【泛函分析】Riemann积分与Lebesgue积分

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4.4 Riemann 积分和 Lebesgue 积分

4.4.1 Riemann 积分的可积性

定义. 若闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有 n + 1 n+1 n+1 个点:
a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n − 1 < x n = b a=x_{0}\lt x_{1}\lt \cdots\lt x_{n-1}\lt x_{n} =b a=x0<x1<<xn1<xn=b
把区间分成 n n n 份, 记每个子区间为 Δ i = [ x i − 1 , x i ] \Delta_{i}=[x_{i-1},x_{i}] Δi=[xi1,xi], i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 则称这些分点和子区间构成 [ a , b ] [a,b] [a,b] 的一个分割, 记为 T = { x 0 , … , x n } T=\{x_{0},\dots,x_{n}\} T={x0,,xn} T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,,Δn}. 记 Δ x i = x i − x i − 1 \Delta x_{i}= x_{i}-x_{i-1} Δxi=xixi1, i = 1 , … , n i=1,\dots, n i=1,,n, 定义
∥ T ∥ = max ⁡ i Δ x i \parallel T\parallel =\max\limits_{i}\Delta x_{i} T∥=imaxΔxi
为分割 T T T 的细度.

定义. f ( x ) f(x) f(x) 是定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的函数, 对于 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的任一分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,,Δn}, 和任意点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 定义和式
∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} i=1nf(ξi)Δxi
f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的一个黎曼和. 当 ∥ T ∥ → 0 \parallel T\parallel \rightarrow 0 T∥→0 时黎曼和的极限称为 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的黎曼定积分, 记为 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x abf(x)dx. 如果该极限存在, 则称 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积.

黎曼定积分的 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵδ 定义: 若存在实数 J J J, 使得对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,,Δn}, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta T∥≤δ, 和任意点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 有
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}-J|\leq \epsilon i=1nf(ξi)ΔxiJϵ
则称 J J J f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的黎曼定积分.

定理4.4.1. f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积, 则 f ( x ) f(x) f(x) 必然有界.

证明: 我们接下来证明: 若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上无界, 则对于任意 M > 0 M\gt 0 M>0, 任意 ϵ > 0 \epsilon \gt 0 ϵ>0, 存在满足 ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta T∥≤δ 的分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,,Δn}, 和 T T T 上的点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 使得黎曼和满足 ∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ∣ ≥ M |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|\geq M i=1nf(ξi)ΔxiM.

任取满足 ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta T∥≤δ 的分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,,Δn}, 因为 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上无界, 因此它必然在至少一个子区间上无界, 否则将会得出 f f f [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界, 设 f f f Δ k \Delta_{k} Δk 上无上界. 在除 Δ k \Delta_{k} Δk 外的各个子区间上分别任取一点, 记为 ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, 1 ≤ i ≤ n 1\leq i\leq n 1in, i ≠ k i\neq k i=k, 记 ∣ ∑ i = 1 i ≠ k n f ( ξ i ) Δ x i ∣ = G |\sum\limits_{i=1\atop i\neq k}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|= G i=ki=1nf(ξi)Δxi=G. 由于 f ( x ) f(x) f(x) Δ k \Delta_{k} Δk 上无界, 因此对于任意 N > 0 N\gt 0 N>0, 存在 ξ ∈ Δ k \xi\in \Delta_{k} ξΔk, ∣ f ( ξ ) ∣ ≥ N |f(\xi)|\geq N f(ξ)N, 以 ξ \xi ξ 作为 Δ k \Delta_{k} Δk 上选取的点 ξ k \xi_{k} ξk, 得到点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, 此时 ∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ∣ = ∣ ∑ i = 1 i ≠ k n f ( ξ i ) Δ x i + f ( ξ ) Δ x k ∣ ≥ ∣ f ( ξ ) Δ k ∣ − ∣ ∑ i = 1 i ≠ k n f ( ξ i ) Δ x i ∣ = N Δ x k − G |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|=|\sum\limits_{i=1\atop i\neq k}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}+f(\xi)\Delta x_{k}|\geq|f(\xi)\Delta_{k}|-|\sum\limits_{i=1\atop i\neq k}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|= N\Delta x_{k} - G i=1nf(ξi)Δxi=i=ki=1nf(ξi)Δxi+f(ξ)Δxkf(ξ)Δki=ki=1nf(ξi)Δxi=NΔxkG, 若取 N = M + G Δ x k N=\frac{M+G}{\Delta x_{k}} N=ΔxkM+G, 此时 ∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ∣ = ∣ ∑ i = 1 i ≠ k n f ( ξ i ) Δ x i + f ( ξ i ) Δ x i ∣ ≥ M |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|=|\sum\limits_{i=1\atop i\neq k}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}+f(\xi_{i})\Delta x_{i}|\geq M i=1nf(ξi)Δxi=i=ki=1nf(ξi)Δxi+f(ξi)ΔxiM, 分割 T T T 和点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi} 即为所求.

