三重积分为何不能直接带入积分区域?搞懂这些,重积分基本可以了

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积分的积分区域及被积表达式

重点:积分的结果均为数值,仅与被积表达式积分区间有关!!!

1.如何一下子区分一重积分,二重积分,三重积分?

看积分区间和被积表达式:
一重积分积分区间是长度,一段长度,被积表达式是关于x的函数。
二重积分积分区间是区域,一片区域,被积表达式是关于x,y的函数。
三重积分积分区间是空间,一块空间,被积表达式是关于x,y,z的函数。

2.一重积分(定积分)

一重积分积分区域是一段长度,对1积分就是一段线的长度。 被积表达式就是常见的初等函数。

一重积分的基础应用(本职工作):
可以用于求平面面积,曲线弧长(这个弧长积分是平面上的x,y轴,后面的第一类曲线积分是三维的x,y,z不要弄混,当然后者相当于前者升维)

一重积分的特殊应用,拓展业务(可以做二重积分,曲面积分做的事):
可用于求旋转体体积,旋转体侧面积。

注:这里只是看似相当于二重积分和曲面积分的应用,实质上还是一重积分的方法(积分区间和被积表达式本质没有改变,还是一段长度和关于x的函数)。之所以可以求是因为旋转体体积是规则的,某个面积公式是知道的,所以我们可以让无数个面积叠加,叠加长度就是区间长度。

用一重积分求旋转体体积:
如下面这个:对πr^2叠加,叠加长度为区间长度。叠加面积半径f(x)求出
三重积分为何不能直接带入积分区域?搞懂这些,重积分基本可以了
用二重积分求旋转体体积:
可以看到如果二重积分求,那本质就改变了,积分区域变成了区域Dxy,被积函数变成了关于x,y的函数也就是r(x,y)
三重积分为何不能直接带入积分区域?搞懂这些,重积分基本可以了

3.二重积分

二重积分积分区域是一片区域,对1积分就是区域的面积。

二重积分的基础应用:
求不规则,规则体积,质心,形心,质量,转动惯量等
在二重积分计算中一般只关注积分区域D如何转换成X,Y型,极坐标,
在三重积分计算中比较关注求体积问题
没有讲扩展业务

4.三重积分

三重积分积分区域是一块空间,对1积分就是空间体积。

三重积分的应用:
求体积,质量,质心,形心,转动惯量等
扩展:若三重积分求几何度量,那就是四维几何意义。
没有讲扩展业务

5.二重积分,三重积分为何不能直接带入积分区域?

如下场景1:∭x2+y2+z2dv. 积分空间为欧米噶为x2+y2+z2<=1
哎,你看我这样原式=∭1dv = 圆的体积 做完了。(错N>一个亿

如下场景2:∬x2+y2dσ. 积分区域为D:x2+y2=R2.
哎,你看看,原式=∬R2dσ=R2∬1dσ=R2x圆的面积 做完了,完全没有难度。

以上两个场景大错特错,为何呢?
结论:二重积分,三重积分不可以 将积分区域,空间的不等式当作等式带入被积表达式。
错误1:不等式怎么能变成等式带入呢?

错误2:二三重积分的区域都是一个范围,且在该范围不同地方被积表达式式变化的(也就是说被积表达式是一个变量),等式带入,相当于将被积表达式钉死在范围边界成立的地方,即无论在范围哪个地方,都是边界成立时的被积表达式。

错误3:根据积分定理,积分是一个数值,仅与被积函数和积分区间有关,将等式带入,相当于改变了被积表达式,不是原来的积分了。

6.什么情况下能直接带入积分区域?

1.一重积分(定积分)
定积分可以带入,但是一般不会给出被积表达式的等式,都是直接给出被积表达式

2.二类曲面积使用高斯公式转换前可以带入
转换之前可以带入:因为对曲面积分,积分区域时曲面,曲面是由无数个点组成的,这无数个点在曲面表达式都是成立的,故可以直接带入。

转换之后不能带入:高斯公式之后,积分区域由曲面变成曲面所围成的空间,这时候,这无数个点不仅仅时曲面上等式成立的点,还包含曲面所围成的空间里面等式不成立的点,故不能带入。

3.二类曲线积分使用格林公式前可以带入
同理:
转换之前:曲线上无数个点,在曲线方程等式都成立,可以带入。
转换之后:积分区间:由线变成线所包含的域,在线内部点曲线方程等式不成立。

3.二类空间曲线积分使用斯托克斯公式之前可以带入
斯托克斯公式可以将三维曲线积分转成第一,二类曲面积分
转换之后,积分区域由线变成面,曲线方程只有在边界成立,故不可以带入。
当然如果转换之后的曲面方程可以表示出来,曲面方程是可以直接带入的。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-417425.html

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