4.4 Riemann 积分和 Lebesgue 积分
4.4.1 Riemann 积分的可积性
定义. 若闭区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上有
n
+
1
n+1
n+1 个点:
a
=
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
−
1
<
x
n
=
b
a=x_{0}\lt x_{1}\lt \cdots\lt x_{n-1}\lt x_{n} =b
a=x0<x1<⋯<xn−1<xn=b
把区间分成
n
n
n 份, 记每个子区间为
Δ
i
=
[
x
i
−
1
,
x
i
]
\Delta_{i}=[x_{i-1},x_{i}]
Δi=[xi−1,xi],
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n, 则称这些分点和子区间构成
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 的一个分割, 记为
T
=
{
x
0
,
…
,
x
n
}
T=\{x_{0},\dots,x_{n}\}
T={x0,…,xn} 或
T
=
{
Δ
1
,
…
,
Δ
n
}
T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\}
T={Δ1,…,Δn}. 记
Δ
x
i
=
x
i
−
x
i
−
1
\Delta x_{i}= x_{i}-x_{i-1}
Δxi=xi−xi−1,
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots, n
i=1,…,n, 定义
∥
T
∥
=
max
i
Δ
x
i
\parallel T\parallel =\max\limits_{i}\Delta x_{i}
∥T∥=imaxΔxi
为分割
T
T
T 的细度.
定义.
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是定义在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的函数, 对于
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的任一分割
T
=
{
Δ
1
,
…
,
Δ
n
}
T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\}
T={Δ1,…,Δn}, 和任意点列
{
ξ
i
}
\{\xi_{i}\}
{ξi},
ξ
i
∈
Δ
i
\xi_{i}\in \Delta_{i}
ξi∈Δi,
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n, 定义和式
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}
i=1∑nf(ξi)Δxi
为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的一个黎曼和. 当
∥
T
∥
→
0
\parallel T\parallel \rightarrow 0
∥T∥→0 时黎曼和的极限称为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的黎曼定积分, 记为
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x
∫abf(x)dx. 如果该极限存在, 则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上黎曼可积.
黎曼定积分的 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵ−δ 定义: 若存在实数 J J J, 使得对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,…,Δn}, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ, 和任意点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, 有
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}-J|\leq \epsilon ∣i=1∑nf(ξi)Δxi−J∣≤ϵ
则称 J J J 为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的黎曼定积分.
定理4.4.1. f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积, 则 f ( x ) f(x) f(x) 必然有界.
证明: 我们接下来证明: 若 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上无界, 则对于任意 M > 0 M\gt 0 M>0, 任意 ϵ > 0 \epsilon \gt 0 ϵ>0, 存在满足 ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ 的分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,…,Δn}, 和 T T T 上的点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, 使得黎曼和满足 ∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ∣ ≥ M |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|\geq M ∣i=1∑nf(ξi)Δxi∣≥M.
任取满足 ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ 的分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,…,Δn}, 因为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上无界, 因此它必然在至少一个子区间上无界, 否则将会得出 f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界, 设 f f f 在 Δ k \Delta_{k} Δk 上无上界. 在除 Δ k \Delta_{k} Δk 外的各个子区间上分别任取一点, 记为 ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, 1 ≤ i ≤ n 1\leq i\leq n 1≤i≤n, i ≠ k i\neq k i=k, 记 ∣ ∑ i = 1 i ≠ k n f ( ξ i ) Δ x i ∣ = G |\sum\limits_{i=1\atop i\neq k}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|= G ∣i=ki=1∑nf(ξi)Δxi∣=G. 由于 f ( x ) f(x) f(x) 在 Δ k \Delta_{k} Δk 上无界, 因此对于任意 N > 0 N\gt 0 N>0, 存在 ξ ∈ Δ k \xi\in \Delta_{k} ξ∈Δk, ∣ f ( ξ ) ∣ ≥ N |f(\xi)|\geq N ∣f(ξ)∣≥N, 以 ξ \xi ξ 作为 Δ k \Delta_{k} Δk 上选取的点 ξ k \xi_{k} ξk, 得到点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, 此时 ∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ∣ = ∣ ∑ i = 1 i ≠ k n f ( ξ i ) Δ x i + f ( ξ ) Δ x k ∣ ≥ ∣ f ( ξ ) Δ k ∣ − ∣ ∑ i = 1 i ≠ k n f ( ξ i ) Δ x i ∣ = N Δ x k − G |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|=|\sum\limits_{i=1\atop i\neq k}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}+f(\xi)\Delta x_{k}|\geq|f(\xi)\Delta_{k}|-|\sum\limits_{i=1\atop i\neq k}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|= N\Delta x_{k} - G ∣i=1∑nf(ξi)Δxi∣=∣i=ki=1∑nf(ξi)Δxi+f(ξ)Δxk∣≥∣f(ξ)Δk∣−∣i=ki=1∑nf(ξi)Δxi∣=NΔxk−G, 若取 N = M + G Δ x k N=\frac{M+G}{\Delta x_{k}} N=ΔxkM+G, 此时 ∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i ∣ = ∣ ∑ i = 1 i ≠ k n f ( ξ i ) Δ x i + f ( ξ i ) Δ x i ∣ ≥ M |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}|=|\sum\limits_{i=1\atop i\neq k}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}+f(\xi_{i})\Delta x_{i}|\geq M ∣i=1∑nf(ξi)Δxi∣=∣i=ki=1∑nf(ξi)Δxi+f(ξi)Δxi∣≥M, 分割 T T T 和点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi} 即为所求.