有界并不是可积的充分条件, 例如 Dirichlet 函数就是有界但不可积的, 将会在后面给出证明.

由此可见, 有界是可积的必要条件, 下文仅对有界函数讨论可积性.

定义. 对于任意的分割 T T T, 由于函数 f f f [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界, 因此其必然在所有分段 Δ i \Delta_{i} Δi 上有界, 进而有上确界和下确界. 进一步地, 设 m i = inf ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) m_{i}=\inf\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x) mi=xΔiinff(x), M i = sup ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) M_{i}=\sup\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x) Mi=xΔisupf(x), i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 定义和式 ∑ i = 1 n m i Δ x i , ∑ i = 1 n M i Δ x i \sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}, \quad \sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i} i=1nmiΔxi,i=1nMiΔxi f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上关于分割 T T T 的达布下和和达布上和, 分别记为 s ( T ) s(T) s(T) S ( T ) S(T) S(T), 可见达布上和与达布下和仅与分割 T T T 有关, 是从属于 T T T 的两个属性. 显然 m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq s(T)\leq S(T) \leq M(b-a) m(ba)s(T)S(T)M(ba), 其中 M = sup ⁡ x ∈ [ a , b ] f ( x ) M=\sup\limits_{x\in [a,b]}f(x) M=x[a,b]supf(x), m = inf ⁡ x ∈ [ a , b ] f ( x ) m=\inf\limits_{x\in [a,b]}f(x) m=x[a,b]inff(x); 对于 T T T 上的任一点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 黎曼和 s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ≤ S ( T ) s(T) \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq S(T) s(T)i=1nf(ξi)ΔxiS(T) ( m ≤ m i ≤ f ( ξ i ) ≤ M i ≤ M m\leq m_{i}\leq f(\xi_{i})\leq M_{i}\leq M mmif(ξi)MiM, 进而 m Δ x i ≤ m i Δ x i ≤ f ( ξ i ) Δ x i ≤ M i Δ x i ≤ M Δ x i m\Delta x_{i}\leq m_{i}\Delta x_{i}\leq f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq M_{i}\Delta x_{i}\leq M\Delta x_{i} mΔximiΔxif(ξi)ΔxiMiΔxiMΔxi, 对 i i i 加和得到上述结论).整理一下得到: 对于任意的分割 T T T T T T 上的点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 有
m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq s(T)\leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq S(T) \leq M(b-a) m(ba)s(T)i=1nf(ξi)ΔxiS(T)M(ba)
可以证明: 分割 T T T 的达布上和与达布下和分别是分割 T T T T T T 上的所有点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 对应黎曼和的上下确界, 即
s ( T ) = inf ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ,   S ( T ) = sup ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i s(T)=\inf\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i},\ S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} s(T)={ξi}infi=1nf(ξi)Δxi, S(T)={ξi}supi=1nf(ξi)Δxi
证明: 仅证明 S ( T ) = sup ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} S(T)={ξi}supi=1nf(ξi)Δxi, 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可以用类似方式证明.

对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ϵ>0, 在任意一个分段 Δ i ∈ { Δ 1 , . . . , Δ n } \Delta_{i}\in \{\Delta_{1},...,\Delta_{n}\} Δi{Δ1,...,Δn} 上, 由于 M i = sup ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) M_{i}=\sup\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x) Mi=xΔisupf(x), 因此存在 ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, 使得 f ( ξ i ) ≥ M i − ϵ b − a f(\xi_{i})\geq M_{i}-\frac{\epsilon}{b-a} f(ξi)Mibaϵ, 由此构造出点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n. T T T { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi} 对应的黎曼和满足
S ( T ) − ϵ = ∑ i = 1 n ( M i − ϵ b − a ) Δ x i ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ≤ S ( T ) S(T)-\epsilon=\sum\limits_{i=1}^{n}(M_{i}-\frac{\epsilon}{b-a})\Delta x_{i} \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq S(T) S(T)ϵ=i=1n(Mibaϵ)Δxii=1nf(ξi)ΔxiS(T)
定理4.4.2. 若分割 T ′ T' T 是在分割 T T T 的基础上增加 p p p 个分点得到的, 则
s ( T ) + ( M − m ) p ∥ T ∥ ≥ s ( T ′ ) ≥ s ( T ) s(T)+(M-m)p \parallel T \parallel \geq s(T') \geq s(T) s(T)+(Mm)pT∥≥s(T)s(T)

