机器人雅可比矩阵

一、雅可比矩阵的作用

机器人雅克比矩阵描述的是关节速度和末端笛卡尔速度和角速度之间的关系。它的行数等于机器人在空间中自由度的数目，列数等于机器人关节的数目。

二、雅可比矩阵的求解

1、矢量积法

对于移动关节${\mathbf{z}}_i$：
仅有移动，仅对末端执行器产生一个与${\mathbf{z}}_i$方向相同的角速度，大小为${\dot{q}}_i$，因此：
$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{v}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ {\mathbf{z}}_i\end{array}\right]{\dot{q}}_i$$
所以，雅可比矩阵第$i$列为：
$${\mathbf{J}}_i=\left[\begin{array}{c}0\\ {\mathbf{z}}_i\end{array}\right]$$
对于转动关节${\mathbf{z}}_i$：
仅有转动，对末端执行器产生一个大小为${\dot{q}}_i$，方向与${\mathbf{z}}_i$方向相同的角速度，以及一个$({\mathbf{z}}_i{\times }^0{\mathbf{p}}_i{\mathbf{p}}_e){\dot{q}}_i$的线速度,因此：
$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{v}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_i{\times }^0{\mathbf{p}}_i{\mathbf{p}}_e\\ {\mathbf{z}}_i\end{array}\right]{\dot{q}}_i$$
其中，${}^0{\mathbf{p}}_i{\mathbf{p}}_e$为末端执行器原点相对于坐标系{$i$}的位置矢量在世界坐标系{$0$}下的表示，故${}^0{\mathbf{p}}_i{\mathbf{p}}_e$=${}^0{\mathbf{R}}_i{\cdot }^i{\mathbf{p}}_i{\mathbf{p}}_e$
所以，雅可比矩阵第$i$列为：
$${\mathbf{J}}_i=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{z}}_i\times {(}^0{\mathbf{R}}_i{\cdot }^i{\mathbf{p}}_i{\mathbf{p}}_e)\\ {\mathbf{z}}_i\end{array}\right]$$