有界并不是可积的充分条件, 例如 Dirichlet 函数就是有界但不可积的, 将会在后面给出证明.
由此可见, 有界是可积的必要条件, 下文仅对有界函数讨论可积性.
定义. 对于任意的分割
T
T
T, 由于函数
f
f
f 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上有界, 因此其必然在所有分段
Δ
i
\Delta_{i}
Δi 上有界, 进而有上确界和下确界. 进一步地, 设
m
i
=
inf
x
∈
Δ
i
f
(
x
)
m_{i}=\inf\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x)
mi=x∈Δiinff(x),
M
i
=
sup
x
∈
Δ
i
f
(
x
)
M_{i}=\sup\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x)
Mi=x∈Δisupf(x),
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n, 定义和式
∑
i
=
1
n
m
i
Δ
x
i
,
∑
i
=
1
n
M
i
Δ
x
i
\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}, \quad \sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}
i=1∑nmiΔxi,i=1∑nMiΔxi 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上关于分割
T
T
T 的达布下和和达布上和, 分别记为
s
(
T
)
s(T)
s(T) 和
S
(
T
)
S(T)
S(T), 可见达布上和与达布下和仅与分割
T
T
T 有关, 是从属于
T
T
T 的两个属性. 显然
m
(
b
−
a
)
≤
s
(
T
)
≤
S
(
T
)
≤
M
(
b
−
a
)
m(b-a)\leq s(T)\leq S(T) \leq M(b-a)
m(b−a)≤s(T)≤S(T)≤M(b−a), 其中
M
=
sup
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
M=\sup\limits_{x\in [a,b]}f(x)
M=x∈[a,b]supf(x),
m
=
inf
x
∈
[
a
,
b
]
f
(
x
)
m=\inf\limits_{x\in [a,b]}f(x)
m=x∈[a,b]inff(x); 对于
T
T
T 上的任一点列
{
ξ
i
}
\{\xi_{i}\}
{ξi},
ξ
i
∈
Δ
i
\xi_{i}\in \Delta_{i}
ξi∈Δi,
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n, 黎曼和
s
(
T
)
≤
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
S
(
T
)
s(T) \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq S(T)
s(T)≤i=1∑nf(ξi)Δxi≤S(T) (
m
≤
m
i
≤
f
(
ξ
i
)
≤
M
i
≤
M
m\leq m_{i}\leq f(\xi_{i})\leq M_{i}\leq M
m≤mi≤f(ξi)≤Mi≤M, 进而
m
Δ
x
i
≤
m
i
Δ
x
i
≤
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
M
i
Δ
x
i
≤
M
Δ
x
i
m\Delta x_{i}\leq m_{i}\Delta x_{i}\leq f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq M_{i}\Delta x_{i}\leq M\Delta x_{i}
mΔxi≤miΔxi≤f(ξi)Δxi≤MiΔxi≤MΔxi, 对
i
i
i 加和得到上述结论).整理一下得到: 对于任意的分割
T
T
T 及
T
T
T 上的点列
{
ξ
i
}
\{\xi_{i}\}
{ξi},
ξ
i
∈
Δ
i
\xi_{i}\in \Delta_{i}
ξi∈Δi,
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n, 有
m
(
b
−
a
)
≤
s
(
T
)
≤
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
S
(
T
)
≤
M
(
b
−
a
)
m(b-a)\leq s(T)\leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq S(T) \leq M(b-a)
m(b−a)≤s(T)≤i=1∑nf(ξi)Δxi≤S(T)≤M(b−a)
可以证明: 分割
T
T
T 的达布上和与达布下和分别是分割
T
T
T 与
T
T
T 上的所有点列
{
ξ
i
}
\{\xi_{i}\}
{ξi},
ξ
i
∈
Δ
i
\xi_{i}\in \Delta_{i}
ξi∈Δi,
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n, 对应黎曼和的上下确界, 即
s
(
T
)
=
inf
{
ξ
i
}
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
,
S
(
T
)
=
sup
{
ξ
i
}
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
s(T)=\inf\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i},\ S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}
s(T)={ξi}infi=1∑nf(ξi)Δxi, S(T)={ξi}supi=1∑nf(ξi)Δxi
证明: 仅证明
S
(
T
)
=
sup
{
ξ
i
}
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}
S(T)={ξi}supi=1∑nf(ξi)Δxi, 关于
s
(
T
)
s(T)
s(T) 的结论可以用类似方式证明.
对于
∀
ϵ
>
0
\forall \epsilon\gt 0
∀ϵ>0, 在任意一个分段
Δ
i
∈
{
Δ
1
,
.
.
.
