂度为O(1)

例2、

long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}