2、微分变换法

绕$x,y,z$旋转$\theta$角的旋转矩阵为：
R ( x , θ ) = [ 1 0 0 0 c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ ] R ( y , θ ) = [ c o s θ 0 s i n θ 0 1 0 − s i n θ 0 c o s θ ] R ( z , θ ) = [ c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] \boldsymbol{R}(x,\theta)=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&cos\theta&-sin\theta\\ 0&sin\theta&cos\theta\\ \end{bmatrix} \boldsymbol{R}(y,\theta)=\begin{bmatrix}cos\theta&0&sin\theta\\ 0&1&0\\ -sin\theta&0&cos\theta\\ \end{bmatrix} \boldsymbol{R}(z,\theta)=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta&0\\ sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} R(x,θ)= ​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​ ​R(y,θ)= ​cosθ0−sinθ​010​sinθ0cosθ​ ​R(z,θ)= ​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​ ​
当$\theta$极小时$sin\theta =\theta$,$cos\theta =1$,记分别绕$x,y,z$旋转的角度为${\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z$,则绕$x,y,z$的旋转矩阵可以写为：
R ( x , δ x ) = [ 1 0 0 0 1 − δ x 0 δ x 1 ] R ( y , δ y ) = [ 1 0 δ y 0 1 0 − δ y 0 1 ] R ( z , δ z ) = [ 1 − δ z 0 δ z 1 0 0 0 1 ] \boldsymbol{R}(x,\delta_x)=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&-\delta_x\\ 0&\delta_x&1\\ \end{bmatrix} \boldsymbol{R}(y,\delta_y)=\begin{bmatrix}1&0&\delta_y\\ 0&1&0\\ -\delta_y&0&1\\ \end{bmatrix} \boldsymbol{R}(z,\delta_z)=\begin{bmatrix}1&-\delta_z&0\\ \delta_z&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} R(x,δx​)= ​100​01δx​​0−δx​1​ ​R(y,δy​)= ​10−δy​​010​δy​01​ ​R(z,δz​)= ​1δz​0​−δz​10​001​ ​
因此，旋转矩阵可以写为：
R = R ( x , δ x ) R ( y , δ y ) R ( z , δ z ) = [ 1 − δ z δ y δ z 1 − δ x − δ y δ x 1 ] \boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}(x,\delta_x)\boldsymbol{R}(y,\delta_y)\boldsymbol{R}(z,\delta_z)=\begin{bmatrix}1&-\delta_z&\delta_y\\ \delta_z&1&-\delta_x\\ -\delta_y&\delta_x&1\\ \end{bmatrix} R=R(x,δx​)R(y,δy​)R(z,δz​)= ​1δz​−δy​​−δz​1δx​​δy​−δx​1​ ​
当微分平移向量为${\mathbf{\delta }}_d=d_x\mathbf{i}+d_y\mathbf{j}+d_z\mathbf{k}$时，结合上述旋转矩阵可以写出变换矩阵为：
T = [ 1 − δ z δ y d x δ z 1 − δ x d y − δ y δ x 1 d z 0 0 0 1 ] \boldsymbol{T}=\begin{bmatrix}1&-\delta_z&\delta_y&d_x\\ \delta_z&1&-\delta_x&d_y\\ -\delta_y&\delta_x&1&d_z\\0&0&0&1 \end{bmatrix} T= ​1δz​−δy​0​−δz​1δx​0​δy​−δx​10​dx​dy​dz​1​ ​
对变换矩阵${}^i{\mathbf{T}}_{i+1}$,它对坐标系{$i$}的微分变换可以表示为：
$$\begin{gathered} {}^i{\mathbf{T}}_{i+1}+d^i{\mathbf{T}}_{i+1}{=}^i{\mathbf{T}}_{i+1}\cdot \mathbf{Tran}({\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z,d) \\ {d}^i{\mathbf{T}}_{i+1}{=}^i{\mathbf{T}}_{i+1}\cdot (\mathbf{Tran}({\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z,d)-\mathbf{I}) \end{gathered}$$
令${}^i{\Delta }_{i,i+1}=\mathbf{Tran}({\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z,d)-\mathbf{I}$,其中${\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z$分别为绕坐标系{$i$}的$x,y,z$轴的旋转角度，$d$为坐标系{$i$}下的位置矢量，${}^i{\Delta }_{i,i+1}$为坐标系{$i$}下的微分变换算子。
对变换矩阵${}^i{\mathbf{T}}_{i+1}$,它对坐标系{$i+1$}的微分变换可以表示为：
$$\begin{gathered} {}^i{\mathbf{T}}_{i+1}+d^i{\mathbf{T}}_{i+1}=\mathbf{Tran}({\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z,d){\cdot }^i{\mathbf{T}}_{i+1} \\ {d}^i{\mathbf{T}}_{i+1}=(\mathbf{Tran}({\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z,d)-\mathbf{I}){\cdot }^i{\mathbf{T}}_{i+1} \end{gathered}$$
令${}^{i+1}{\Delta }_{i,i+1}=\mathbf{Tran}({\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z,d)-\mathbf{I}$,其中${\delta }_x,{\delta }_y,{\delta }_z$分别为绕坐标系{$i+1$}的$x,y,z$轴的旋转角度，$d$为坐标系{$i$}下的位置矢量，${}^{i+1}{\Delta }_{i,i+1}$为坐标系{$i+1$}下的微分变换算子。
微分变换算子$\Delta$：
Δ = [ 0 − δ z δ y d x δ z 0 − δ x d y − δ y δ x 0 d z 0 0 0 0 ] \Delta=\begin{bmatrix}0&-\delta_z&\delta_y&d_x\\ \delta_z&0&-\delta_x&d_y\\ -\delta_y&\delta_x&0&d_z\\0&0&0&0 \end{bmatrix} Δ= ​0δz​−δy​0​−δz​0δx​0​δy​−δx​00​dx​dy​dz​0​ ​