,
Δ
n
}
\Delta_{i}\in \{\Delta_{1},...,\Delta_{n}\}
Δi∈{Δ1,...,Δn} 上, 由于
M
i
=
sup
x
∈
Δ
i
f
(
x
)
M_{i}=\sup\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x)
Mi=x∈Δisupf(x), 因此存在
ξ
i
∈
Δ
i
\xi_{i}\in \Delta_{i}
ξi∈Δi, 使得
f
(
ξ
i
)
≥
M
i
−
ϵ
b
−
a
f(\xi_{i})\geq M_{i}-\frac{\epsilon}{b-a}
f(ξi)≥Mi−b−aϵ, 由此构造出点列
{
ξ
i
}
\{\xi_{i}\}
{ξi},
ξ
i
∈
Δ
i
\xi_{i}\in \Delta_{i}
ξi∈Δi,
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n.
T
T
T 和
{
ξ
i
}
\{\xi_{i}\}
{ξi} 对应的黎曼和满足
S
(
T
)
−
ϵ
=
∑
i
=
1
n
(
M
i
−
ϵ
b
−
a
)
Δ
x
i
≤
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
S
(
T
)
S(T)-\epsilon=\sum\limits_{i=1}^{n}(M_{i}-\frac{\epsilon}{b-a})\Delta x_{i} \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq S(T)
S(T)−ϵ=i=1∑n(Mi−b−aϵ)Δxi≤i=1∑nf(ξi)Δxi≤S(T)
定理4.4.2. 若分割
T
′
T'
T′ 是在分割
T
T
T 的基础上增加
p
p
p 个分点得到的, 则
s
(
T
)
+
(
M
−
m
)
p
∥
T
∥
≥
s
(
T
′
)
≥
s
(
T
)
s(T)+(M-m)p \parallel T \parallel \geq s(T') \geq s(T)
s(T)+(M−m)p∥T∥≥s(T′)≥s(T)
S ( T ) − ( M − m ) p ∥ T ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p \parallel T \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)−(M−m)p∥T∥≤S(T′)≤S(T)
证明: 我们证明 S ( T ) − ( M − m ) p ∥ T ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p \parallel T \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)−(M−m)p∥T∥≤S(T′)≤S(T), 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可类似证明.
当
p
=
1
p=1
p=1 时, 设新增的分点在第
k
k
k 个子区间, 达布上和中这一区间对应的项变为
M
i
Δ
x
i
→
M
i
′
Δ
x
i
′
+
M
i
′
′
Δ
x
i
′
′
M_{i}\Delta x_{i}\rightarrow M_{i}'\Delta x_{i}'+ M_{i}''\Delta x_{i}''
MiΔxi→Mi′Δxi′+Mi′′Δxi′′
这里
M
i
′
M_{i}'
Mi′ 和
M
i
′
′
M_{i}''
Mi′′ 分别是插入分点左侧和右侧的区间上的最大值,
Δ
x
i
′
\Delta x_{i}'
Δxi′ 和
Δ
x
i
′
′
\Delta x_{i}''
Δxi′′ 分别是插入分点左侧和右侧的区间长度. 显然
M
i
′
M_{i}'
Mi′ 和
M
i
′
′
M_{i}''
Mi′′ 都不超过
M
M
M, 插入分点前后的此项的差值为
M
i
′
Δ
x
i
′
+
M
i
′
′
Δ
x
i
′
′
−
M
i
Δ
x
i
=
(
M
i
′
−
M
i
)
Δ
x
i
′
+
(
M
i
′
′
−
M
i
)
Δ
x
i
′
′
≤
0
M_{i}'\Delta x_{i}'+ M_{i}''\Delta x_{i}''-M_{i}\Delta x_{i} =(M_{i}'-M_{i})\Delta x_{i}'+(M_{i}''-M_{i})\Delta x_{i}'' \leq 0
Mi′Δxi′+Mi′′Δxi′′−MiΔxi=(Mi′−Mi)Δxi′+(Mi′′−Mi)Δxi′′≤0
由于
M
i
−
M
i
′
≤
M
i
−
m
i
≤
M
−
m
M_{i}-M_{i}'\leq M_{i}-m_{i}\leq M-m
Mi−Mi′≤Mi−mi≤M−m,
M
i
−
M
i
′
′
≤
M
i
−
m
i
≤
M
−
m
M_{i}-M_{i}''\leq M_{i}-m_{i}\leq M-m
Mi−Mi′′≤Mi−mi≤M−m,
Δ
x
i
′
≤
∥
T
∥
\Delta x_{i}'\leq \parallel T \parallel
Δxi′≤∥T∥,
Δ
x
i
′
′
≤
∥
T
∥
\Delta x_{i}'' \leq \parallel T \parallel
Δxi′′≤∥T∥
因此 S ( T ) − ( M − m ) ∥ T ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m) \parallel T \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)−(M−m)∥T∥≤S(T′)≤S(T)
若
p
=
n
−
1
p=n-1
p=n−1 时成立, 求证
p
=
n
p=n
p=n 时成立: 设插入
n
−
1
n-1
n−1 个分点后得到
T
n
−
1
T^{n-1}
Tn−1, 根据归纳假设,
S
(
T
)
−
(
M
−
m
)
(
n
−
1
)
∥
T
∥
≤
S
(
T
n
−
1
)
≤
S
(
T
)
S(T)-(M-m) (n-1) \parallel T \parallel \leq S(T^{n-1}) \leq S(T)
S(T)−(M−m)(n−1)∥T∥≤S(Tn−1)≤S(T)
此时再插入一点, 得到
T
n
T^{n}
Tn, 由
p
=
1
p=1
p=1 的结论, 有
S
(
T
n
−
1
)
−
(
M
−
m
)
∥
T
n
−
1
∥
≤
S
(
T
n
)
≤
S
(
T
n
−
1
)
S(T^{n-1})-(M-m) \parallel T^{n-1} \parallel \leq S(T^{n}) \leq S(T^{n-1})
S(Tn−1)−(M−m)∥Tn−1∥≤S(Tn)≤S(Tn−1)
由于
∥
T
n
−
1
∥
≤
∥
T
∥
\parallel T^{n-1} \parallel\leq \parallel T \parallel
∥Tn−1∥≤∥T∥, 再结合
p
=
n
−
1
p=n-1
p=n−1 时的结论, 有
S
(
T
)
−
(
M
−
m
)
n
∥
T
∥
≤
S
(
T
n
)
≤
S
(
T
)
S(T)-(M-m)n \parallel T \parallel \leq S(T^{n}) \leq S(T)
S(T)−(M−m)n∥T∥≤S(Tn)≤S(T)
证毕.