S ( T ) − ( M − m ) p ∥ T ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p \parallel T \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)(Mm)pT∥≤S(T)S(T)

证明: 我们证明 S ( T ) − ( M − m ) p ∥ T ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p \parallel T \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)(Mm)pT∥≤S(T)S(T), 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可类似证明.

p = 1 p=1 p=1 时, 设新增的分点在第 k k k 个子区间, 达布上和中这一区间对应的项变为
M i Δ x i → M i ′ Δ x i ′ + M i ′ ′ Δ x i ′ ′ M_{i}\Delta x_{i}\rightarrow M_{i}'\Delta x_{i}'+ M_{i}''\Delta x_{i}'' MiΔxiMiΔxi+Mi′′Δxi′′
这里 M i ′ M_{i}' Mi M i ′ ′ M_{i}'' Mi′′ 分别是插入分点左侧和右侧的区间上的最大值, Δ x i ′ \Delta x_{i}' Δxi Δ x i ′ ′ \Delta x_{i}'' Δxi′′ 分别是插入分点左侧和右侧的区间长度. 显然 M i ′ M_{i}' Mi M i ′ ′ M_{i}'' Mi′′ 都不超过 M M M, 插入分点前后的此项的差值为
M i ′ Δ x i ′ + M i ′ ′ Δ x i ′ ′ − M i Δ x i = ( M i ′ − M i ) Δ x i ′ + ( M i ′ ′ − M i ) Δ x i ′ ′ ≤ 0 M_{i}'\Delta x_{i}'+ M_{i}''\Delta x_{i}''-M_{i}\Delta x_{i} =(M_{i}'-M_{i})\Delta x_{i}'+(M_{i}''-M_{i})\Delta x_{i}'' \leq 0 MiΔxi+Mi′′Δxi′′MiΔxi=(MiMi)Δxi+(Mi′′Mi)Δxi′′0
由于 M i − M i ′ ≤ M i − m i ≤ M − m M_{i}-M_{i}'\leq M_{i}-m_{i}\leq M-m MiMiMimiMm, M i − M i ′ ′ ≤ M i − m i ≤ M − m M_{i}-M_{i}''\leq M_{i}-m_{i}\leq M-m MiMi′′MimiMm, Δ x i ′ ≤ ∥ T ∥ \Delta x_{i}'\leq \parallel T \parallel Δxi≤∥T, Δ x i ′ ′ ≤ ∥ T ∥ \Delta x_{i}'' \leq \parallel T \parallel Δxi′′≤∥T

因此 S ( T ) − ( M − m ) ∥ T ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m) \parallel T \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)(Mm)T∥≤S(T)S(T)

p = n − 1 p=n-1 p=n1 时成立, 求证 p = n p=n p=n 时成立: 设插入 n − 1 n-1 n1 个分点后得到 T n − 1 T^{n-1} Tn1, 根据归纳假设,
S ( T ) − ( M − m ) ( n − 1 ) ∥ T ∥ ≤ S ( T n − 1 ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m) (n-1) \parallel T \parallel \leq S(T^{n-1}) \leq S(T) S(T)(Mm)(n1)T∥≤S(Tn1)S(T)
此时再插入一点, 得到 T n T^{n} Tn, 由 p = 1 p=1 p=1 的结论, 有
S ( T n − 1 ) − ( M − m ) ∥ T n − 1 ∥ ≤ S ( T n ) ≤ S ( T n − 1 ) S(T^{n-1})-(M-m) \parallel T^{n-1} \parallel \leq S(T^{n}) \leq S(T^{n-1}) S(Tn1)(Mm)Tn1∥≤S(Tn)S(Tn1)
由于 ∥ T n − 1 ∥ ≤ ∥ T ∥ \parallel T^{n-1} \parallel\leq \parallel T \parallel Tn1∥≤∥T, 再结合 p = n − 1 p=n-1 p=n1 时的结论, 有
S ( T ) − ( M − m ) n ∥ T ∥ ≤ S ( T n ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)n \parallel T \parallel \leq S(T^{n}) \leq S(T) S(T)(Mm)nT∥≤S(Tn)S(T)
证毕.