由机器人末端相对基坐标系的齐次变换矩阵为：
$${}^0{\mathbf{T}}_6{=}^0{\mathbf{T}}_1{\cdot }^1{\mathbf{T}}_2{\cdot }^2{\mathbf{T}}_3{\cdot }^3{\mathbf{T}}_4{\cdot }^4{\mathbf{T}}_5{\cdot }^5{\mathbf{T}}_6$$
第$i$个关节的微分变换引起机器人末端的微分变换为：
$$d{(}^0{\mathbf{T}}_6){=}^0{\mathbf{T}}_6{\cdot }^6{\Delta }_{0,6}\cdot d{q}_i$$
由${}^{i+1}{\Delta }_{i,i+1}{=}^i{\mathbf{T}}_{i+1}^{-1}{\cdot }^i{\Delta }_{i,i+1}{\cdot }^i{\mathbf{T}}_{i+1}$可得：
$${}^6{\Delta }_{i,6}{=}^i{\mathbf{T}}_6^{-1}{\cdot }^i{\Delta }_{i,6}{\cdot }^i{\mathbf{T}}_6$$
其中，${}^i{\mathbf{T}}_6{=}^i{\mathbf{T}}_{i+1}{\cdot }^{i+1}{\mathbf{T}}_{i+2}\cdot \cdot {\cdot }^5{\mathbf{T}}_6$，故：
$${}^6{\Delta }_{i,6}={(}^i{\mathbf{T}}_{i+1}{\cdot }^{i+1}{\mathbf{T}}_{i+2}\cdot \cdot {\cdot }^5{\mathbf{T}}_6{)}^{-1}{\cdot }^i{\Delta }_{i,6}\cdot {(}^i{\mathbf{T}}_{i+1}{\cdot }^{i+1}{\mathbf{T}}_{i+2}\cdot \cdot {\cdot }^5{\mathbf{T}}_6)$$
i T 6 = [ i n x i o x i a x i p x i n y i o y i a y i p y i n z i o z i a z i p z 0 0 0 1 ] ^{i}\boldsymbol{T}_{6}=\begin{bmatrix}^{i}n_x&^{i}o_x&^{i}a_x&^{i}p_x\\ ^{i}n_y&^{i}o_y&^{i}a_y&^{i}p_y\\ ^{i}n_z&^{i}o_z&^{i}a_z&^{i}p_z\\0&0&0&1 \end{bmatrix} iT6​= ​inx​iny​inz​0​iox​ioy​ioz​0​iax​iay​iaz​0​ipx​ipy​ipz​1​ ​
[ 6 d x 6 d y 6 d z 6 δ x 6 δ x 6 δ x ] = [ i n x i n y i n z ( i p × i n ) x ( i p × i n ) y ( i p × i n ) z i o x i o y i o z ( i p × i o ) x ( i p × i o ) y ( i p × i o ) z i a x i a y i a z ( i p × i a ) x ( i p × i a ) y ( i p × i a ) z 0 0 0 i n x i n y i n z 0 0 0 i o x i o y i o z 0 0 0 i a x i a y i a z ] [ d i x d i y d i z δ i x δ i y δ i z ] \begin{bmatrix}^{6}d_{x}\\^{6}d_{y}\\^{6}d_{z}\\^{6}\delta_{x}\\^{6}\delta_{x}\\^{6}\delta_{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}^{i}n_x&^{i}n_y&^{i}n_z&(^{i}p \times ^{i}n)_x&(^{i}p \times ^{i}n)_y&(^{i}p \times ^{i}n)_z\\ ^{i}o_x&^{i}o_y&^{i}o_z&(^{i}p \times ^{i}o)_x&(^{i}p \times ^{i}o)_y&(^{i}p \times ^{i}o)_z\\ ^{i}a_x&^{i}a_y&^{i}a_z&(^{i}p \times ^{i}a)_x&(^{i}p \times ^{i}a)_y&(^{i}p \times ^{i}a)_z\\0&0&0&^{i}n_x& ^{i}n_y&^{i}n_z\\0&0&0&^{i}o_x& ^{i}o_y&^{i}o_z\\0&0&0&^{i}a_x& ^{i}a_y&^{i}a_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_{ix}\\d_{iy}\\d_{iz}\\ \delta_{ix}\\ \delta_{iy}\\ \delta_{iz}\end{bmatrix} ​6dx​6dy​6dz​6δx​6δx​6δx​​ ​= ​inx​iox​iax​000​iny​ioy​iay​000​inz​ioz​iaz​000​(ip×in)x​(ip×io)x​(ip×ia)x​inx​iox​iax​​(ip×in)y​(ip×io)y​(ip×ia)y​iny​ioy​iay​​(ip×in)z​(ip×io)z​(ip×ia)z​inz​ioz​iaz​​ ​ ​dix​diy​diz​δix​δiy​δiz​​ ​