这个结论表明, 若分割 T ′ T' T′ 是由分割 T T T 增加分点得到的, 即 T ′ T' T′ 是更精细的分割, 则 T ′ T' T′ 的达布上和不高于 T T T 的达布上和, T ′ T' T′ 的达布下和不低于 T T T 的达布下和.
定理4.4.3. 对于任意分割
T
T
T 和
T
′
T'
T′,
T
′
T'
T′ 的达布上和不会低于
T
T
T 的达布下和, 达布下和不会高于
T
T
T 的达布上和, 即
s
(
T
′
)
≤
S
(
T
)
s(T')\leq S(T)
s(T′)≤S(T)
S ( T ′ ) ≥ s ( T ) S(T') \geq s(T) S(T′)≥s(T)
证明:
设
T
T
T 和
T
′
T'
T′ 的分点合并后得到
T
+
T
′
T+T'
T+T′, 根据定理4.4.2, 有
s
(
T
′
)
≤
s
(
T
+
T
′
)
≤
S
(
T
+
T
′
)
≤
S
(
T
)
s(T') \leq s(T+T')\leq S(T+T')\leq S(T)
s(T′)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T)
s ( T ) ≤ s ( T + T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ′ ) s(T) \leq s(T+T')\leq S(T+T')\leq S(T') s(T)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T′)
证毕.
这个结论表明, 一个分割的达布上和不会低于任何分割的达布下和, 一个分割的达布下和不会超过任何分割的达布上和, 达布上和的取值范围整体大于等于达布下和的取值范围.
对于任意的分割 T T T, m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq s(T)\leq S(T) \leq M(b-a) m(b−a)≤s(T)≤S(T)≤M(b−a), 因此 s ( T ) s(T) s(T) 有上界, S ( T ) S(T) S(T) 有下界, 进而 s ( T ) s(T) s(T) 有上确界, S ( T ) S(T) S(T) 有下确界.
定义. 分别称 s = sup T s ( T ) s=\sup\limits_{T} s(T) s=Tsups(T), S = sup T S ( T ) S=\sup\limits_{T} S(T) S=TsupS(T) 为下积分和上积分, 由以上分析可知 s ≤ S s\leq S s≤S. 整理一下, 可得结论: 对于任意分割 T T T, 有 m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ s ≤ S ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq s(T)\leq s \leq S\leq S(T)\leq M(b-a) m(b−a)≤s(T)≤s≤S≤S(T)≤M(b−a).
定理4.4.4. 上下积分, 也就是达布上和的下确界和达布下和的上确界, 分别等于达布上和达布下和在 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 ∥T∥→0 时的极限, 即 S = lim ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) S=∥T∥→0limS(T), s = lim ∥ T ∥ → 0 s ( T ) s=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} s(T) s=∥T∥→0lims(T).
证明: 下面证明 S = lim ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) S=∥T∥→0limS(T), 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可类似证明.
即证: 对于
∀
ϵ
>
0
\forall \epsilon \gt 0
∀ϵ>0, 存在
δ
>
0
\delta\gt 0
δ>0, 对于任意的分割
T
T
T,
∥
T
∥
≤
δ
\parallel T \parallel\leq \delta
∥T∥≤δ, 必有
S
(
T
)
−
S
≤
ϵ
S(T)-S\leq \epsilon
S(T)−S≤ϵ
由下确界的定义, 对于任意
ϵ
′
>
0
\epsilon'\gt 0
ϵ′>0, 必然存在分割
T
T
T, 使得
S
≤
S
(
T
)
≤
S
+
ϵ
′
S\leq S(T)\leq S+\epsilon'
S≤S(T)≤S+ϵ′,
对于任意分割
T
′
T'
T′, 记
T
T
T 和
T
′
T'
T′ 合并后的分割为
T
+
T
′
T+T'
T+T′, 对于
T
T
T 而言,
T
+
T
′
T+T'
T+T′ 至多新增了
p
T
′
p_{T'}
pT′ 个点, 对于
T
′
T'
T′ 而言,
T
+
T
′
T+T'
T+T′ 至多新增了
p
T
p_{T}
pT 个点, 由定理4.4.2, 有
S
(
T
′
)
−
(
M
−
m
)
p
T
′
∥
T
′
∥
≤
S
(
T
+
T
′
)
≤
S
(
T
′
)
S(T')-(M-m)p_{T'}\parallel T'\parallel\leq S(T+T')\leq S(T')
S(T′)−(M−m)pT′∥T′∥≤S(T+T′)≤S(T′)
S ( T ) − ( M − m ) p T ∥ T ∥ ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p_{T}\parallel T\parallel\leq S(T+T')\leq S(T) S(T)−(M−m)pT∥T∥≤S(T+T′)≤S(T)
因此 S ( T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) + ( M − m ) p T ′ ∥ T ′ ∥ ≤ S ( T ) + ( M − m ) p T ′ ∥ T ′ ∥ S(T')\leq S(T+T') + (M-m)p_{T'}\parallel T'\parallel\leq S(T) + (M-m)p_{T'}\parallel T'\parallel S(T′)≤S(T+T′)+(M−m)pT′∥T′∥≤S(T)+(M−m)pT′∥T′∥.