这个结论表明, 若分割 T ′ T' T 是由分割 T T T 增加分点得到的, 即 T ′ T' T 是更精细的分割, 则 T ′ T' T 的达布上和不高于 T T T 的达布上和, T ′ T' T 的达布下和不低于 T T T 的达布下和.

定理4.4.3. 对于任意分割 T T T T ′ T' T, T ′ T' T 的达布上和不会低于 T T T 的达布下和, 达布下和不会高于 T T T 的达布上和, 即
s ( T ′ ) ≤ S ( T ) s(T')\leq S(T) s(T)S(T)

S ( T ′ ) ≥ s ( T ) S(T') \geq s(T) S(T)s(T)

证明:

T T T T ′ T' T 的分点合并后得到 T + T ′ T+T' T+T, 根据定理4.4.2, 有
s ( T ′ ) ≤ s ( T + T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ) s(T') \leq s(T+T')\leq S(T+T')\leq S(T) s(T)s(T+T)S(T+T)S(T)

s ( T ) ≤ s ( T + T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ′ ) s(T) \leq s(T+T')\leq S(T+T')\leq S(T') s(T)s(T+T)S(T+T)S(T)

证毕.

这个结论表明, 一个分割的达布上和不会低于任何分割的达布下和, 一个分割的达布下和不会超过任何分割的达布上和, 达布上和的取值范围整体大于等于达布下和的取值范围.

对于任意的分割 T T T, m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq s(T)\leq S(T) \leq M(b-a) m(ba)s(T)S(T)M(ba), 因此 s ( T ) s(T) s(T) 有上界, S ( T ) S(T) S(T) 有下界, 进而 s ( T ) s(T) s(T) 有上确界, S ( T ) S(T) S(T) 有下确界.

定义. 分别称 s = sup ⁡ T s ( T ) s=\sup\limits_{T} s(T) s=Tsups(T), S = sup ⁡ T S ( T ) S=\sup\limits_{T} S(T) S=TsupS(T) 为下积分和上积分, 由以上分析可知 s ≤ S s\leq S sS. 整理一下, 可得结论: 对于任意分割 T T T, 有 m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ s ≤ S ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq s(T)\leq s \leq S\leq S(T)\leq M(b-a) m(ba)s(T)sSS(T)M(ba).

定理4.4.4. 上下积分, 也就是达布上和的下确界和达布下和的上确界, 分别等于达布上和达布下和在 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 T0 时的极限, 即 S = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) S=T∥→0limS(T), s = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) s=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} s(T) s=T∥→0lims(T).

证明: 下面证明 S = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) S=T∥→0limS(T), 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可类似证明.

即证: 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 对于任意的分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta T∥≤δ, 必有
S ( T ) − S ≤ ϵ S(T)-S\leq \epsilon S(T)Sϵ
由下确界的定义, 对于任意 ϵ ′ > 0 \epsilon'\gt 0 ϵ>0, 必然存在分割 T T T, 使得 S ≤ S ( T ) ≤ S + ϵ ′ S\leq S(T)\leq S+\epsilon' SS(T)S+ϵ,

对于任意分割 T ′ T' T, 记 T T T T ′ T' T 合并后的分割为 T + T ′ T+T' T+T, 对于 T T T 而言, T + T ′ T+T' T+T 至多新增了 p T ′ p_{T'} pT 个点, 对于 T ′ T' T 而言, T + T ′ T+T' T+T 至多新增了 p T p_{T} pT 个点, 由定理4.4.2, 有
S ( T ′ ) − ( M − m ) p T ′ ∥ T ′ ∥ ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ′ ) S(T')-(M-m)p_{T'}\parallel T'\parallel\leq S(T+T')\leq S(T') S(T)(Mm)pTT∥≤S(T+T)S(T)

S ( T ) − ( M − m ) p T ∥ T ∥ ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p_{T}\parallel T\parallel\leq S(T+T')\leq S(T) S(T)(Mm)pTT∥≤S(T+T)S(T)

因此 S ( T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) + ( M − m ) p T ′ ∥ T ′ ∥ ≤ S ( T ) + ( M − m ) p T ′ ∥ T ′ ∥ S(T')\leq S(T+T') + (M-m)p_{T'}\parallel T'\parallel\leq S(T) + (M-m)p_{T'}\parallel T'\parallel S(T)S(T+T)+(Mm)pTT∥≤S(T)+(Mm)pTT.

