三重积分为何不能直接带入积分区域?搞懂这些,重积分基本可以了

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了三重积分为何不能直接带入积分区域?搞懂这些,重积分基本可以了。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

积分的积分区域及被积表达式

重点:积分的结果均为数值,仅与被积表达式积分区间有关!!!

1.如何一下子区分一重积分,二重积分,三重积分?

看积分区间和被积表达式:
一重积分积分区间是长度,一段长度,被积表达式是关于x的函数。
二重积分积分区间是区域,一片区域,被积表达式是关于x,y的函数。
三重积分积分区间是空间,一块空间,被积表达式是关于x,y,z的函数。

2.一重积分(定积分)

一重积分积分区域是一段长度,对1积分就是一段线的长度。 被积表达式就是常见的初等函数。

一重积分的基础应用(本职工作):
可以用于求平面面积,曲线弧长(这个弧长积分是平面上的x,y轴,后面的第一类曲线积分是三维的x,y,z不要弄混,当然后者相当于前者升维)

一重积分的特殊应用,拓展业务(可以做二重积分,曲面积分做的事):
可用于求旋转体体积,旋转体侧面积。

注:这里只是看似相当于二重积分和曲面积分的应用,实质上还是一重积分的方法(积分区间和被积表达式本质没有改变,还是一段长度和关于x的函数)。之所以可以求是因为旋转体体积是规则的,某个面积公式是知道的,所以我们可以让无数个面积叠加,叠加长度就是区间长度。

用一重积分求旋转体体积:
如下面这个:对πr^2叠加,叠加长度为区间长度。叠加面积半径f(x)求出
三重积分为何不能直接带入积分区域?搞懂这些,重积分基本可以了
用二重积分求旋转体体积:
可以看到如果二重积分求,那本质就改变了,积分区域变成了区域Dxy,被积函数变成了关于x,y的函数也就是r(x,y)
三重积分为何不能直接带入积分区域?搞懂这些,重积分基本可以了

3.二重积分

二重积分积分区域是一片区域,对1积分就是区域的面积。

二重积分的基础应用:
求不规则,规则体积,质心,形心,质量,转动惯量等
在二重积分计算中一般只关注积分区域D如何转换成X,Y型,极坐标,
在三重积分计算中比较关注求体积问题
没有讲扩展业务

4.三重积分

三重积分积分区域是一块空间,对1积分就是空间体积。

三重积分的应用:
求体积,质量,质心,形心,转动惯量等
扩展:若三重积分求几何度量,那就是四维几何意义。
没有讲扩展业务

5.二重积分,三重积分为何不能直接带入积分区域?

如下场景1:∭x2+y2+z2dv. 积分空间为欧米噶为x2+y2+z2<=1
哎,你看我这样原式=∭1dv = 圆的体积 做完了。(错N>一个亿

如下场景2:∬x2+y2dσ. 积分区域为D:x2+y2=R2.
哎,你看看,原式=∬R2dσ=R2∬1dσ=R2x圆的面积 做完了,完全没有难度。

以上两个场景大错特错,为何呢?
结论:二重积分,三重积分不可以 将积分区域,空间的不等式当作等式带入被积表达式。
错误1:不等式怎么能变成等式带入呢?

错误2:二三重积分的区域都是一个范围,且在该范围不同地方被积表达式式变化的(也就是说被积表达式是一个变量),等式带入,相当于将被积表达式钉死在范围边界成立的地方,即无论在范围哪个地方,都是边界成立时的被积表达式。

错误3:根据积分定理,积分是一个数值,仅与被积函数和积分区间有关,将等式带入,相当于改变了被积表达式,不是原来的积分了。

6.什么情况下能直接带入积分区域?

1.一重积分(定积分)
定积分可以带入,但是一般不会给出被积表达式的等式,都是直接给出被积表达式

2.二类曲面积使用高斯公式转换前可以带入
转换之前可以带入:因为对曲面积分,积分区域时曲面,曲面是由无数个点组成的,这无数个点在曲面表达式都是成立的,故可以直接带入。

转换之后不能带入:高斯公式之后,积分区域由曲面变成曲面所围成的空间,这时候,这无数个点不仅仅时曲面上等式成立的点,还包含曲面所围成的空间里面等式不成立的点,故不能带入。

3.二类曲线积分使用格林公式前可以带入
同理:
转换之前:曲线上无数个点,在曲线方程等式都成立,可以带入。
转换之后:积分区间:由线变成线所包含的域,在线内部点曲线方程等式不成立。

3.二类空间曲线积分使用斯托克斯公式之前可以带入
斯托克斯公式可以将三维曲线积分转成第一,二类曲面积分
转换之后,积分区域由线变成面,曲线方程只有在边界成立,故不可以带入。
当然如果转换之后的曲面方程可以表示出来,曲面方程是可以直接带入的。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-417425.html

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