因此对于任意
T
′
T'
T′, 满足
∥
T
′
∥
≤
ϵ
′
(
M
−
m
)
p
T
′
\parallel T'\parallel\leq \frac{\epsilon'}{(M-m)p_{T'}}
∥T′∥≤(M−m)pT′ϵ′, 则有
S
(
T
′
)
≤
S
(
T
)
+
ϵ
′
≤
S
+
2
ϵ
′
S(T')\leq S(T)+\epsilon' \leq S+2\epsilon'
S(T′)≤S(T)+ϵ′≤S+2ϵ′
特别地, 对于
ϵ
′
=
ϵ
2
\epsilon'=\frac{\epsilon}{2}
ϵ′=2ϵ, 此时
S
(
T
′
)
−
S
≤
ϵ
S(T')-S\leq \epsilon
S(T′)−S≤ϵ
证毕.
定理4.4.5. f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积的充要条件是: lim ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ∥ T ∥ → 0 S ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T) ∥T∥→0lims(T)=∥T∥→0limS(T)
推论. 补充 2 条充要条件: (2) s = S s=S s=S; (3) 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在分割 T T T 使得 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)−s(T)≤ϵ.
证明: (1) 充分性: 设 lim ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = J \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T)=J ∥T∥→0lims(T)=∥T∥→0limS(T)=J, 进而对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta \gt 0 δ>0, 对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,…,Δn}, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ, 有
J
−
ϵ
≤
s
(
T
)
≤
s
≤
S
≤
S
(
T
)
≤
J
+
ϵ
J-\epsilon\leq s(T)\leq s\leq S \leq S(T) \leq J+\epsilon
J−ϵ≤s(T)≤s≤S≤S(T)≤J+ϵ
此时对于分割
T
T
T 上的任意点列
{
ξ
i
}
\{\xi_{i}\}
{ξi},
ξ
i
∈
Δ
i
\xi_{i}\in \Delta_{i}
ξi∈Δi,
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n, 所得的黎曼和满足:
J
−
ϵ
≤
s
(
T
)
≤
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
S
(
T
)
≤
J
+
ϵ
J-\epsilon \leq s(T)\leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} \leq S(T)\leq J+\epsilon
J−ϵ≤s(T)≤i=1∑nf(ξi)Δxi≤S(T)≤J+ϵ
即
∣
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
−
J
∣
≤
ϵ
|\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} -J|\leq \epsilon
∣i=1∑nf(ξi)Δxi−J∣≤ϵ, 则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上黎曼可积且积分值为
J
J
J.
必要性: 由
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上可积可知, 存在实数
J
J
J, 使得对于
∀
ϵ
>
0
\forall \epsilon\gt 0
∀ϵ>0, 存在
δ
>
0
\delta\gt 0
δ>0, 使得对于任意分割
T
=
{
Δ
1
,
…
,
Δ
n
}
T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\}
T={Δ1,…,Δn},
∥
T
∥
≤
δ
\parallel T \parallel\leq \delta
∥T∥≤δ , 和任意点列
{
ξ
i
}
\{\xi_{i}\}
{ξi},
ξ
i
∈
Δ
i
\xi_{i}\in \Delta_{i}
ξi∈Δi,
i
=
1
,
…
,
n
i=1,\dots,n
i=1,…,n, 有
∣
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
−
J
∣
≤
ϵ
|\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}-J|\leq \epsilon
∣i=1∑nf(ξi)Δxi−J∣≤ϵ
即
J
−
ϵ
≤
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
J
+
ϵ
J-\epsilon \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq J+\epsilon
J−ϵ≤i=1∑nf(ξi)Δxi≤J+ϵ
进而有
J
−
ϵ
≤
s
(
T
)
=
inf
{
ξ
i
}
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
J
+
ϵ
J
−
ϵ
≤
S
(
T
)
=
sup
{
ξ
i
}
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
≤
J
+
ϵ
J-\epsilon \leq s(T)=\inf\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq J+\epsilon\\ J-\epsilon \leq S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\leq J+\epsilon
J−ϵ≤s(T)={ξi}infi=1∑nf(ξi)Δxi≤J+ϵJ−ϵ≤S(T)={ξi}supi=1∑nf(ξi)Δxi≤J+ϵ
因此有
∣
s
(
T
)
−
J
∣
≤
ϵ
|s(T)-J|\leq \epsilon
∣s(T)−J∣≤ϵ,
∣
S
(
T
)
−
J
∣
≤
ϵ
|S(T)-J|\leq \epsilon
∣S(T)−J∣≤ϵ. 所以
lim
∥
T
∥
→
0
s
(
T
)
=
lim
∥
T
∥
→
0
S
(
T
)
=
J
\lim\limits_{\parallel T\parallel \rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T\parallel \rightarrow 0}S(T)=J
∥T∥→0lims(T)=∥T∥→0limS(T)=J.