因此对于任意 T ′ T' T, 满足 ∥ T ′ ∥ ≤ ϵ ′ ( M − m ) p T ′ \parallel T'\parallel\leq \frac{\epsilon'}{(M-m)p_{T'}} T∥≤(Mm)pTϵ, 则有
S ( T ′ ) ≤ S ( T ) + ϵ ′ ≤ S + 2 ϵ ′ S(T')\leq S(T)+\epsilon' \leq S+2\epsilon' S(T)S(T)+ϵS+2ϵ
特别地, 对于 ϵ ′ = ϵ 2 \epsilon'=\frac{\epsilon}{2} ϵ=2ϵ, 此时
S ( T ′ ) − S ≤ ϵ S(T')-S\leq \epsilon S(T)Sϵ
证毕.

定理4.4.5. f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积的充要条件是: lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T) T∥→0lims(T)=T∥→0limS(T)

推论. 补充 2 条充要条件: (2) s = S s=S s=S; (3) 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在分割 T T T 使得 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)s(T)ϵ.

证明: (1) 充分性: 设 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = J \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T)=J T∥→0lims(T)=T∥→0limS(T)=J, 进而对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta \gt 0 δ>0, 对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,,Δn}, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta T∥≤δ, 有

J − ϵ ≤ s ( T ) ≤ s ≤ S ≤ S ( T ) ≤ J + ϵ J-\epsilon\leq s(T)\leq s\leq S \leq S(T) \leq J+\epsilon Jϵs(T)sSS(T)J+ϵ
此时对于分割 T T T 上的任意点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 所得的黎曼和满足:
J − ϵ ≤ s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ≤ S ( T ) ≤ J + ϵ J-\epsilon \leq s(T)\leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} \leq S(T)\leq J+\epsilon Jϵs(T)i=1nf(ξi)ΔxiS(T)J+ϵ
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} -J|\leq \epsilon i=1nf(ξi)ΔxiJϵ, 则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积且积分值为 J J J.

必要性: 由 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积可知, 存在实数 J J J, 使得对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,,Δn}, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta T∥≤δ , 和任意点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξiΔi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,,n, 有
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}-J|\leq \epsilon i=1nf(ξi)ΔxiJϵ

J − ϵ ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ≤ J + ϵ J-\epsilon \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq J+\epsilon Jϵi=1nf(ξi)ΔxiJ+ϵ
进而有
J − ϵ ≤ s ( T ) = inf ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ≤ J + ϵ J − ϵ ≤ S ( T ) = sup ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ≤ J + ϵ J-\epsilon \leq s(T)=\inf\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq J+\epsilon\\ J-\epsilon \leq S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq J+\epsilon Jϵs(T)={ξi}infi=1nf(ξi)ΔxiJ+ϵJϵS(T)={ξi}supi=1nf(ξi)ΔxiJ+ϵ
因此有 ∣ s ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |s(T)-J|\leq \epsilon s(T)Jϵ, ∣ S ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |S(T)-J|\leq \epsilon S(T)Jϵ. 所以 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = J \lim\limits_{\parallel T\parallel \rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T\parallel \rightarrow 0}S(T)=J T∥→0lims(T)=T∥→0limS(T)=J.

(2) 由定理4.4.4可知: s = S s=S s=S    ⟺    \iff lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T) T∥→0lims(T)=T∥→0limS(T).

(3) 充分性: 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在分割 T T T 使得 ∣ S − s ∣ ≤ ∣ S ( T ) − s ( T ) ∣ ≤ ϵ |S-s|\leq|S(T)-s(T)|\leq \epsilon SsS(T)s(T)ϵ. 由 ϵ \epsilon ϵ 的任意性, S = s S=s S=s, 由 (2) 的结论, f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积.