对于移动关节$i$：
$$d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{ix}& d_{iy}& d_{iz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right],{\delta }_i=\left[\begin{array}{ccc}{\delta }_{ix}& {\delta }_{iy}& {\delta }_{iz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]$$
因此：
J l i = [ i n z i o z i a z ] , J a i = [ 0 0 0 ] \boldsymbol{J}_{li}=\begin{bmatrix} ^{i}n_z\\^{i}o_z\\^{i}a_z\end{bmatrix},\boldsymbol{J}_{ai}=\begin{bmatrix}0\\0\\0 \end{bmatrix} Jli​= ​inz​ioz​iaz​​ ​,Jai​= ​000​ ​
对于转动关节$i$：
$$d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{ix}& d_{iy}& d_{iz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right],{\delta }_i=\left[\begin{array}{ccc}{\delta }_{ix}& {\delta }_{iy}& {\delta }_{iz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]$$
因此：
J l i = [ ( i p × i n ) z ( i p × i o ) z ( i p × i z ) z ] , J a i = [ i n z i o z i a z ] \boldsymbol{J}_{li}=\begin{bmatrix} (^{i}p \times ^{i}n)_z\\(^{i}p \times ^{i}o)_z\\(^{i}p \times ^{i}z)_z \end{bmatrix},\boldsymbol{J}_{ai}=\begin{bmatrix} ^{i}n_z\\^{i}o_z\\^{i}a_z \end{bmatrix} Jli​= ​(ip×in)z​(ip×io)z​(ip×iz)z​​ ​,Jai​= ​inz​ioz​iaz​​ ​

3、世界坐标系下的雅可比矩阵

上述雅可比矩阵为工具坐标系{$e$}下的关节速度与末端速度、角速度之间的映射,即工具坐标系{$e$}下的雅可比矩阵。
世界坐标系{$0$}下的末端速度、角速度与工具坐标系{$e$}下的末端速度、角速度之间的转换关系为：
$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{v}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{}^0{\mathbf{R}}_e& 0\\ 0& {}^0{\mathbf{R}}_e\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{}^e\mathbf{v}\\ {}^e\mathbf{w}\end{array}\right]$$
因此，当想要获得世界坐标系{$0$}下的关节速度与末端速度、角速度之间的映射即世界坐标系{$0$}下的雅可比矩阵时，只需要将工具坐标系{$e$}下的雅可比矩阵左乘世界坐标系{$0$}与工具坐标系{$e$}之间的旋转矩阵${}^0{\mathbf{R}}_e$,即：
$${\mathbf{J}}_0=\left[\begin{array}{cc}{}^0{\mathbf{R}}_e& 0\\ 0& {}^0{\mathbf{R}}_e\end{array}\right]{\mathbf{J}}_e$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-418120.html

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