(2) 由定理4.4.4可知: s = S s=S s=S ⟺ \iff ⟺ lim ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ∥ T ∥ → 0 S ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T) ∥T∥→0lims(T)=∥T∥→0limS(T).
(3) 充分性: 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在分割 T T T 使得 ∣ S − s ∣ ≤ ∣ S ( T ) − s ( T ) ∣ ≤ ϵ |S-s|\leq|S(T)-s(T)|\leq \epsilon ∣S−s∣≤∣S(T)−s(T)∣≤ϵ. 由 ϵ \epsilon ϵ 的任意性, S = s S=s S=s, 由 (2) 的结论, f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积.
必要性: 若 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积, 则由 (1) 的结论, s = S s=S s=S, 即 lim ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = lim ∥ T ∥ → 0 s ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} s(T) ∥T∥→0limS(T)=∥T∥→0lims(T), 所以 lim ∥ T ∥ → 0 S ( T ) − s ( T ) = 0 \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T)-s(T)=0 ∥T∥→0limS(T)−s(T)=0. 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意的分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ, 有 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)−s(T)≤ϵ.
推论. 由 (1) 的证明过程可以得到: 当
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上黎曼可积时,
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
∥
T
∥
→
0
s
(
T
)
=
lim
∥
T
∥
→
0
S
(
T
)
\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T)
∫abf(x)dx=∥T∥→0lims(T)=∥T∥→0limS(T), 进而:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
∥
T
∥
→
0
s
(
T
)
=
lim
∥
T
∥
→
0
S
(
T
)
=
s
=
S
\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T) = s=S
∫abf(x)dx=∥T∥→0lims(T)=∥T∥→0limS(T)=s=S
4.4.2 借助 Lebesgue 积分讨论 Riemann 积分的可积性
定义. 由于可积的必要条件是有界, 因此我们把研究的范围限定在有界实值函数上, 此外, 为了方便分析, 我们再补充一些定义. 在分割
T
T
T 的达布上和和下和的基础上, 定义简单函数
u
T
(
a
)
=
a
,
u
T
(
x
)
=
m
i
,
x
∈
(
x
i
−
1
,
x
i
]
u_{T}(a)=a, \ u_{T}(x)=m_{i}, \, x\in (x_{i-1},x_{i}]
uT(a)=a, uT(x)=mi,x∈(xi−1,xi]
U T ( a ) = a , U T ( x ) = M i , x ∈ ( x i − 1 , x i ] U_{T}(a)=a, \ U_{T}(x)=M_{i}, \, x\in (x_{i-1},x_{i}] UT(a)=a, UT(x)=Mi,x∈(xi−1,xi]
显然有
(
L
)
∫
a
b
u
T
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
n
m
i
Δ
x
i
=
s
(
T
)
,
(
L
)
∫
a
b
U
T
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
n
M
i
Δ
x
i
=
S
(
T
)
(L)\int_{a}^{b}u_{T}(x)\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}=s(T), \quad (L)\int_{a}^{b}U_{T}(x)\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}=S(T)
(L)∫abuT(x)dx=i=1∑nmiΔxi=s(T),(L)∫abUT(x)dx=i=1∑nMiΔxi=S(T)
inf x ∈ [ a , b ] f ( x ) ≤ u T ( x ) ≤ f ( x ) ≤ U T ( x ) ≤ sup x ∈ [ a , b ] f ( x ) \inf_{x\in [a,b]}f(x)\leq u_{T}(x) \leq f(x)\leq U_{T}(x) \leq \sup_{x\in [a,b]}f(x) x∈[a,b]inff(x)≤uT(x)≤f(x)≤UT(x)≤x∈[a,b]supf(x)
易证: 对于一列逐渐加细 ( ∥ T ∥ → 0 \parallel T\parallel\rightarrow 0 ∥T∥→0) 的分割 { T n } \{T_{n}\} {Tn}, { u T n } \{u_{T_{n}}\} {uTn} (下文简写为 u n u_{n} un) 是单调递增简单函数列, { U T n } \{U_{T_{n}}\} {UTn} (下文简写为 U n U_{n} Un) 是单调递减简单函数列, 因此它们的极限函数可测, 分别记为 u ( x ) u(x) u(x), U ( x ) U(x) U(x). 因为 u n ( x ) ≤ f ( x ) ≤ U n ( x ) u_{n}(x) \leq f(x) \leq U_{n}(x) un(x)≤f(x)≤Un(x), ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in [a,b] ∀x∈[a,b] 所以 u ( x ) ≤ f ( x ) ≤ U ( x ) u(x)\leq f(x)\leq U(x) u(x)≤f(x)≤U(x), ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in [a,b] ∀x∈[a,b]. 此外, 由于 f ( x ) f(x) f(x) 有界, 可知 { u n } \{u_{n}\} {un}, { U n } \{U_{n}\} {Un} 是有界函数列, 进而可知它们的极限 u ( x ) u(x) u(x) 和 U ( x ) U(x) U(x) 都是有界函数. 在此基础上, 我们还可以得出如下结论:
定理4.4.6. 对于有界实值函数 f ( x ) f(x) f(x), u ( x 0 ) = U ( x 0 ) = f ( x 0 ) u(x_{0})=U(x_{0})=f(x_{0}) u(x0)=U(x0)=f(x0) 的充要条件是 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_{0} x0 点处连续.