必要性: 若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积, 则由 (1) 的结论, s = S s=S s=S, 即 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} s(T) T∥→0limS(T)=T∥→0lims(T), 所以 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) − s ( T ) = 0 \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T)-s(T)=0 T∥→0limS(T)s(T)=0. 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意的分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta T∥≤δ, 有 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)s(T)ϵ.

推论. 由 (1) 的证明过程可以得到: 当 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积时, ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T) abf(x)dx=T∥→0lims(T)=T∥→0limS(T), 进而:
∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = s = S \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T) = s=S abf(x)dx=T∥→0lims(T)=T∥→0limS(T)=s=S

4.4.2 借助 Lebesgue 积分讨论 Riemann 积分的可积性

定义. 由于可积的必要条件是有界, 因此我们把研究的范围限定在有界实值函数上, 此外, 为了方便分析, 我们再补充一些定义. 在分割 T T T 的达布上和和下和的基础上, 定义简单函数
u T ( a ) = a ,   u T ( x ) = m i ,   x ∈ ( x i − 1 , x i ] u_{T}(a)=a, \ u_{T}(x)=m_{i}, \, x\in (x_{i-1},x_{i}] uT(a)=a, uT(x)=mi,x(xi1,xi]

U T ( a ) = a ,   U T ( x ) = M i ,   x ∈ ( x i − 1 , x i ] U_{T}(a)=a, \ U_{T}(x)=M_{i}, \, x\in (x_{i-1},x_{i}] UT(a)=a, UT(x)=Mi,x(xi1,xi]

显然有
( L ) ∫ a b u T ( x ) d x = ∑ i = 1 n m i Δ x i = s ( T ) , ( L ) ∫ a b U T ( x ) d x = ∑ i = 1 n M i Δ x i = S ( T ) (L)\int_{a}^{b}u_{T}(x)\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}=s(T), \quad (L)\int_{a}^{b}U_{T}(x)\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}=S(T) (L)abuT(x)dx=i=1nmiΔxi=s(T),(L)abUT(x)dx=i=1nMiΔxi=S(T)

inf ⁡ x ∈ [ a , b ] f ( x ) ≤ u T ( x ) ≤ f ( x ) ≤ U T ( x ) ≤ sup ⁡ x ∈ [ a , b ] f ( x ) \inf_{x\in [a,b]}f(x)\leq u_{T}(x) \leq f(x)\leq U_{T}(x) \leq \sup_{x\in [a,b]}f(x) x[a,b]inff(x)uT(x)f(x)UT(x)x[a,b]supf(x)

易证: 对于一列逐渐加细 ( ∥ T ∥ → 0 \parallel T\parallel\rightarrow 0 T∥→0) 的分割 { T n } \{T_{n}\} {Tn}, { u T n } \{u_{T_{n}}\} {uTn} (下文简写为 u n u_{n} un) 是单调递增简单函数列, { U T n } \{U_{T_{n}}\} {UTn} (下文简写为 U n U_{n} Un) 是单调递减简单函数列, 因此它们的极限函数可测, 分别记为 u ( x ) u(x) u(x), U ( x ) U(x) U(x). 因为 u n ( x ) ≤ f ( x ) ≤ U n ( x ) u_{n}(x) \leq f(x) \leq U_{n}(x) un(x)f(x)Un(x), ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in [a,b] x[a,b] 所以 u ( x ) ≤ f ( x ) ≤ U ( x ) u(x)\leq f(x)\leq U(x) u(x)f(x)U(x), ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in [a,b] x[a,b]. 此外, 由于 f ( x ) f(x) f(x) 有界, 可知 { u n } \{u_{n}\} {un}, { U n } \{U_{n}\} {Un} 是有界函数列, 进而可知它们的极限 u ( x ) u(x) u(x) U ( x ) U(x) U(x) 都是有界函数. 在此基础上, 我们还可以得出如下结论:

定理4.4.6. 对于有界实值函数 f ( x ) f(x) f(x), u ( x 0 ) = U ( x 0 ) = f ( x 0 ) u(x_{0})=U(x_{0})=f(x_{0}) u(x0)=U(x0)=f(x0) 的充要条件是 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_{0} x0 点处连续.

证明: 充分性: 由 f ( x ) f(x) f(x) 的连续性可知, 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ϵ>0, ∃ δ > 0 \exists \delta\gt 0 δ>0, 当 ∣ x − x 0 ∣ ≤ δ |x-x_{0}|\leq \delta xx0δ 时, ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x_{0})|\leq \epsilon f(x)f(x0)ϵ.

