好用高效的python四元数库-quaternion
一、简介
https://github.com/moble/quaternion
这个库主要是在Numpy的基础上增加一个quaternion的类型，不仅实现了四元数相关操作的numpy实现，同时也将numpy的很多用法拓展到了相关四元数上。并且这个库的核心实现使用c语言实现的，保证了这个库在运算上的较高速度。
在近期进行四元数的学习中，比较了多个库，其中包括Scipy的旋转相关库，以及其他库，最终还是选择了这个库，原因在于其对于numpy的支持，但是由于其说明文档中只有四元数很小一部分的使用说明，但其实这个库所能实现的功能是远大于作者写的说明文档的，故写下这篇中文文档，供自己记录学习。
二、安装
如果是在conda环境下的，最好使用
conda install -c conda-forge quaternion
如果出现了，下载安装后No module name ‘quaternion’，可以适当降低numpy版本，目前numpy-1.20.3适配quater
nion-2022.4.3版本
也可以使用pip
python -m pip install --upgrade --force-reinstall numpy-quaternion
根据Releases · moble/quaternion (github.com)中说明的使用依赖仍然需要安装conda install scipy numba
三、基础用法
import numpy as np
import quaternion
首先构建几个四元数
q1 = np.quaternion(1,2,3,4)
q2 = quaternion.from_float_array([1,2,3,4])
# 生成的都是单位四元数
q3 = quaternion.from_rotation_matrix([[1,2,3],[1,2,3],[1,2,3]])
q4 = quaternion.from_euler_angles([1,2,3])
print(q1,q2,q3,q4)
四元数叉乘
( w 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) ⊗ ( w 2 , x 2 , y 2 , z 2 ) = ( w 1 w 2 − x 1 x 2 − y 1 y 2 − z 1 z 2 , w 1 x 2 + x 1 w 2 + z 1 y 2 − y 1 z 2 , w 1 y 2 + y 1 w 2 + x 1 z 2 − z 1 x 2 , w 1 z 2 + z 1 w 2 + y 1 x 2 − x 1 y 2 ) (w_1,x_1,y_1,z_1) \otimes (w_2,x_2,y_2,z_2) = \begin{matrix} (&w_1w_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2,\\&w_1x_2+x_1w_2+z_1y_2-y_1z_2,\\&w_1y_2+y_1w_2+x_1z_2-z_1x_2,\\&w_1z_2+z_1w_2+y_1x_2-x_1y_2&) \end{matrix} (w1,x1,y1,z1)⊗(w2,x2,y2,z2)=(w1w2−x1x2−y1y2−z1z2,w1x2+x1w2+z1y2−y1z2,w1y2+y1w2+x1z2−z1x2,w1z2+z1w2+y1x2−x1y2)
# dot方法这里也是叉乘
print(np.dot(q1,q2))
print(q1 * q2)
print(np.multiply(q1,q2))
四元数的模
∣ q ∣ = w 2 + x 2 + y 2 + z 2 \lvert q \rvert = \sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2} ∣q∣=w2+x2+y2+z2
# 计算四元数的模
print(q1.abs())
print(q1.absolute())
print(np.sqrt(q1.norm()))
# 四元数的归一化
print(q1 / q1.abs())
print(q1.normalized())
四元数的Cayley norm
∥ q ∥ = w 2 + x 2 + y 2 + z 2 \lVert q \rVert = w^2+x^2+y^2+z^2 ∥q∥=w2+x2+y2+z2
注意四元数的Norm和numpy中的np.linalg.norm方法不同，numpy中是Euclidean norm，而四元数中的norm是Cayley norm
print(q1.norm())
四元数的共轭与逆
四元数的共轭就是让四元数的向量部分取负 q ∗ = ( w , x , y , z ) ∗ = ( w , − x , − y , − z ) q^* = (w,x,y,z)^* = (w,-x,-y,-z) q∗=(w,x,y,z)∗=(w,−x,−y,−z)
四元数的逆就是四元数的共轭除以它的Cayley norm
q
−
1
=
q
∗
∥
q
∥
q^{-1} = \frac{q^*}{\lVert q \rVert}
q−1=∥q∥q∗
一般用单位四元数，此时它的逆和共轭是相等的
# 四元数求共轭
print(q1.conjugate())
# 四元数求逆
print(q1.inverse())
# 单位四元数的共轭和逆是相等的
q_normolized = q1.normalized()
print(q_normolized.conjugate())
print(q_normolized.conjugate() / q_normolized.norm())
两个四元数间的旋转量
表示一个方位到另一个方位的旋转量
q = q b e g i n ∗ ∗ q a f t e r q = q_{begin}^* * q_{after} q=qbegin∗∗qafter（ q b e g i n , q a f t e r q_{begin},q_{after} qbegin,qafter是单位四元数）
q = q b e g i n − 1 ∗ q a f t e r q = q_{begin}^{-1} * q_{after} q=qbegin−1∗qafter（ q b e g i n , q a f t e r q_{begin},q_{after} qbegin,qafter不是单位四元数）
q = q3.conjugate() * q4
print(q)
# 要注意四元数叉乘顺序
print(q * q3)
print(q3 * q)
print(q4)
q3New = 2 * q3
print(q3New)
q = q3New.inverse() * q4
print(q.normalized())
四元数点乘
用于度量两个四元数的相似性，和向量的点乘类似，两四元数点乘绝对值越大其代表的旋转约相似，点乘趋近于-1或者1，都意味着相似，因为 ( 1 , 0 , 0 , 0 ) (1,0,0,0) (1,0,0,0)和 ( − 1 , 0 , 0 , 0 ) (-1,0,0,0) (−1,0,0,0)的意义是当旋转角为360度的整数倍时，方位没有改变
# 在quaternion库中没有对应的方法
def quatDot(q1,q2):
return np.abs((q1.w * q2.w + q1.x * q2.x + q1.y * q2.y + q1.z * q2.z) / q1.absolute()*q2.absolute() )
四、参考
四元数基础 - 圣骑士wind - 博客园 (cnblogs.com)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-417423.html
四元数的基本运算_飘零过客的博客-CSDN博客_四元数运算文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-417423.html
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