证明: 充分性: 由 f ( x ) f(x) f(x) 的连续性可知, 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0, ∃ δ > 0 \exists \delta\gt 0 ∃δ>0, 当 ∣ x − x 0 ∣ ≤ δ |x-x_{0}|\leq \delta ∣x−x0∣≤δ 时, ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x_{0})|\leq \epsilon ∣f(x)−f(x0)∣≤ϵ.
由于分割逐渐加细, 所以必然存在正整数 N N N, 使得对于任意 n ≥ N n\geq N n≥N, T n T_{n} Tn 存在一个子区间 [ x i − 1 n , x i n ] [x_{i-1}^{n}, x_{i}^{n}] [xi−1n,xin], 使得 ( x i − 1 n , x i n ) ⊂ ( x 0 − δ , x 0 + δ ) (x_{i-1}^{n}, x_{i}^{n})\subset (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta) (xi−1n,xin)⊂(x0−δ,x0+δ), 此时 ∣ u n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |u_{n}(x_{0})-f(x_{0})|\leq \epsilon ∣un(x0)−f(x0)∣≤ϵ. 同理可证存在 N ′ N' N′, 使得对于任意 n ≥ N ′ n\geq N' n≥N′, ∣ U n ( x 0 ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |U_{n}(x_{0})-f(x_{0})|\leq \epsilon ∣Un(x0)−f(x0)∣≤ϵ. 因此 lim n → ∞ u n ( x 0 ) = lim n → ∞ U n ( x 0 ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{n\rightarrow \infty}u_{n}(x_{0})=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}U_{n}(x_{0})=f(x_{0}) n→∞limun(x0)=n→∞limUn(x0)=f(x0) , 即 u ( x 0 ) = U ( x 0 ) = f ( x 0 ) u(x_{0})=U(x_{0})=f(x_{0}) u(x0)=U(x0)=f(x0).
必要性: 即证: 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, ∃ δ > 0 \exists \delta\gt 0 ∃δ>0, 使得当 ∣ x − x 0 ∣ ≤ δ |x-x_{0}|\leq \delta ∣x−x0∣≤δ 时, ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x_{0})|\leq \epsilon ∣f(x)−f(x0)∣≤ϵ… u ( x 0 ) = U ( x 0 ) = f ( x 0 ) u(x_{0})=U(x_{0})=f(x_{0}) u(x0)=U(x0)=f(x0) 即 lim n → ∞ u n ( x 0 ) = lim n → ∞ U n ( x 0 ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{n\rightarrow \infty}u_{n}(x_{0})=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}U_{n}(x_{0})=f(x_{0}) n→∞limun(x0)=n→∞limUn(x0)=f(x0).,由此可知对于 ϵ \epsilon ϵ, ∃ N \exists N ∃N, 对于任意 n ≥ N n\geq N n≥N, ∣ u n ( x 0 ) − U n ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |u_{n}(x_{0})-U_{n}(x_{0})|\leq \epsilon ∣un(x0)−Un(x0)∣≤ϵ, 设 x 0 x_{0} x0 在 T N T_{N} TN 的子区间 [ x i − 1 N , x i N ] [x_{i-1}^{N},x_{i}^{N}] [xi−1N,xiN] 中, 所以对于 x ∈ [ x i − 1 N , x i N ] x\in [x_{i-1}^{N},x_{i}^{N}] x∈[xi−1N,xiN], ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ∣ u N ( x 0 ) − U N ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x_{0})|\leq |u_{N}(x_{0})-U_{N}(x_{0})|\leq \epsilon ∣f(x)−f(x0)∣≤∣uN(x0)−UN(x0)∣≤ϵ, 令 δ = min { ∣ x i − 1 N − x 0 ∣ , ∣ x i N − x 0 ∣ } \delta=\min\{|x_{i-1}^{N}-x_{0}|,|x_{i}^{N}-x_{0}|\} δ=min{∣xi−1N−x0∣,∣xiN−x0∣}, 当 ∣ x − x 0 ∣ ≤ δ |x-x_{0}|\leq \delta ∣x−x0∣≤δ 时, ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x_{0})|\leq \epsilon ∣f(x)−f(x0)∣≤ϵ.
定理4.4.7. 有界实值函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上黎曼可积的充要条件是 (1) U ( x ) = u ( x ) U(x)=u(x) U(x)=u(x), a.e. 于 [ a , b ] [a,b] [a,b], (2) f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上几乎处处连续.