由于分割逐渐加细, 所以必然存在正整数 N N N, 使得对于任意 n ≥ N n\geq N nN, T n T_{n} Tn 存在一个子区间 [ x i − 1 n , x i n ] [x_{i-1}^{n}, x_{i}^{n}] [xi1n,xin], 使得 ( x i − 1 n , x i n ) ⊂ ( x 0 − δ , x 0 + δ ) (x_{i-1}^{n}, x_{i}^{n})\subset (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta) (xi1n,xin)(x0δ,x0+δ), 此时 ∣ u n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |u_{n}(x_{0})-f(x_{0})|\leq \epsilon un(x0)f(x0)ϵ. 同理可证存在 N ′ N' N, 使得对于任意 n ≥ N ′ n\geq N' nN, ∣ U n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |U_{n}(x_{0})-f(x_{0})|\leq \epsilon Un(x0)f(x0)ϵ. 因此 lim ⁡ n → ∞ u n ( x 0 ) = lim ⁡ n → ∞ U n ( x 0 ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{n\rightarrow \infty}u_{n}(x_{0})=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}U_{n}(x_{0})=f(x_{0}) nlimun(x0)=nlimUn(x0)=f(x0) , 即 u ( x 0 ) = U ( x 0 ) = f ( x 0 ) u(x_{0})=U(x_{0})=f(x_{0}) u(x0)=U(x0)=f(x0).

必要性: 即证: 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ϵ>0, ∃ δ > 0 \exists \delta\gt 0 δ>0, 使得当 ∣ x − x 0 ∣ ≤ δ |x-x_{0}|\leq \delta xx0δ 时, ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x_{0})|\leq \epsilon f(x)f(x0)ϵ u ( x 0 ) = U ( x 0 ) = f ( x 0 ) u(x_{0})=U(x_{0})=f(x_{0}) u(x0)=U(x0)=f(x0) lim ⁡ n → ∞ u n ( x 0 ) = lim ⁡ n → ∞ U n ( x 0 ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{n\rightarrow \infty}u_{n}(x_{0})=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}U_{n}(x_{0})=f(x_{0}) nlimun(x0)=nlimUn(x0)=f(x0).,由此可知对于 ϵ \epsilon ϵ, ∃ N \exists N N, 对于任意 n ≥ N n\geq N nN, ∣ u n ( x 0 ) − U n ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |u_{n}(x_{0})-U_{n}(x_{0})|\leq \epsilon un(x0)Un(x0)ϵ, 设 x 0 x_{0} x0 T N T_{N} TN 的子区间 [ x i − 1 N , x i N ] [x_{i-1}^{N},x_{i}^{N}] [xi1N,xiN] 中, 所以对于 x ∈ [ x i − 1 N , x i N ] x\in [x_{i-1}^{N},x_{i}^{N}] x[xi1N,xiN], ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ∣ u N ( x 0 ) − U N ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x_{0})|\leq |u_{N}(x_{0})-U_{N}(x_{0})|\leq \epsilon f(x)f(x0)uN(x0)UN(x0)ϵ, 令 δ = min ⁡ { ∣ x i − 1 N − x 0 ∣ , ∣ x i N − x 0 ∣ } \delta=\min\{|x_{i-1}^{N}-x_{0}|,|x_{i}^{N}-x_{0}|\} δ=min{xi1Nx0,xiNx0}, 当 ∣ x − x 0 ∣ ≤ δ |x-x_{0}|\leq \delta xx0δ 时, ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x_{0})|\leq \epsilon f(x)f(x0)ϵ.

定理4.4.7. 有界实值函数 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积的充要条件是 (1) U ( x ) = u ( x ) U(x)=u(x) U(x)=u(x), a.e. 于 [ a , b ] [a,b] [a,b], (2) f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上几乎处处连续.

