【算法宇宙——在故事中学算法】背包dp之完全背包问题

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学习者不灵丝相传,而自杖明月相反,子来此事却无得失。

前言

尽管计算机是门严谨的学科,但正因为严谨,所以要有趣味才能看得下去。在笔者的前几篇算法类文章中,都采用了以小故事作为引入的方式来介绍算法,但在回看的时候发现学术味还是太浓了,完全没有想看下去的欲望orz~因此笔者决定改组文章结构,将整个算法都以故事的形式呈现,至少让读者能看下去,希望能帮助到大家!

正文

小明的探险之旅(2)

上文说到小明从家中收拾好装备后,就踏上了茫茫星海的探险征程。在航行了数天后,他到达了第一个星球——食戟之星。这颗星球以昂贵而美味的食物而著称,由于小明实在太饿,他直接钻进了一家自助餐店,想好好的回回血。

小明看着这些食物不禁直流口水:这么多好吃的,都好想吃!可是怎么吃才能吃的最好呢。。(注:小明吃好的标准是吃到的所有食物价格总和最高,也就是最能回本)

(小明思考了一会)

小明:感觉这个问题和我搬装备时候的问题很像,但是这次所有食物都是无限供应的。。先想一想之前用到的转移方程吧!
【算法宇宙——在故事中学算法】背包dp之完全背包问题

那么,之前的装备一种只有一件,而这次的食物有无数件,也就是说,不一定是j-w[i],也可以是j-2w[i],j-3w[i]……所以就是
【算法宇宙——在故事中学算法】背包dp之完全背包问题
可是这样的话,时间复杂度就太大了……就算用了滚动数组优化,也会到达平方级的时间复杂度,还要进行复杂的边界判断……

(小明陷入了苦想,直觉告诉他,这种算法还可以进行优化,但以他的学识,想破脑袋也想不出来。最后,小明只能按照这种算法不停推算,等到推算完,他撑着饥肠辘辘的身体去取餐的时候,却发现已经到了打烊的时间了!小明没办法,只能到街上买了一个手抓饼,一边泪流满面的吃着,一边发誓自己一定要学好算法……)

最后的优化

实际上,小明的直觉很准确,可惜他的智商没有直觉那么强大~那么接下来,我们接手他的思路,看看接下来还有什么能优化的地方。
很显然,这次依然可以用滚动数组优化,但为了展示方便,我们先压缩到i和i-1两行:

黄色块是我们当前要确定的值,即fi,j红色块是根据上面的公式,我们枚举的值,设w[i]=2,则:
【算法宇宙——在故事中学算法】背包dp之完全背包问题
接下来是重点,我们看确定fi,j-2时的表格,黄色块是要确定的值,红色块是枚举的值:
【算法宇宙——在故事中学算法】背包dp之完全背包问题

发现了什么?fi,j-2的值其实就是除了fi-1,j之外的所有红色块的最大值,那么我们可以通过只比较fi,j-2和fi-1,j这两个块的值就可以得出fi,j的值了,即:
【算法宇宙——在故事中学算法】背包dp之完全背包问题
这就是完全背包问题的转移方程。接下来上代码:

代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 13010;
int n, W, w[maxn], v[maxn], f[maxn];

int main() {
  cin >> n >> W;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> v[i]; 
  for (int i = 1; i <= n; i++)//循环n次,因为要对n件物品进行选择
    for (int l = w[i]; l <= W; l++)//从前向后更新
      f[l] = max(f[l], f[l - w[i]] + v[i]);//转移方程
  cout << f[W];
  return 0;

最后小记以下笔者在写这篇博客时想到的一个关于边界处理的问题:当l<w[i]时,不可能再取第i件物品,所以不会改变数组中的数据;而一开始由于定义的是全局变量,所以数据都初始化为0,也与如果一直不取物品的话,价值为0的事实相符合,所以不特意处理边界是没问题的。
【算法宇宙——在故事中学算法】背包dp之完全背包问题
我是霜_哀,在算法之路上努力前行的一位萌新,感谢你的阅读!码文不易,如果觉得好的话,可以关注一下,我会在将来带来更多更全面的算法讲解!文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-419004.html

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