证明:
{
u
n
(
x
)
}
↑
u
(
x
)
\{u_{n}(x)\}\uparrow u(x)
{un(x)}↑u(x),
{
U
n
(
x
)
}
↓
U
(
x
)
\{U_{n}(x)\}\downarrow U(x)
{Un(x)}↓U(x), 由于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 有界, 因此存在
m
m
m 和
M
M
M 使得
m
≤
f
(
x
)
≤
M
m\leq f(x) \leq M
m≤f(x)≤M, 显然对每个
u
n
(
x
)
u_{n}(x)
un(x) 和
U
n
(
x
)
U_{n}(x)
Un(x), 它们也在这个区间内, 进而
u
(
x
)
u(x)
u(x) 和
U
(
x
)
U(x)
U(x) 也在这个区间内, 因此由有界收敛定理, 有
(
L
)
∫
a
b
U
(
x
)
d
x
=
lim
n
→
∞
∫
a
b
U
n
(
x
)
d
x
=
lim
n
→
∞
S
(
T
n
)
=
lim
∥
T
∥
→
0
S
(
T
n
)
=
S
(L)\int_{a}^{b}U(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{a}^{b} U_{n}(x)\mathrm{d}x= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} S(T_{n})=\lim\limits_{\parallel T\parallel\rightarrow 0} S(T_{n})=S
(L)∫abU(x)dx=n→∞lim∫abUn(x)dx=n→∞limS(Tn)=∥T∥→0limS(Tn)=S
( L ) ∫ a b u ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ a b u n ( x ) d x = lim n → ∞ s ( T n ) = lim ∥ T ∥ → 0 s ( T n ) = s (L)\int_{a}^{b}u(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{a}^{b} u_{n}(x)\mathrm{d}x= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} s(T_{n})=\lim\limits_{\parallel T\parallel\rightarrow 0} s(T_{n})=s (L)∫abu(x)dx=n→∞lim∫abun(x)dx=n→∞lims(Tn)=∥T∥→0lims(Tn)=s
Riemann可积 ⟺ \iff ⟺ S = s S=s S=s ⟺ \iff ⟺ ( L ) ∫ a b U ( x ) d x = ( L ) ∫ a b u ( x ) d x (L)\int_{a}^{b}U(x)\mathrm{d}x=(L)\int_{a}^{b}u(x)\mathrm{d}x (L)∫abU(x)dx=(L)∫abu(x)dx ⟺ \iff ⟺ ( L ) ∫ a b U ( x ) − u ( x ) d x = 0 (L)\int_{a}^{b}U(x)-u(x)\mathrm{d}x=0 (L)∫abU(x)−u(x)dx=0 ⟺ \iff ⟺ U ( x ) = u ( x ) U(x)=u(x) U(x)=u(x) a.e. 于 [ a , b ] [a,b] [a,b] ⟺ \iff ⟺ f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上几乎处处连续.
推论. (1) 对于
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的单调函数, 其间断点集合为可数集, 即单调函数在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上几乎处处连续, 因此其黎曼可积, 进而可知其必然有界.
(2) 有界并不是 Riemann 可积的充分条件: 反例是 Dirichlet 函数, 对于
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 区间上的Dirichlet 函数, 其是有界的, 但是处处不连续, 不连续点集的测度不为
0
0
0, 因此不是 Riemann 可积的.文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-419138.html
4.4.3 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广
定理4.4.8. 若
f
f
f 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上是黎曼可积的, 则
f
∈
L
(
[
a
,
b
]
)
f\in L([a,b])
f∈L([a,b]), 且
(
R
)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
(
L
)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
(R)\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=(L)\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x
(R)∫abf(x)dx=(L)∫abf(x)dx
证明: 由定理4.4.7,
U
(
x
)
=
u
(
x
)
U(x)=u(x)
U(x)=u(x) a.e. 于
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b], 结合
u
(
x
)
≤
f
(
x
)
≤
U
(
x
)
u(x)\leq f(x)\leq U(x)
u(x)≤f(x)≤U(x),
∀
x
∈
[
a
,
b
]
\forall x\in [a,b]
∀x∈[a,b], 可推出
f
=
u
=
U
f=u=U
f=u=U a.e.于
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b], 由
u
u
u 和
U
U
U 可测可知
f
f
f 可测, 黎曼可积函数又必然有界, 因此
f
∈
L
(
[
a
,
b
]
)
f\in L([a,b])
f∈L([a,b]). 因为
f
f
f 有界, 所以
{
u
n
}
\{u_{n}\}
{un} 和
{
U
n
}
\{U_{n}\}
{Un} 都是有界函数, 所以由有界收敛定理可知
(
L
)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
(
L
)
∫
a
b
u
(
x
)
d
x
=
lim
n
→
∞
(
L
)
∫
a
b
u
n
(
x
)
d
x
=
lim
∥
T
∥
→
0
s
(
T
n
)
=
s
=
(
R
)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\begin{align} (L)\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x &=(L)\int_{a}^{b}u(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(L)\int_{a}^{b}u_{n}(x)\mathrm{d}x\\ &=\lim\limits_{\parallel T\parallel\rightarrow 0} s(T_{n})=s =(R)\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x \end{align}
(L)∫abf(x)dx=(L)∫abu(x)dx=n→∞lim(L)∫abun(x)dx=∥T∥→0lims(Tn)=s=(R)∫abf(x)dx文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-419138.html
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