证明: { u n ( x ) } ↑ u ( x ) \{u_{n}(x)\}\uparrow u(x) {un(x)}u(x), { U n ( x ) } ↓ U ( x ) \{U_{n}(x)\}\downarrow U(x) {Un(x)}U(x), 由于 f ( x ) f(x) f(x) 有界, 因此存在 m m m M M M 使得 m ≤ f ( x ) ≤ M m\leq f(x) \leq M mf(x)M, 显然对每个 u n ( x ) u_{n}(x) un(x) U n ( x ) U_{n}(x) Un(x), 它们也在这个区间内, 进而 u ( x ) u(x) u(x) U ( x ) U(x) U(x) 也在这个区间内, 因此由有界收敛定理, 有
( L ) ∫ a b U ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∫ a b U n ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ S ( T n ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T n ) = S (L)\int_{a}^{b}U(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{a}^{b} U_{n}(x)\mathrm{d}x= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} S(T_{n})=\lim\limits_{\parallel T\parallel\rightarrow 0} S(T_{n})=S (L)abU(x)dx=nlimabUn(x)dx=nlimS(Tn)=T∥→0limS(Tn)=S

( L ) ∫ a b u ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∫ a b u n ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ s ( T n ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T n ) = s (L)\int_{a}^{b}u(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{a}^{b} u_{n}(x)\mathrm{d}x= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} s(T_{n})=\lim\limits_{\parallel T\parallel\rightarrow 0} s(T_{n})=s (L)abu(x)dx=nlimabun(x)dx=nlims(Tn)=T∥→0lims(Tn)=s

Riemann可积    ⟺    \iff S = s S=s S=s    ⟺    \iff ( L ) ∫ a b U ( x ) d x = ( L ) ∫ a b u ( x ) d x (L)\int_{a}^{b}U(x)\mathrm{d}x=(L)\int_{a}^{b}u(x)\mathrm{d}x (L)abU(x)dx=(L)abu(x)dx    ⟺    \iff ( L ) ∫ a b U ( x ) − u ( x ) d x = 0 (L)\int_{a}^{b}U(x)-u(x)\mathrm{d}x=0 (L)abU(x)u(x)dx=0    ⟺    \iff U ( x ) = u ( x ) U(x)=u(x) U(x)=u(x) a.e. 于 [ a , b ] [a,b] [a,b]    ⟺    \iff f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上几乎处处连续.

推论. (1) 对于 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的单调函数, 其间断点集合为可数集, 即单调函数在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上几乎处处连续, 因此其黎曼可积, 进而可知其必然有界.
(2) 有界并不是 Riemann 可积的充分条件: 反例是 Dirichlet 函数, 对于 [ a , b ] [a,b] [a,b] 区间上的Dirichlet 函数, 其是有界的, 但是处处不连续, 不连续点集的测度不为 0 0 0, 因此不是 Riemann 可积的.

4.4.3 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广

定理4.4.8. 若 f f f [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是黎曼可积的, 则 f ∈ L ( [ a , b ] ) f\in L([a,b]) fL([a,b]), 且
( R ) ∫ a b f ( x ) d x = ( L ) ∫ a b f ( x ) d x (R)\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=(L)\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x (R)abf(x)dx=(L)abf(x)dx
证明: 由定理4.4.7, U ( x ) = u ( x ) U(x)=u(x) U(x)=u(x) a.e. 于 [ a , b ] [a,b] [a,b], 结合 u ( x ) ≤ f ( x ) ≤ U ( x ) u(x)\leq f(x)\leq U(x) u(x)f(x)U(x), ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in [a,b] x[a,b], 可推出 f = u = U f=u=U f=u=U a.e.于 [ a , b ] [a,b] [a,b], 由 u u u U U U 可测可知 f f f 可测, 黎曼可积函数又必然有界, 因此 f ∈ L ( [ a , b ] ) f\in L([a,b]) fL([a,b]). 因为 f f f 有界, 所以 { u n } \{u_{n}\} {un} { U n } \{U_{n}\} {Un} 都是有界函数, 所以由有界收敛定理可知
( L ) ∫ a b f ( x ) d x = ( L ) ∫ a b u ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ( L ) ∫ a b u n ( x ) d x = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T n ) = s = ( R ) ∫ a b f ( x ) d x \begin{align} (L)\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x &=(L)\int_{a}^{b}u(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(L)\int_{a}^{b}u_{n}(x)\mathrm{d}x\\ &=\lim\limits_{\parallel T\parallel\rightarrow 0} s(T_{n})=s =(R)\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \end{align} (L)abf(x)dx=(L)abu(x)dx=nlim(L)abun(x)dx=T∥→0lims(Tn)=s=(R)abf(x)dx文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-419138.html

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